miércoles, 29 de septiembre de 2010

Resolución del problema del tanque con dos líquidos

Hola! Aquí les traigo la resolución de uno de los problemas propuestos el 18 de Septiembre, que no llegamos a corregir en clase. Copio el enunciado nuevamente:

El tanque de la figura tiene una sección de 1 m^2 y contiene dos fluidos de viscosidad prácticamente nula, el superior de densidad delta1=1,5 g/cm^3 y el inferior de densidad delta2 = 2,3 g/cm^3. Dos tapones (el área de sus caras es de 75 cm^2), ubicados como indica la figura, bloquean la salida del líquido.

a) Mientras NO se retiren los tapones, ¿cuáles son las fuerzas aplicadas en los mismos? ¿Cuáles son las fuerzas  "responsables" de que los tapones no se salgan y cuánto valen?
b)  Calcular la velocidad a la que saldrá el fluido por cada uno de los orificios inmediatamente después de retirar los tapones. 



 a) Hagamos un esquema de cada tapón, con las fuerzas aplicadas en él.

Consideremos el tapón superior. En el esquema anterior están indicadas las fuerzas aplicadas sobre él:

FA  --> fuerza hecha por el AIRE
FL --> fuerza hecha por el LIQUIDO
P --> Peso del tapón

El RECIPIENTE también hace fuerza sobre el tapón, ya que está en contacto con él; como no conocemos para donde va esa fuerza, en general podemos desdoblarla en dos: una fuerza horizontal y otra vertical:

FR1 --> fuerza hecha por el recipiente, componente horizontal
FR2 --> fuerza hecha por el recipiente, componente vertical

Como el tapón está en equilibrio, debe cumplirse:

Para las fuerzas verticales:

FR2 - P = 0

Para las fuerzas horizontales:

 FL - FA - FR1 = 0                               (*)

Si bien todavía no calculamos las fuerzas, hemos dibujado FL más grande que FA ya que intuitivamente sabemos que el líquido hace más fuerza, ya que la presión es mayor que la del aire (el líquido tiene densidad mayor que la del aire).

FR1 es una fuerza de "rozamiento" con el recipiente; notar que es la fuerza responsable de que el tapón no se salga. Esta es la fuerza que nos piden calcular.

Como no nos dicen cuánto pesan los tapones, no tenemos forma de saber ni  P ni FR2, así que, nos ocuparemos solamente de calcular FR1. Despejando de la ecuación  marcada con (*)

FR1   = FL - FA                              (1)

Expresamos FA y FL:

FA = Presión aire X Superficie_tapón       (2)


FL = Presión líquido sobre el tapón superior X Superficie_tapón    (3)

Reemplazando (2)  y (3) en (1), queda:

FR1   = (Presión líquido sobre el tapón superior - presión aire) . Superficie_tapón    (4)               

Pero necesitamos calcular la presión del líquido a la altura del tapón superior para calcular FR1; es decir, necesitamos la presión a 0.5 m por debajo de la superficie superior.


Planteamos entonces el teorema de la hidrostática relacionando la presión sobre el tapón, con la presión atmosférica arriba de todo:

Presión líquido sobre tapón superior - 1 atm = 1,5 g/cm^3 . g . 0,5 m = 7500 Pa

Reemplazando esta presión en la ecuación (4), sacamos FR1. Queda:


FR1   = 7500 Pa . 75 cm^2 = 56,25 N

-------

Pasando al tapón inferior, el planteo es análogo, cambiando las fuerzas por las que tienen "prima" ('). Por eso no voy a repetir todo acá. Lo que sí va a cambiar sustancialmente, es la expresión de la presión del líquido sobre el tapón inferior.  Mediante el teorema de la hidrostática (planteálo, hay que hacerlo dos veces, tomando un punto intermedio en la interfase entre los líquidos!!), se llega a:

Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1 m + 2,3 g/cm^3 . g . 2m

Notar que la presión sobre el tapón inferior tiene las siguientes contribuciones: el primer término es la presión atmosférica, el segundo término es la presión hecha por la capa de líquido 1, y el tercer término es la presión hecha por la capa de líquido 2.

