lunes, 27 de septiembre de 2010

Resolución del problema del riel

Hola!

Aquí les traigo la resolución de uno de los problema previamente propuestos de mecánica. Copio el enunciado nuevamente:

1) (Marcar la repuesta correcta) Un carrito de masa  4kg se desplaza desde E hacia A, sin fricción a lo largo de un riel como el mostrado en la figura. Si pasa por el punto E con una velocidad de 3 m/s, entonces, para las alturas indicadas en la figura, puede afirmarse que el carrito:

a) llega hasta D y allí se detiene.
b) llega al punto A con velocidad nula y vuelve hacia E
c) pasa por C con velocidad 4 m/s
d) no llega hasta el punto D y regresa a E
e) pasa por B pero no llega a A
f) pasa por A, llega más arriba y lugo vuelve hacia atrás.


 
La figura la agrego a continuación; en la misma hice un esquema del móvil con las fuerzas aplicadas en el mismo.




Este riel es curvilíneo, por lo cual, en general, NO aplican las ecuaciones de MRU ni MRUV... (acá la aceleración ni siquiera va a ser una constante en el tiempo!)


Vamos a tratar de hacerlo con energía, también ayudándonos con algo de lo visto en Dinámica.

1) En primer lugar, es muy importante identificar qué fuerzas actúan sobre el móvil. 

En este caso:
Normal --> ejercida por la superficie en contacto con el cuerpo
Peso --> ejercida por la tierra.


Nos dicen que el rozamiento se desprecia, y como no hay nada más en contacto con el cuerpo, las fuerzas sólo pueden ser ésas dos.
 
2) Veamos cómo son esas fuerzas. ¿Conservativas o no conservativas? ¿Hacen trabajo o no?


Peso --> fuerza conservativa, sí hace trabajo.
Normal --> fuerza NO conservativa, pero en este caso no hace trabajo porque es perpendicular a la trayectoria en cada punto

3) Busquemos alguna ecuación que podamos plantear... podemos plantear la ecuación que nos da la variación de energía mecánica:


 Para analizar el término de la derecha, observemos lo analizado en el punto 2.... el peso es conservativa, la normal no hace trabajo, y no hay otras fuerzas... por lo tanto el trabajo de las fuerzas no conservativas vale cero:
Esto significa que la variación de energía mecánica es cero, por lo tanto la energía mecánica final es igual a la inicial. "Inicial" y "final" son dos puntos cualesquiera de la trayectoria (podrían ser A,B,C,D,E....)
4) Elegimos puntos ("inicial" y "final") por donde pasa el móvil para expresar esta ecuación. 

Como el móvil viene desde E (de derecha a izquierda), no podemos saber si en realidad le "alcanza" la energía para subir la cuesta, por lo tanto, primero vamos a elegir como puntos "inicial" y "final" a E y D respectivamente, para saber si llega a D. Entonces reemplazamos i y f por E y D, y expresamos la energía mecánica como suma de energía cinética y potencial, para las posiciones E y D:

En la expresión de arriba, tenemos como datos: g = 10 m/s^2, he = 3m, hd= 4m (ambas deben tomarse siempre desde el MISMO origen), y Ve = 3 m/s. La masa no interesa porque aparece en TODOS los términos en este caso, por lo tanto se simplifica.

En la ecuación de arriba lo único que no conocemos es la velocidad en D (Vd), entonces despejamos el cuadrado de Vd:





Reemplazando los cuatro valores mencionados arriba, resulta que el CUADRADO de la velocidad da ¡¡-11 m^2/s^2!! O sea, un número NEGATIVO. Eso querría decir que si pasamos el cuadrado como raíz cuadrada del otro lado, nos quedaría un número IMAGINARIO... pero eso físicamente es imposible!! Eso quiere decir que el móvil NO puede llegar a D.

Conclusión: la d) es la única opción verdadera: no llega a D y regresa a E. Todas las demás presuponen que pasó por D o que al menos llega ahí.


Cosas adicionales para pensar: 

a) En este caso la Normal no hace trabajo. Piensen en un ejemplo facil en que la Normal SÍ hace trabajo. Ayuda: hay ejemplos en la guía. :D
b) ¿Qué velocidad mínima debería tener en E, para poder pasar del otro lado?
c) Cambiar la velocidad en E por una velocidad más alta... más alta que la hallada en el punto anterior. Analizar el resto de las opciones.
d) Hay cierta razón por la cual las opciones b) y e)  serían siempre FALSAS, independientemente del valor de la velocidad en E. Descubrirla (es sin cuentas!!).

7 comentarios:

  1. Profe le dejo un problema que no me salio a ver si me puede decir mas o menos como hacerlo:
    Un bloque que pesa 44N es impulsado con una vel inicial Vo hacia arriba por un plano inclinado que forma una angulo de 53 con respecto a la horizontal.Se observa que recorre sobre el plano 1.52m hasta detenerse, perdiendo 30% de la energia mecanica.

    1) calcular por consideraciones energeticas la velocidad inicial
    2) calcular el trbajo de la furza peso en el ascenso

    MUCHAS GRACIAS PROFE

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  2. Hola Juli,

    Por si no pudiste "arrancar" con el problema, te tiro una pista para el punto 1:

    Fijáte que ahí te piden un cálculo por consideraciones energéticas. Entonces podés expresar ese dato que te dan sobre el porcentaje de energía perdida:

    Emecanica final = 70/100 X Emecanica inicial

    (o sea, si pierde el 30%, es porque la energía mecánica final es el 70% de la inicial)

    Tratá de expresar ambas energías en términos de velocidades y alturas, y reemplazarlas en esa ecuación.

