lunes, 22 de noviembre de 2010

Ejemplo de termodinámica - Ciclo con isobara - adiabática - isoterma

Una masa de gas ideal experimenta un conjunto de transformaciones reversibles como las indicadas en el gráfico: una expansión a presión constante, otra adiabática, y una compresión isotérmica que lo regresa a su estado inicial. ¿Cuál es la única afirmación verdadera entre las que siguen?


a) En la expansión isobárica el gas realiza un trabajo de 10 J.
b) En la expansión adiabática, el gas realiza trabajo y disminuye su energía interna en menos de 9 J.
c) En la expansión adiabática, el gas realiza trabajo y disminuye su energía interna en más de 9 J.
d) En la compresión isotérmica, el gas recibe trabajo y cede más de 12 J de calor.
e) En el ciclo completo, el gas realiza trabajo y absorbe más de 16 J de calor.
f) En el ciclo completo, el gas recibe trabajo y cede más de 16 J de calor.

 Analicemos cada una de las opciones.


a) En la expansión isobárica el gas realiza un trabajo de 10 J.

La expansión isobárica es el tramo horizontal marcado en rosa en el gráfico. El trabajo, es el área que va desde dicho tramo horizontal, hasta el eje x. Este es un trabajo hecho por el gas (trabajo positivo), ya que es una expansión.


De acuerdo a las unidades, el área de cada cuadradito del gráfico representa 1 J (1 kPa X 1 litro = 1 Joule); por lo tanto, el trabajo que hace el gas durante la expansión isobárica es de  5 J, y NO de 10J, porque se cuenta el área que va desde V = 1 litro hasta V = 2 litros (o sea, sólo debajo del tramo isobárico).
Por lo tanto, a) es FALSA.

b) En la expansión adiabática, el gas realiza trabajo y disminuye su energía interna en menos de 9 J.

Una expansión adiabática, es una transformación tal, que entre dos puntos cualesquiera de la misma, el calor intercambiado por el gas es cero.  Es una curva, como podemos ver en el gráfico (curva azul), pero no es lo mismo que una isoterma, ojo!!! La temperatura va cambiando punto a punto.

En esta expansión, el gas hace trabajo, eso es verdad. Calculemos qué pasa con su energía interna: de acuerdo al primer principio,aplicado sólo al tramo adiabático:

ΔUadiab = Qadiab - Ladiab = 0 - Ladiab

Como el gas hace trabajo, Ladiab > 0, por lo tanto  ΔUadiab < 0. Es decir, la energía interna disminuye. Pero necesitamos saber o estimar en cuánto: para eso estimemos el área usando los cuadraditos del gráfico:

El área bajo la curva adiabática va de V = 2 litros hasta V = 5 litros; tenemos en principio 3 J debido a los 3 cuadraditos que están pegados al eje x. Además de eso, podemos asegurar que el área restante va a ser menor que el área del triángulo formado por los puntos (2,1), (2,5) y (5,1). Dicho triángulo tiene 3 litros de base y 4 kPa de altura, o sea, su área es de 6 J. Por lo tanto, podemos asegurar que el área bajo la curva azul va a ser menor que 3 J + 6 J = 9 J. Es decir, el trabajo será menor que 9 J, y por lo tanto, la energía interna disminuye en menos de 9 J.


Por lo tanto, b) es VERDADERA.

De todos modos, vamos a seguir analizando las opciones restantes para asegurarnos de que todas son falsas.

c) En la expansión adiabática, el gas realiza trabajo y disminuye su energía interna en más de 9 J.

La última parte de esta opción es claramente contradictoria con la anterior; ya vimos que la energía interna disminuye en menos de 9 J. 

Por lo tanto, c) es FALSA.


d) En la compresión isotérmica, el gas recibe trabajo y cede más de 12 J de calor.

La primera parte es cierta, es decir, durante la compresión isotérmica, el gas recibe trabajo: el trabajo es negativo en este tramo. Estimemos el calor que intercambia con el medio.

Como el gas es ideal, sabemos que ΔU = n Cv ΔT, por lo tanto, al ser una isoterma, es ΔT=0. Entonces, de acuerdo al primer principio:

ΔUisot = Qisot - Lisot = 0
Por lo tanto:   
Qisot = Lisot = - área bajo la curva


El trabajo es negativo, por lo tanto el gas cede calor en este caso.  Pero estimemos cuánto, en forma similar a como lo hicimos antes. Primero vemos 4 cuadraditos pegados al eje x (ahí ya tenemos 4 J). Observemos que el triángulo formado por (1,1), (1,5) y (5,1), tiene área 8 J (4 X 4 /2), y la isoterma pasa por debajo de la hipotenusa de dicho triángulo. Por lo tanto, el área bajo la isoterma es menor que 4 J + 8 J = 12 J.


Por lo tanto, d) es FALSA.

e) En el ciclo completo, el gas realiza trabajo y absorbe más de 16 J de calor.