Resolviendo, queda que:

Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 61000 Pa


Con esta presión, se puede calcular la fuerza que hace el líquido sobre el tapón inferior y, por diferencia con la fuerza que hace el aire, se calcula F'R1, como en el caso anterior. También se simplifica el término de la presión atmosférica, y sólo "sobreviven" las contribuciones a la presión hechas por los líquidos. Queda:


F'R1   = 61000 Pa . 75 cm^2 = 457,5 N

b) Ahora se quitan los tapones y queremos las velocidades de salida. Ojo que ahora ya no vale el teorema de la hidrostática, porque el líquido está en movimiento!!.

Podemos plantear el teorema de Bernouilli, vamos a necesitar varios puntos (En el dibujito adjunto se muestran)... ¡no se puede hacer entre A y D directamente porque A y D están en distintos líquidos!. Como referencia tomaremos el CERO en el piso:

 

Entre A y B vale el Teorema de Torricelli, ya que A y B están en el mismo líquido, tienen la misma presión, y además la velocidad en A es despreciable frente a la de B. Por lo tanto:

Para el tapón inferior, planteamos Bernouilli entre C y D (para Bernoulli siempre tenemos que elegir puntos en el mismo líquido!!):





En la ecuación anterior conocemos: PD = P atmosférica = 1 atm, HD = 0 (el tapón está casi al nivel del piso), Hc = 2 m, Delta2 =  2,3 g/cm^3. Como Vc está sobre una superficie tan grande como la de arriba, entonces también podemos aproximar Vc a cero (la velocidad en C se desprecia frente a la velocidad de D). Queda:

PC + 2,3 g/cm^3 . 10 m/s^2 . 2m = patm + (1/2) . 2,3 g/cm^3 . VD^2

PC + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2    (*)
Lo que queremos calcular es VD. Pero nos falta la presión en el punto C, entonces planteamos Bernouilli entre A y C, OJO, ahora es el líquido 1:







OJO, fijáte bien qué densidad usamos en cada caso, así como las alturas!!

En esta ecuación se van los términos con las velocidades, ya que vA = vC, dado que la sección en A es la misma que en C, y también podemos reemplazar PA = 1 atm, HA = 3m, HC = 2m, Delta1 =  1,5 g/cm^3 quedando:

PC = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1m

PC = patm + 15000 Pa


Reemplazando Pc en la ecuación de Bernoulli (*) y simplificando, ahora sí podemos hallar VD:

patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2


61000 Pa = 1150 kg/m^3 . VD^2

--> VD = 7,28 m/s


FIN :)

20 comentarios:

  1. Profe, cuando planteo Bernoulli entre los puntos A y B, en la Pb, pongo la presión que averigué al principio, no?
    Esa presión me da 7500 Pa, y le sumo la atmosférica, y en total me da 108800 Pa.
    El problema es que cuando hago Bernoulli me queda el mismo número de ambos lados

    Pa + densidad . g. h = Pb + 1/2 . densidad. Vb2 + densidad . g . Hb

    Del primer lado me queda en total 146300 pa
    y del otro lado me queda 146300 pa + 7500 kg/m3.Vb2
    y no puedo seguir porque me quedaría 0, lo cual esta mal...

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  2. Ah profe ya me dí cuenta que había que poner la atmosférica en ambos lados y se cancelaban.
    Lo que ahora sí no sé es cuando planteo Bernoulli entre los puntos C y D; en el punto D pongo la atmosférica, pero en el C no sé si poner la manométrica o la absoluta...
    Muchas gracias

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  3. Hola Antonela,

    No, no hay que poner la presión que calculaste al principio, te explico por qué: la Pb que calculás al principio, es en situación HIDROSTATICA, ahí el tapón NO salió, y el líquido está quieto.

    Entonces planteaste el teorema de la hidrostática para calcular Pb, es válido porque el líquido está en reposo.

    Cuando quitás los tapones, el líquido comienza a moverse, y por lo tanto ya NO vale el teorema de la hidrostática. Lo que sí vale es el teorema de Bernouilli siempre y cuando se pueda despreciar la viscosidad.

    Ahora en la nueva situación, en B va a haber OTRA presión. ¿Cuál? Como B está justo donde sale el chorro, y suponemos que el chorro es angosto, entonces la presión dentro del chorro -y por lo tanto en B- es aproximadamente la presión que lo rodea, o sea, la atmosférica.

    Es decir que en esta nueva situación Pb = Patm.

    Avisáme si necesitás más aclaraciones.

