sábado, 13 de noviembre de 2010

Ejemplo de circuito de capacitores

Problema.
El circuito de la figura está formado por dos capacitores iguales, entre cuyas placas hay un dieléctrico de permitividad relativa ε = 4; llamaremos C a la capacidad de cada uno de ellos.

Se conecta entre 1 y 2 una pila de potencial V0, se cierra el interruptor A, y se espera hasta que se carguen los capacitores. (estado I). Posteriormente se abre el interruptor, después de eso se retira el medio dieléctrico de uno de los capacitores, y se espera que lleguen al equilibrio. (estado II). Más tarde, vuelve a cerrarse el interruptor A y se espera hasta que se llegue al equilibrio. (estado III)

Hallar, para cada capacitor, la diferencia de potencial entre sus placas y su carga, en función de los datos:
a) en el estado I
b) en el estado II
c) en el estado III


Datos: ε = 4, C = 10 mF, V0 = 2 volts.


Importante: traten de hacerlo antes de leer la resolución que sigue abajo!!!!


Resolución:
En todos los casos, los capacitores están en serie, esto significa que ambos tienen la misma carga y, además, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 será la suma de las diferencias de potencial para cada capacitor.

Analicemos por separado cada estado:

a) Estado I: 
Los capacitores aquí son exactamente iguales, cada uno de ellos tiene capacidad C (este valor C, ya incluye la contribución del material dieléctrico dentro de cada capacitor).  Como están en serie, tienen la misma carga, que llamaremos Q. Entonces, la diferencia de potencial entre las placas de uno cualquiera de ellos se escribe:

ΔV = Q / C                  (1)
Y como tanto Q como C toman el mismo valor para los dos, entonces también ΔV es el mismo para cada uno, por lo tanto, la diferencia de potencial de la pila se expresa:
V0 = ΔV + ΔV = 2 ΔV    (2)

De las ecuaciones (1) y (2) sale que:



b) Estado II
Después se abre el interruptor. Una vez que el interruptor está abierto, la carga de los capacitores no puede cambiar más, ya que no puede "irse" a ningún lado, por lo tanto, quedarán con la misma carga que tenían justo antes de abrir el interruptor: o sea, Q y -Q en cada uno. Luego, se quita el dieléctrico de uno de los capcacitores, esto hará que disminuya su capacidad a:



donde C' es la capacidad sin el dieléctrico. [ Recordemos que Capacidad (con medio material) = ε  Capacidad (en vacío) ]


Una vez que el sistema esté en equilibrio (estado II), tendremos la siguiente situación:




Ahora la pila está desconectada así que no influye. Es importante notar que ambos capacitores tienen que tener la misma carga porque están en serie, y además, tienen la misma carga Q que en estado I), debido a que se abrió el interruptor cuando tenían esa carga Q. Por lo tanto:


para cada capacitor (igual que antes). Usando esta carga, y la capacidad de cada uno, podemos calcular:

- Para el capacitor izquierdo:

- Para el capacitor derecho (es el mismo valor que en el estado I).:


c) Estado III
Ahora se cierra la llave A. A partir de ahora, la carga puede circular  y por lo tanto, la carga y las diferencias de potencial calculadas recién pueden modificarse. Nuevamente los dos capacitores deben tener la misma carga, porque están en serie, eso sí, como la situación es diferente a la del estado I, no tiene por qué ser la misma carga que al inicio. A esta nueva carga de los capacitores la llamaremos QIII .

 Cuando todo llegue al equilibrio, tiene que verificarse que la diferencia de potencial entre 1 y 2 vuelve a ser la de la pila, o sea, V0. Pero, como las capacidades ahora son diferentes entre sí, las diferencias de potencial también lo serán: las llamaremos ΔV'III y Δ VIII para los capacitores C' y C respectivamente (ver figura):




Para calcular QIII, podemos usar la capcidad equivalente de los capacitores C y C' en serie. Como C' =C/4, se llega a que Cequivalente = C / 5 (hacerlo!!). Planteamos entonces que, para el conjunto de los dos capacitores:


Esta es la carga en cada uno de los capacitores en el estado III. Sólo falta la diferencia de potencial entre las placas de cada uno (usando la expresión Delta V = Q/C aplicada a este caso).



Notar que sumando ambas diferencias de potencial, se obtiene la de la pila, es decir, V0.