Es verdad que en el ciclo completo el gas realiza trabajo, ya que las áreas positivas bajo la isobara y bajo la adiabática, superan al trabajo negativo bajo la isoterma. Otra forma de verlo, es que el ciclo se recorre en el sentido de las agujas del reloj, así que el trabajo encerrado es positivo. También es cierto que en el ciclo completo absorbe calor, ya que 0 = ΔU = Q - L para el ciclo, con lo cual Q = L, y como L es positivo, Q también lo es. Pero falta estimar cuánto.

El trabajo es el área encerrada entre las tres curvas; una estimación MUY grosera, contando todos los cuadraditos donde cae algo del área encerrada (verlo en el gráfico) nos indica que seguro es menor que 10 J (y bastante menos también).

Por lo tanto, e) es FALSA.


f) En el ciclo completo, el gas recibe trabajo y cede más de 16 J de calor.

Es falso que en el ciclo completo el gas reciba trabajo, ya que hemos visto que, sumando todas las etapas, el gas hace trabajo y recibe calor. Además recibe menos de 16 J, como ya hemos visto.


Por lo tanto, f) es FALSA.


Podés dejar tus preguntas a continuación.

12 comentarios:

  1. hola!q tal?
    Quería preguntarle sobre el problema 1 del sábado 23/10,en el cual no entiendo bien a qué se refiere la pregunta:¿Cuál es el valor mínimo de energía eléctrica por ciclo,que emplea el aparato?
    Yo sé que deltaU=0=-620j-L ,los 620j en negativo porque son perdidos por la fuente fría.Pero las demas cuentas no sé bien cómo usarlas ya que quise averiguar Qc pero no me dio 34j.
    Espero su respuesta,muchas gracias.

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  2. Hola!

    Entiendo que te referís al problema 1 de esta serie:

    http://cbcbiofisica.blogspot.com/2010/10/problemas-variados-de-calorimetria-y.html

    La energía eléctrica que emplea el aparato es el trabajo que *recibe*. Esta es una máquina frigorífica, por lo tanto, recibe trabajo, además extrae cierto Qf de un recinto (el recinto que querés mantener a cierta Tf), y entrega calor a otra fuente a Tc.

    La ecuación que planteaste tiene dos errores:

    - Los 620 J son POSITIVOS, porque la ecuación que estás planteando es PARA LA MAQUINA, y la máquina RECIBE esos 620 J.

    - Además, la máquina cede cierto calor Qc a la fuente caliente que está a Tc.

    Entonces la ecuación para la máquina queda:

    0 = 620 J + |L| - Qc

    Hasta acá tenés dos incógnitas, o sea que aún no podés despejar nada.

    Pero te piden el valor MINIMO de trabajo, esto es, un valor límite para que la máquina pueda funcionar. Sabemos que de acuerdo al 2do. principio de la termodinámica el rendimiento de una máquina está limitado.

    Entonces: sugerencia: planteá el rendimiento ideal para la máquina frigorífica y comparálo con el rendimiento real. Ahí vas a poder sacar L.

    Saludos,
    Miriam

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  3. En el punto b)

    deltaU= - L

    3J(area del rectangulo) + 6J(area,menor que el triangulo) =9J(MENOS QUE 9J)

    Si lo reemplazo en la formula

    deltaU= -9J  ??

    ESTO ES CORRECTO?


    O SEA QUE EL TRABAJO Y LA ENERGIA INTERNA ES IGUAL A -9J?

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  4. Hola Claudio,


    Sobre la opción b):

    Lo de DeltaU = - 9J sería correcto si el área fuera IGUAL a 9 J.  En realidad, el valor del área es un poco menor.

    Pero supongamos por un momento, que fuera exacto. En ese caso:

    - El trabajo, sí, sería -9 J.
    - La VARIACION (ojo!) de energía interna sería -9 J. Esto significa que:

    U(final) - U(inicial) = -9J
    O sea:

    U(final) = U(inicial) - 9J


    Esta última ecuación indica que la U final es MENOR que la U inicial, siendo la diferencia de 9 J.

    Pero, repito, en realidad no es 9J la diferencia, sino un poco menos, debido a que el área es un poco más chica. Por ejemplo: podría ser que te diera: DeltaU = -8,5 J o DeltaU = - 8 J.

    ------------

    Sobre la opción d): el calor NO es exactamente Q = - 12 J. Fijáte que el área, en valor absoluto, es MENOR que 12 J, entonces, si escribieras el Q con signo y todo, te daría MENOR EN VALOR ABSOLUTO, que 12 J.

    Por ejemplo: podría ser Q = - 11 J, o Q = -11,5 J, etc. El valor exacto, lo podrías calcular, con:

    L = nRT  ln (Vf /Vi) = piVi ln (Vf /Vi) = pf Vf ln (Vf /Vi)

    Tomando valores para p y V del gráfico, podrías calcular L exactamente. Debería darte NEGATIVO, pero con VALOR ABSOLUTO menor que 12 J.