    Saludos,
    Miriam

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  4. Hola! Veo que se superpuso mi último comentario con el tuyo, no había visto tu último mensaje antes de escribir.

    Sobre tu otra pregunta: en C y en D ponés la presión ABSOLUTA en ambos puntos. En Bernouilli siempre ponemos las presiones absolutas.

    Otra posibilidad es poner la presión MANOMETRICA EN AMBOS: en ese caso Pd = 0 (CERO), Pc la manométrica, y te da IGUAL que si hubieras puesto la absoluta de ambos lados.

    Espero que se entienda.
    Saludos,
    Miriam

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  5. profe tengo una duda media tonta pero se la quiero preguntar de todas formas... como usted dijo, para averiguar la segunda velocidad tenemos que plantear primero la presión entre C y A, mi duda es... no puedo hacerlo entre C y B?

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  6. también le queria preguntar porque se me simplifican las velocidades,, (en el caso de A y C), se que la velocidad de A es cero, pero la de C no la tengo ...

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  7. Hola Mercedes,

    Sobre tu primera pregunta: Al teorema de Bernouilli lo podés plantear entre dos puntos cualesquiera que estén en una misma línea de corriente.

    Sí, podés plantear el teorema de Bernouilli entre B y C, no está mal, el punto es que en principio NO tenés la presión en C, entonces es mejor usar un punto donde conocés más cosas --> ése es A, que está en la superficie libre, ahí la presión es la atmosférica.

    - Sobre tu segunda pregunta: la velocidad de A no es que sea cero, es que es muy pequeña porque la superficie del tanque es muy grande. Fijáte que en el punto C pasa exactamente lo mismo: la superficie donde está el punto C es igual en tamaño a la superficie libre, que es 1 m^2. Así que, la velocidad en C va a ser igual que la de A, por conservación del caudal:

    VA . 1 m^2 = VC . 1 m^2

    --> VA = VC

    Espero haber solucionado tus dudas, avisáme si esto está claro.

    Saludos,
    Miriam

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  8. hola profe , una duda sobre el ejercicio 1 cuando me pregunta la velocidad de b yo plantee todo como usted dijo pero me equivoco en algo como la pB = P atm entonces se cancelan de ambos lados y me queda 45000+0=37500+750vBal cuadrado..pero no llego al resultado que tiene que ser como hago?

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  9. Hola Johanna,

    El 45000 Pa está bien y el 37500 Pa también (faltaba indicar la unidad), y el 750 kg/m^3 . Vb^2 también. Si no llegás al resultado, tiene que ser un error cuando despejaste.

    Si despejás correctamente de la ecuación que citaste, te tiene que quedar:

    Vb = raizcuadrada(10) m/s

    y eso coincide con  lo que cité arriba cuando mencioné que quedaba esto:

    Vb = raizcuadrada(2 . g . 0,5 m)

    O sea: chequeá el despeje de la ecuación.

    Saludos,
    Miriam

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  10. Ahora si lo entendi profee! Entonces como en este caso donde tenga problemas en los q haya tapones q obstruyen la salida del liquido tengo q usar el Teorema de la Hidostatica xq como usted m dijo al anular el termino de la velocidad me queda la formula del teorema! Ahora se xq las cuentas no m daban! Y xq no entendia q la presion en el fondo era menor q la atm..! Otra duda q no entendi en este caso al abrir el tapon en el punto D al igual q en la superficie tengo p. atm??? con la diferencia d q la velocidad no es bajita, sino q el liquido sale con rapidez..! Y lo ultimo cuando tengo dos liquidos; y eligo x ej un punto intermedio "C" la velocidad es practicamente cero ahi???

    Gracias!!!

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  11. Medranojohanna94@gmail.com31 de enero de 2013, 12:53

    ah profe disculpe es que me mezcle con otros temas y tuve un error malisismo confundi g pense que era gramos(por que estube haciendo ejercicio de macanica antes que estos de hidrodinamica) pero en relidad es gravedad mil disculpas.

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  12.  Hola Roxy,

    Cuando el orificio está tapado, ahí tenés líquido en reposo y usás el teorema de la hidrostática.

    La presión en el fondo, LEJOS del orificio, siempre da MAYOR que la atmosférica, ojo. Aunque esté abierto o cerrado el orificio. Porque tomás un punto en el fondo, donde la velocidad del líquido es muy pequeña (la aproximás a cero).

