Ejemplo de circuito de capacitores

Problema.

El circuito de la figura está formado por dos capacitores iguales, entre cuyas placas hay un dieléctrico de permitividad relativa ε = 4; llamaremos C a la capacidad de cada uno de ellos.

Se conecta entre 1 y 2 una pila de potencial V0, se cierra el interruptor A, y se espera hasta que se carguen los capacitores. (estado I). Posteriormente se abre el interruptor, después de eso se retira el medio dieléctrico de uno de los capacitores, y se espera que lleguen al equilibrio. (estado II). Más tarde, vuelve a cerrarse el interruptor A y se espera hasta que se llegue al equilibrio. (estado III)

Hallar, para cada capacitor, la diferencia de potencial entre sus placas y su carga, en función de los datos:
a) en el estado I
b) en el estado II
c) en el estado III


Datos: ε = 4, C = 10 mF, V0 = 2 volts.

Importante: traten de hacerlo antes de leer la resolución que sigue abajo!!!!


Resolución:
En todos los casos, los capacitores están en serie, esto significa que ambos tienen la misma carga y, además, la diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 será la suma de las diferencias de potencial para cada capacitor.

Analicemos por separado cada estado:

a) Estado I: 
Los capacitores aquí son exactamente iguales, cada uno de ellos tiene capacidad C (este valor C, ya incluye la contribución del material dieléctrico dentro de cada capacitor).  Como están en serie, tienen la misma carga, que llamaremos Q. Entonces, la diferencia de potencial entre las placas de uno cualquiera de ellos se escribe:

ΔV = Q / C                  (1)

Y como tanto Q como C toman el mismo valor para los dos, entonces también ΔV es el mismo para cada uno, por lo tanto, la diferencia de potencial de la pila se expresa:

V0 = ΔV + ΔV = 2 ΔV    (2)

De las ecuaciones (1) y (2) sale que:

b) Estado II
Después se abre el interruptor. Una vez que el interruptor está abierto, la carga de los capacitores no puede cambiar más, ya que no puede "irse" a ningún lado, por lo tanto, quedarán con la misma carga que tenían justo antes de abrir el interruptor: o sea, Q y -Q en cada uno. Luego, se quita el dieléctrico de uno de los capcacitores, esto hará que disminuya su capacidad a:

donde C' es la capacidad sin el dieléctrico. [ Recordemos que Capacidad (con medio material) = ε  Capacidad (en vacío) ]


Una vez que el sistema esté en equilibrio (estado II), tendremos la siguiente situación:

Ahora la pila está desconectada así que no influye. Es importante notar que ambos capacitores tienen que tener la misma carga porque están en serie, y además, tienen la misma carga Q que en estado I), debido a que se abrió el interruptor cuando tenían esa carga Q. Por lo tanto:

para cada capacitor (igual que antes). Usando esta carga, y la capacidad de cada uno, podemos calcular:

- Para el capacitor izquierdo:

- Para el capacitor derecho (es el mismo valor que en el estado I).:

c) Estado III
Ahora se cierra la llave A. A partir de ahora, la carga puede circular  y por lo tanto, la carga y las diferencias de potencial calculadas recién pueden modificarse. Nuevamente los dos capacitores deben tener la misma carga, porque están en serie, eso sí, como la situación es diferente a la del estado I, no tiene por qué ser la misma carga que al inicio. A esta nueva carga de los capacitores la llamaremos QIII .

 Cuando todo llegue al equilibrio, tiene que verificarse que la diferencia de potencial entre 1 y 2 vuelve a ser la de la pila, o sea, V0. Pero, como las capacidades ahora son diferentes entre sí, las diferencias de potencial también lo serán: las llamaremos ΔV'III y Δ VIII para los capacitores C' y C respectivamente (ver figura):

Para calcular QIII, podemos usar la capcidad equivalente de los capacitores C y C' en serie. Como C' =C/4, se llega a que Cequivalente = C / 5 (hacerlo!!). Planteamos entonces que, para el conjunto de los dos capacitores:

Esta es la carga en cada uno de los capacitores en el estado III. Sólo falta la diferencia de potencial entre las placas de cada uno (usando la expresión Delta V = Q/C aplicada a este caso).

Notar que sumando ambas diferencias de potencial, se obtiene la de la pila, es decir, V0.

Sugerencias:
1) calcular la energía almacenada en los capacitores en cada uno de los tres estados.
2) ¿Cómo se modificaría el estado II) si primero se quitara el dieléctrico del capacitor izquierdo, estando el interruptor cerrado, y después se abriera el mismo?