Sugerencias:
1) calcular la energía almacenada en los capacitores en cada uno de los tres estados.
2) ¿Cómo se modificaría el estado II) si primero se quitara el dieléctrico del capacitor izquierdo, estando el interruptor cerrado, y después se abriera el mismo?

13 comentarios:

  1. Profe quiero agradecerle INMENSAMENTE por haberse quedado a explicarme todo lo que no entendia!!! No tengo palabras para agradecerle por su bondad y gratitud. Sólo me queda felicitarla por ser TAN buena profesora!!! Ojalá todos los profes se contagiaran un poco de usted esa dedicación profunda que tiene con su materia y sus alumnos!
    Que Dios la bendiga!!
    Nos vemos el martes!
    Pd: la chica q se quedó después de hora :)

    ResponderEliminar
  2. Hola!

    Muchas gracias por tus palabras, y gracias a vos por participar en mis clases! Si llegás a tener dudas o cualquier cosa que no entiendas de aquí al Martes, no dudes en usar este medio. Espero que te vaya muy bien en el parcial!! :) Igualmente que Dios te bendiga!
    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar
  3. a mi me parse muy aburrido y fastidioso

    ResponderEliminar
  4. Hola Akira,

    Así es, cuando a un capacitor de capacidad C que tiene vacío adentro, se le agrega un dieléctrico, la nueva capacidad va a ser: C* = er . C

    Y al revés: si la capacidad era "C*" CON dieléctrico, entonces la capacidad EN VACIO C va a ser: C = C*/er

    Esto que dije arriba vale para cada capacitor individual, no para la serie. Entonces, primero calculás las capacidades de cada uno con o sin material, y después sacás la capacidad equivalente.

    Por ejemplo: supongamos que hay dos capacitores, uno de 10 mF y otro de 20 mF, VACIOS, ambos en serie. En este caso da Ceq = 20/3.

    Ahora supongamos que al de 10 mF le agregás un material con er = 5, y siguen conectados en serie, entonces te quedan: C1' = 5.10 mF = 50 mF, C2 = 20 mF, y después sacás la capacidad equivalente: Ceq' = (1/50mF + 1/20mf)^(-1)


    Algo análogo pasaría si estuvieran en paralelo: primero hallás la nueva capacidad al agregar / o quitar material para cada capacitor, y después calculás la equivalente del paralelo.


    Espero haber interpretado tu pregunta.


    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar
  5. Hola Akira,

    ¿Te referís al ejercicio de esta entrada del Blog? Lo único que falta hacer es reemplazar: C = 10 mF y V0 = 2 volts, en las fórmulas recuadradas en azul, en cada uno de los tres casos. Sólo eso; no hay que despejar nada.


    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar
  6. Profe tengo una duda con respecto al estado III, porque lo que yo habia hecho fue: como el enunciado dice que llega al equilibrio, con los delta de potencial de cada capacitor (obviamente cada uno como estaba en el estado II, es decir sacando en uno de ellos el dielectrico) saque las cargas, por supuesto no me salio bien.. Porque tiene que verificarse que el delta v sea igual al de la pila?

    ResponderEliminar
  7. Perdón, otra consulta. Respondiendo a su pregunta 2 de las sugerencias,el delta v para cada uno de los capacitores seria el calculado en el estado I y la carga se calcula deltaV(calculado en estado I) por capacitor correspondien= Q(de ese capacitor) ? Pero en este caso los Q me dan diferentes y no condice con que esten en serie..
    Desde ya muchas gracias!

    ResponderEliminar
  8. Hola Agustina,


    El problema es que los DeltaV sobre cada capacitor, en el estado II, NO son los mismos DeltaV sobre cada capacitor, en el estado III. Por la siguiente razón: en el estado III conectás la pila, eso quiere decir que por los cables va a poder circular carga.... o sea que la carga puede cambiar. Y, además, como CADA capacidad es la misma que la del estado II, entonces también va a cambiar el DeltaV individual de cada uno, ya que, para CADA uno:



    DeltaV = Q/C --> como C no cambia, y Q sí, entonces también tiene que cambiar DeltaV para que se mantenga la igualdad.


    Entonces: en el estado III NO se pueden usar los mismos DeltaV que en el estado II.