    Pero, si hay un orificio muy cerca del fondo y justo ahí tomás un punto, ahí la presión puede ser cercana a la atmosférica.

    Sobre tu duda de la presión en el orificio: se hace la aproximación a que el chorrito de salida es delgado. Como el chorrito sale hacia la atmósfera, entonces la presión del agua en la "superficie agua-aire" que rodea al chorro, también tiene que ser la atmosférica .... y si el chorro no es demasiado grueso, se supone que su presión no cambia demasiado en el interior, por lo tanto: si tomamos un punto en el interior del chorrito, justo en el orificio de salida, ahí se aproxima la presión a la atmosférica. Esta es la aproximación habitual que siempre se usó en este tipo de problemas (problemas de tanques que desagotan, o de tanques con mangueras que los vacían).

    Sobre la rapidez con la que sale el fluido:
    - la superficie de arriba del tanque es grande. El líquido se está moviendo con velocidad VA
    - la superficie del orificio es pequeña. El líquido ahí se está moviendo con velocidad VD.
    - El caudal que "baja" tiene que ser igual al caudal que sale por el orificio:

    Entonces: SA . VA = SD . VD, y como VA = (SD/SA) . VD, resulta que VA es mucho menor que VD. (Con números: SA = 1m^2 y SD = 75 . 10^(-4) m^2, así que VA = 0,0075 . VD!). Esta es la aproximación usual en problemas de tanques grandes con orificios pequeños: la velocidad de salida es mucho mayor que la velocidad con la que la superficie de líquido "baja".

    Sobre tu otra duda: fijáte que en el punto C, como la SECCION es la MISMA que en A, tiene que haber la misma velocidad que en A. Entonces: sí, es una velocidad pequeña, la misma que en A.

    Saludos,
    Miriam

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  13.  Hola Johanna,

    No sé a qué problema te referís, decíme y así lo chequeo.

    Saludos,
    Miriam

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  14. Profe, podría saber las respuestas del item a)???
    a mi me da FR1 = 37,5 N y FR2 = 626 N
    Gracias Profe!

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  15. Hola Carlota,


    En el a) las fuerzas me dieron:
    F1 = 56,25 N --> sobre el tapón de arriba

    F2 = 457,5 N --> sobre el tapón de abajo


    (en ambos casos, es sin contar el efecto de la presión atmosférica)



    ¿Cómo hiciste los cálculos? Yo lo hice como está arriba, son las fuerzas que en el texto de arriba se llaman Fr1 y Fr'1.


    Saludos,
    Miriam

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  16. Hola Profe

    Si! Primero traté de hacer el problema con mis razonamientos...

    También vi el desarrollo que habías hecho vos...pero decidí seguir con mis razonamientos, para ver si llegaba al mismo resultado

    Pero nada que ver... Me dio cualquier cosa...

    Después hice las cuentas con las Ecuaciones del texto de arriba, Fr1 y Fr'1, y me dio igual que vos el resultado...

    O sea, que mi razonamiento estaba mal... Te escribo lo que hice:

    Fr1 = Fl (fuerza líquido) - Fa (fuerza aire)

    Ahora me dí cuenta que había me había equivocado en el cálculo de Fl (fuerza líquido), y corresponde 56,25 N...pero siguiendo con mi razonamiento...

    Fr1 = 56,25 N - (1 atm . 75 cm2)

    Fr1 = 56,25 N - 759,75 N

    Fr1 = - 703,5 N

    O sea que nada que ver...

    El otro tapón lo hice con el mismo razonamiento, pero no te lo copio porque es muy largo...

    PREGUNTA: Por qué NO se resta la Fa (fuerza de la atmósfera contra el tapón)???

    Ésta pregunta, o algo parecido, te la hice en otro problema, que ya no me acuerdo dónde...

    OTRA PREGUNTA: Por qué en el diagrama de cuerpo libre, las fuerzas hecha por el recipiente (Fr1 y Fr2) se dibujan en ese sentido? No tendrían que tener el sentido contrario? por ser el recipiente el que hace la fuerza hacia el tapón?? Disculpa si la pregunta es muy obvia...

    GRACIAS Profe!

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  17. Estuve revisando el ejercicio y no logro entender el tema de las velocidades!! No logro resolver el punto b!

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  18. Hola!