    El punto 2) es más "standard" y ahí podés usar el teorema de variación de la energía mecánica.

    Avisáme si pudiste avanzar o si necesitás más ayuda.

    Saludos,
    Miriam

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  3. Profe...con respecto a la pregunta d) de las de arriba...puede ser porque en el enunciado del problema dice sin fricción??? por lo tanto no hay fuerzas de rozamiento que frene el desplazamiento??? gracias!!

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  4. Hola Carlota,

    El hecho de que no haya fricción, implica que se conserva la energía mecánica ya que las únicas fuerzas son P y N. Entonces, si bien lo veo relacionado, la razón específica es otra:

    La opción b) es siempre falsa porque: supongamos que el cuerpo llegara a A (en este caso no llega, pero supongamos que sí llegara, si tuviera una velocidad en E bien alta, llegaría).

    Como A tiene menos energía potencial que E, entonces la energía cinética en A, tiene que ser MAYOR que en E (porque la energía mecánica se conserva). Entonces: NO puede llegar a A con velocidad cero.... o sea:
    *) Puede pasar que NO llegue a A porque el cuerpo no puede trepar a la cumbre "D" (eso es lo que pasa acá, porque la velocidad en E no le alcanza para "pasar" al otro lado).
    *) O puede pasar que SÍ llegue a A (si la velocidad en E fuera más alta), pero si llega, va a llegar con más energía cinética de la que tenía en E, ya que: EcA + EpA = EcE + EpE

    Sobre la opción e): es parecido al análisis anterior. Si el cuerpo tuviera una velocidad en E alta que le permitiera "pasar" por la cumbre D y bajar hasta B (esto aquí no ocurre), entonces después subiría, y tendría que pasar por A seguro, ya que la energía cinética le sobraría para llegar a A... fijáte que A está más abajo que E (menos energía potencial), entonces se daría la situación mencionada más arriba: el cuerpo al pasar por A tendría menos energía potencial que en E, y por lo tanto MAS energía cinética que en E. Entonces, pasaría por A y seguiría hasta un punto situado a la misma altura de E.

    Otra cosa: aclaro que si bien no hay fricción que frene al móvil, cuando el cuerpo trepa por una pendiente, se va frenando: hay una componente del peso que lo frena. Por eso cuando el cuerpo va en subida, pierde velocidad.

    Espero que se entienda, volvé a preguntarle si no.
    Saludos,
    Miriam

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  5. Gracias Profe! Entendí todo el razonamiento
    Pero hay algo fundamental que no me doy cuenta todavía...
    Por qué te das cuenta que la Energía Mecánica se conserva??
    Por que no hay fricción? Este tema me cuesta bastante...todavía no lo puedo internalizar... es como que lo tuviera atado con alambre...

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  6. Hola Carlota,


    La energía mecánica se conserva en este caso, porque se puede DEDUCIR que el trabajo de las fuerzas no conservativas es cero. El rozamiento tiene mucho que ver en esto.



    Amplío:


    - Hay un teorema que dice lo siguiente:


    (Em final - Em inicial) = Lfnc


    O sea: energía mecánica final menos energía mecánica inicial, igual al trabajo de las fuerzas no conservativas. Este teorema vale para cualquier movimiento de una patícula, así que siempre lo podés plantear.



    Veamos cómo analizar el miembro derecho, o sea, LFNC:

    *) Las fuerzas CONSERVATIVAS son: el Peso, y la fuerza eléctrica (pero a esta última la vamos a ver para el 2do. parcial). Como acá no hay fuerzas eléctricas, entonces la única fuerza conservativa es el Peso. Es decir, que el Peso NO CUENTA para LFNC.


    *) En LFNC contamos las fuerzas NO conservativas. ¿Y cuáles son? Todas las demás (excepto el Peso y la fuerza eléctrica). Entonces acá tenemos que contar todo lo que podría aparecer:
    - Fuerza Normal --> SÍ hay, es la fuerza que el riel le hace al carrito.

    - Rozamiento --> nos dicen que no hay.
    (- Cualquier otra ---> podría ser la tensión de una cuerda, por ejemplo, pero acá el carrito no está sujeto a ninguna cuerda).


    Entonces, el trabajo de las fuerzas no conservativas, quedaría reducido en este caso, al trabajo de la fuerza Normal:


    Emf - Emi = LN


    Pero la Normal es una fuerza PERPENDICULAR al riel, (es una fuerza que cambia continuamente su dirección, porque a medida que el carrito se mueve, la Normal cambia su dirección ya que el riel es curvo, podés hacer algunos dibujitos para chequear esto).


    Y como N es siempre perpendicular al movimiento en este caso, entonces su trabajo ES CERO:


    Emf - Emi = LN = 0


    Y por lo tanto, Emf = Emi, con lo cual la energía mecánica se conserva para este problema.



    Hay que hacer un análisis similar a éste en cada problema, para saber si Em se conserva O NO. Por eso es fundamental hacer esquemas del móvil, UBICAR LAS FUERZAS QUE ACTUAN (dibujarlas con flechitas, cualitativamente), y analizar si sus trabajos se anulan o no.



    Espero que te quede más claro; te recomiendo que plantees algunos otros problemas donde se use energía.


    Saludos,
    Miriam


    PD: hay que tener cuidado y no generalizar.... no siempre el trabajo de la Normal es cero. Por ejemplo: para una persona dentro de un ascensor en movimiento, la Normal SÍ hace trabajo, porque en este caso N tiene la misma dirección del movimiento.

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  7. Gracias Profe!! como siempre muy claro!

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