    Además: el estado III es un nuevo estado de equilibrio, entonces el DeltaV total de los dos capacitores, va a tener que ser igual al de la pila, ya que la pila está CONECTADA. Si el DeltaV total no fuera el de la pila, habría un desequilibrio.


    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar
  9. Hola Agustina,


    Si dejás la pila conectada mientras quitás el material de uno de los capacitores, lo que sí va a ser constante es el deltaVTOTAL --> o sea, el de la pila, porque lo estás "imponiendo".


    Pero el DeltaV de cada capacitor puede cambiar, ya que al cambiar UNA de las capacidades (quitás el material de uno), va a cambiar también la capacidad total del sistema.... y como vale:


    Ctotal = Q / DeltaVtotal
    Ctotal = Q /DeltaV(pila)
    Q = Ctotal . DeltaV(pila)


    Al cambiar Ctotal, como DeltaV(pila) es constante, entonces tiene que cambiar Q. Va a poder cambiar.... ya que al estar conectada la pila, las cargas pueden circular.


    Y como los capacitores están en serie, cada uno va a tener la misma Q... y como Q cambió... entonces tiene que cambiar el DeltaV para cada uno. Pero eso sí, la suma de los dos va a seguir dando DeltaVpila.


    Las cargas te dieron diferentes por lo antes explicado, o sea: estás suponiendo que los DeltaV son los del estado anterior, lo cual no es cierto para cada uno.



    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar
  10. Una duda profesora, no entiendo como calcular el C con el dielectrico; tengo entendido que la formula es: C*(dielectrico)= εr x Co, pero no entiendo en qué momento usarlo: cuando saco la Ceq (la inversa en el punto a) por estar en serie) y despues la multiplico por εr, o al Co inicial le multiplico εr y luego saco la Ceq.


    Disculpe si la maree, pero realmente no me ubico.

    ResponderEliminar
  11. Y otra cosa, no podría colocar los resultados de los ejercicios? Sé que da las formulas para hacerlo, pero quisiera saber si voy haciendo bien los ejercicios. Si no puede lo voy a comprender, no se preocupe.

    ResponderEliminar
  12. Profe no entiendo el estado 3

    ResponderEliminar
  13. Hola Paola,

    Antes de ver el estado 3, acordáte que, justo antes de volver a cerrar el interruptor, las diferencias de potencial sobre los capacitores son 2Vo y Vo/2.... sumándolas, da (5/2) . Vo. Esto quiere decir, que justo antes de cerrar nuevamente el interruptor, la diferencia de potencial TOTAL sobre los capacitores es DIFERENTE que la dif. de potencial sobre la fuente, que es Vo

    Entonces, al cerrar el interruptor, se produce un DESEQUILIBRIO, ya que hay (5/2) Vo sobre los capacitores y Vo sobre la fuente. Por este motivo, es que comienza a circular carga... puede circular, ya que el circuito está cerrado. Y entonces va a cambiar la carga de cada capacitor... va a seguir siendo la misma en los dos (porque están en serie), pero van a tener LAS DOS otro valor.

    Lo que va a pasar, en el NUEVO equilibrio, después de que la carga circule, es que la diferencia de potencial TOTAL sobre los dos capacitores sea Vo, que es la dif. de potencial IMPUESTA por la fuente (la dif. de potencial sobre la fuente no puede cambiar).

    Entonces, en el equilibrio, conviene trabajar con el capacitor EQUIVALENTE entre los dos... si hacés el equivalente entre C y C/4, estando en serie, da C/5. Y se plantea:

    Qtotal = Cequivalente . DeltaVtotal

    Pero DeltaVtotal = Vo (la de la fuente), y Cequivalente = C/5, entonces ahí queda Qtotal = Vo . C/5

    Y esa Qtotal, va a ser la MISMA de cada capacitor, ya que están en serie. Lo único que falta después, es, para CADA capacitor por separado, sacarle la diferencia de potencial, entonces para CADA capacitor se plantea DeltaV = Q/C:

    Para el izquierdo: DeltaVizq = (Vo . C / 5) / (C/4)
    Para el izquierdo: DeltaVder = (Vo . C / 5) / C


    Avisáme si ahora lo entendés.


    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar

Podés dejar aquí tus preguntas:

Nuevo Foro de Consultas


Si tenés dudas sobre los temas de la materia, estás invitado a hacer tus consultas en este nuevo FORO:

http://cbcbiofisica.tk/forumdisplay.php?fid=2