    La idea es la siguiente: como en el punto b) se retiran los tapones, ahí el líquido comienza a salir por los orificios, y entonces como el líquido ya está en movimiento, ya NO se puede usar ninguna fórmula de HIDROSTATICA.

    Entonces, como los líquidos se consideran ideales, se puede aplicar el Teorema de Bernoulli:

    1) Para el orificio de arriba, se aplica Bernoulli entre A y B. La presión en A es la atmosférica, y en B también ya que el chorro sale al aire, y B es un punto que está justo a la salida.
    Además, se aproxima la velocidad en A a cero ya que esa velocidad es muy chiquita comparada con la velocidad de salida.

    Y entonces ahí sale VB (velocidad de salida).

    2) Para el orificio de abajo, se aplica Bernoulli entre C y D. NO se puede aplicar directamente desde A a D ya que A y D están en DISTINTOS líquidos.

    Al aplicar Bernoulli entre C y D, se aproxima la velocidad en C a cero (es muy chiquita con respecto a la velocidad en D), pero va a quedar pC como incógnita.

    Entonces se aplica nuevamente Bernoulli entre A y C... los términos de velocidades se simplifican ya que vA = vC (misma sección del tanque), de ahí se despeja pC. Y una vez conocida pC, se reemplaza pC en el Bernoulli que se había planteado entre C y D. Con lo que finalmente sale vD.

    Esto es, en resumen, el planteo para calcular las velocidades. Volvé a consultarme si seguís sin entender; en lo posible, especificando en qué punto tenés dudas.

    Saludos,
    Miriam

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  19. Buen día Profe, una consulta sobre esta parte:

    "FR1 = (Presión líquido sobre el tapón superior - presión aire) . Superficie_tapón


    Presión líquido sobre tapón superior - 1 atm = 1,5 g/cm^3 . g . 0,5 m = 7500 Pa


    Reemplazando esta presión en la ecuación (4), sacamos FR1. Queda:

    FR1 = 7500 Pa . 75 cm^2 = 56,25 N"



    ¿Y la presión del aire en que momento se restó para despejar FR1? ¿Puede ser que la presión del aire sea la atmosférica y en que la tomo, en Pascales o en atmósferas porque me varia el resultado?

    En la parte de la velocidad con la que sale el segundo corcho, ¿se tiene en cuenta la presión del primer liquido y la atmosférica? ¿primero saco la presión en c y por ultimo la velocidad en d? ¿Se toma la presión en D como 1 porque es la presión atmosférica que está afuera del recipiente?
    Muchas gracias!

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  20. Hola Sofía,

    La presión del aire, es justamente la atmosférica, está ahí restada dentro del paréntesis en la primera ecuación que pusiste.

    En cuanto a las unidades, para la patm no importan, porque lo que importa es la RESTA, que es el producto "1,5 g/cm^3 . g . 0,5 m" que está a la derecha. Lo que quiero decir es que patm no se necesita reemplazar.

    Sobre tu pregunta, sobre la velocidad con la que sale el segundo corcho: sí, se tuvo en cuenta, por lo siguiente: todas las presiones que usamos (a menos que se indique explícitamente lo contrario), son presiones ABSOLUTAS, así que tienen en cuenta el efecto completo de todo lo que haya.

    Por ejemplo: la presión en C es:

    PC = patm + 15000 Pa

    Es decir, que dentro de la presión en C, ya está "metido" el efecto del aire que está arriba del tanque. Y los 15000 Pa tienen que ver con el primer líquido.

    Y entonces, ese efecto del aire, ya está metido dentro de Bernoulli, cuando se usan pC y pD.
    Del teorema de Bernoulli se despeja vD (no hace falta calcular *numéricamente* pc, porque si reemplazás la expresión pc = patm + 15000 Pa en Bernoulli C-D, vas a ver que se simplifica patm de ambos lados).

    Sobre tu última pregunta: se toma pD = 1 atm ya que el punto D está justo en el chorrito de salida, y ahí justo hay patm.

    En este problema, el efecto de la presión atmosférica finalmente se termina simplificando... probá hacer algún problema donde NO se simplifique, para ver la diferencia. Por ejemplo, podés chequear el ejemplo 4 de este enlace:

    http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2014/09/teorema-de-bernoulli-con-ejemplos-y.html

    Saludos,
    Miriam

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