    Saludos,
    Miriam

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  5. Medranojohanna94@gmail.com27 de febrero de 2013, 17:05

    hola profe una pregunta sobre este ejercicio la del grafico de arriba como me doy cuanta al ver el grafico o con que calculos saco que la expancion del gas es adiabatica por que se que si es adiabatica no intercambia calor pero como me doy cuanta si es adiabatica si por ejemplo en el grafico no veo si el sistema intercambia calor

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  6.  Hola Johanna,

    Es muy buena la pregunta. A nivel de este curso: el enunciado te tiene que decir si es adiabática o no, ya sea en forma directa como en este problema (fijáte que el enunciado menciona que es una curva adiabática), o en forma "indirecta": te dicen que durante ese proceso no se intercambia calor; o tal vez podrían darte de dato el valor del trabajo, y entonces calculando DeltaU podrías calcular Q y ver si da cero.

    Ahora bien: si no te dijeran nada de eso en el enunciado, y si el gas es ideal, hay una ecuación que tienen que cumplir las curvas adiabáticas. Te lo comento como información (pero esta ecuación no se ve en el curso). La ecuación es:

    - Para gas ideal monoatómico:

    p1 . V1^(5/3) = p2 . V2^(5/3)

    donde (V1,p1) y (V2,p2) son los conjuntos de volumen y presión de dos PUNTOS cualesquiera de esa curva adiabática (por ejemplo: el inicial y el final. O cualquier intermedio). El "^" indica potencia, así que el 5/3 es un exponente (el exponente afecta sólo al Volumen, NO a la presión).

    - Para gas ideal diatómico es todo igual, exceptuando que el exponente es 7/5 en vez de 5/3.

    Si el gas no fuera ideal, se complica bastante más!

    Tenés razón en que, con el gráfico, a simple vista no se ve si intercambia calor o no... tendrías que usar la ecuación que te mencioné y probarle los valores del gráfico. Pero en este problema fijáte que no hace falta.

    Saludos,
    Miriam

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  7.  Otra forma en la que se me ocurre que te podrían decir que es  adiabática, indirectamente:

    Si te dicen que el proceso es reversible e isoentrópico, entonces, tiene que ser adiabático.

    (ojo: no a la inversa. Que sea adiabático no quiere decir que sea reversible)

    "Isoentrópico" como su nombre lo indica, es un proceso donde  TODOS los puntos tienen igual entropía (TODOS los puntos intermedios, no sólo el estado inicial y el final).

    Bueno, si te dicen que es reversible e isoentrópico, entonces tiene que ser adiabático, porque entre dos puntos muy próximos la variación de entropía tendría que ser: dS = (dQRev)/T, y como  dS = 0, entonces dQ = 0, y esto valdría para todo par de puntos del proceso.

    Saludos,
    Miriam

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  8. Hola Profe!

    en la opción b), que es la opción VERDADERA...

    Cuando usas la ecuación:

    ΔUadiab = Qadiab - Ladiab = 0 - Ladiab

    ¿Por qué el Trabajo queda positivo? y la Variación de Energía Interna negativa? No podría ser al revés??

    ΔUadiab = - Ladiab



    Otra pregunta: No entiendo como hacés el calculo de los cuadraditos, para que te de menos de 9 joules...


    GRACIAS PROFE!!!

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  9. Ya entendí lo de los cuadraditos!
    Pero con la primera pregunta, todavía tengo la duda...

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  10. Hola Carlota,

    La curva adiabática es la curva marcada en AZUL, que es una EXPANSION. En toda expansión (el volumen AUMENTA) reversible, el trabajo hecho por el sistema es positivo, porque la fuerza que hace EL SISTEMA *sobre* el exterior va en el mismo sentido de movimiento.

    Lo que quiero decir es que el émbolo se está moviendo "hacia afuera", y la fuerza que el gas de adentro hace sobre el émbolo, también va hacia afuera, entonces el trabajo queda con F . desplazamiento . cos(0).

    En cambio en una compresión es al revés: la fuerza que hace el gas sobre el émbolo sigue teniendo sentido hacia afuera, pero el émbolo va hacia dentro, entonces el trabajo queda con F . desplazamiento . cos(180).

    Entonces, volviendo a la fórmula: como es una ADIABATICA, quedó ΔUadiab = - Ladiab, entonces automáticamente, como Ladiab es POSITIVO, -Ladiab es negativo, entonces seguro queda que ΔUadiab es negativa.


    Saludos,
    Miriam

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  11. Hola Carlota,


    La otra pregunta te la respondí más arriba. Lo de los cuadraditos, es contando el AREA que va desde la línea recta que une los puntos (2,5) y (5,1) HASTA el eje V.... si marcás toda esa área da 9 J, pero como la curva azul está POR DEBAJO de esa línea recta, entonces el área real es MENOS de 9 J.


    Debo aclarar que al hacer esta estimación, estoy aproximando la curva adiabática como si comenzara en V = 2 litros... en realidad comienza un poquito a la izquierda, pero estoy despreciando eso y suponiendo que la curva azul comenzara en (2,5)... (tendría que cambiar un poquito el dibujo).


    Saludos,
    Miriam

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  12. PD: si fuera una COMPRESION adiabática, entonces ahí sí, el trabajo sería negativo, y como consecuencia quedaría DeltaU positiva.

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