Resolución del problema del tanque con dos líquidos

Hola! Aquí les traigo la resolución de uno de los problemas propuestos el 18 de Septiembre, que no llegamos a corregir en clase. Copio el enunciado nuevamente:

El tanque de la figura tiene una sección de 1 m^2 y contiene dos fluidos de viscosidad prácticamente nula, el superior de densidad delta1=1,5 g/cm^3 y el inferior de densidad delta2 = 2,3 g/cm^3. Dos tapones (el área de sus caras es de 75 cm^2), ubicados como indica la figura, bloquean la salida del líquido.

a) Mientras NO se retiren los tapones, ¿cuáles son las fuerzas aplicadas en los mismos? ¿Cuáles son las fuerzas  "responsables" de que los tapones no se salgan y cuánto valen?
b)  Calcular la velocidad a la que saldrá el fluido por cada uno de los orificios inmediatamente después de retirar los tapones. 

 a) Hagamos un esquema de cada tapón, con las fuerzas aplicadas en él.

Consideremos el tapón superior. En el esquema anterior están indicadas las fuerzas aplicadas sobre él:

FA  --> fuerza hecha por el AIRE
FL --> fuerza hecha por el LIQUIDO
P --> Peso del tapón

El RECIPIENTE también hace fuerza sobre el tapón, ya que está en contacto con él; como no conocemos para donde va esa fuerza, en general podemos desdoblarla en dos: una fuerza horizontal y otra vertical:

FR1 --> fuerza hecha por el recipiente, componente horizontal
FR2 --> fuerza hecha por el recipiente, componente vertical

Como el tapón está en equilibrio, debe cumplirse:

Para las fuerzas verticales:

FR2 - P = 0

Para las fuerzas horizontales:

 FL - FA - FR1 = 0                               (*)

Si bien todavía no calculamos las fuerzas, hemos dibujado FL más grande que FA ya que intuitivamente sabemos que el líquido hace más fuerza, ya que la presión es mayor que la del aire (el líquido tiene densidad mayor que la del aire).

FR1 es una fuerza de "rozamiento" con el recipiente; notar que es la fuerza responsable de que el tapón no se salga. Esta es la fuerza que nos piden calcular.

Como no nos dicen cuánto pesan los tapones, no tenemos forma de saber ni  P ni FR2, así que, nos ocuparemos solamente de calcular FR1. Despejando de la ecuación  marcada con (*)

FR1   = FL - FA                              (1)

Expresamos FA y FL:

FA = Presión aire X Superficie_tapón       (2)


FL = Presión líquido sobre el tapón superior X Superficie_tapón    (3)

Reemplazando (2)  y (3) en (1), queda:

FR1   = (Presión líquido sobre el tapón superior - presión aire) . Superficie_tapón    (4)               

Pero necesitamos calcular la presión del líquido a la altura del tapón superior para calcular FR1; es decir, necesitamos la presión a 0.5 m por debajo de la superficie superior.


Planteamos entonces el teorema de la hidrostática relacionando la presión sobre el tapón, con la presión atmosférica arriba de todo:

Presión líquido sobre tapón superior - 1 atm = 1,5 g/cm^3 . g . 0,5 m = 7500 Pa

Reemplazando esta presión en la ecuación (4), sacamos FR1. Queda:


FR1   = 7500 Pa . 75 cm^2 = 56,25 N

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Pasando al tapón inferior, el planteo es análogo, cambiando las fuerzas por las que tienen "prima" ('). Por eso no voy a repetir todo acá. Lo que sí va a cambiar sustancialmente, es la expresión de la presión del líquido sobre el tapón inferior.  Mediante el teorema de la hidrostática (planteálo, hay que hacerlo dos veces, tomando un punto intermedio en la interfase entre los líquidos!!), se llega a:

Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1 m + 2,3 g/cm^3 . g . 2m

Notar que la presión sobre el tapón inferior tiene las siguientes contribuciones: el primer término es la presión atmosférica, el segundo término es la presión hecha por la capa de líquido 1, y el tercer término es la presión hecha por la capa de líquido 2.

Resolviendo, queda que:

Presión líquido sobre el tapón inferior = patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 61000 Pa

Con esta presión, se puede calcular la fuerza que hace el líquido sobre el tapón inferior y, por diferencia con la fuerza que hace el aire, se calcula F'R1, como en el caso anterior. También se simplifica el término de la presión atmosférica, y sólo "sobreviven" las contribuciones a la presión hechas por los líquidos. Queda:


F'R1   = 61000 Pa . 75 cm^2 = 457,5 N

b) Ahora se quitan los tapones y queremos las velocidades de salida. Ojo que ahora ya no vale el teorema de la hidrostática, porque el líquido está en movimiento!!.

Podemos plantear el teorema de Bernouilli, vamos a necesitar varios puntos (En el dibujito adjunto se muestran)... ¡no se puede hacer entre A y D directamente porque A y D están en distintos líquidos!. Como referencia tomaremos el CERO en el piso:

 

Entre A y B vale el Teorema de Torricelli, ya que A y B están en el mismo líquido, tienen la misma presión, y además la velocidad en A es despreciable frente a la de B. Por lo tanto:

Para el tapón inferior, planteamos Bernouilli entre C y D (para Bernoulli siempre tenemos que elegir puntos en el mismo líquido!!):

En la ecuación anterior conocemos: PD = P atmosférica = 1 atm, HD = 0 (el tapón está casi al nivel del piso), Hc = 2 m, Delta2 =  2,3 g/cm^3. Como Vc está sobre una superficie tan grande como la de arriba, entonces también podemos aproximar Vc a cero (la velocidad en C se desprecia frente a la velocidad de D). Queda:

PC + 2,3 g/cm^3 . 10 m/s^2 . 2m = patm + (1/2) . 2,3 g/cm^3 . VD^2

PC + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2    (*)
Lo que queremos calcular es VD. Pero nos falta la presión en el punto C, entonces planteamos Bernouilli entre A y C, OJO, ahora es el líquido 1:

OJO, fijáte bien qué densidad usamos en cada caso, así como las alturas!!

En esta ecuación se van los términos con las velocidades, ya que vA = vC, dado que la sección en A es la misma que en C, y también podemos reemplazar PA = 1 atm, HA = 3m, HC = 2m, Delta1 =  1,5 g/cm^3 quedando:

PC = patm + 1,5 g/cm^3 . g . 1m

PC = patm + 15000 Pa


Reemplazando Pc en la ecuación de Bernoulli (*) y simplificando, ahora sí podemos hallar VD:

patm + 15000 Pa + 46000 Pa = patm + 1150 kg/m^3 . VD^2


61000 Pa = 1150 kg/m^3 . VD^2

--> VD = 7,28 m/s

FIN :)