sábado, 20 de noviembre de 2010

Resolución de un problema de ejemplo de calorimetría

En un recipiente se coloca un bloque de 2kg de aluminio (c_Al = 0,214 cal/g ° C) a 200°C, junto con 100 g de hielo (c_hielo = 0,5 cal/g ° C ) a -30°C. Se cierra el recipiente, y se espera a que el sistema llegue al equilibrio. Suponiendo que el recipiente no deja pasar calor de/hacia el exterior y que su capacidad calorífica es despreciable, calcular:
a) La temperatura final del sistema y su estado.
b) La variación de entropía del universo

a) La temperatura final del sistema y su estado.

Pensemos qué es lo que podría ocurrir, aclaremos que aún no sabemos si todas las siguientes etapas van a tener lugar o no, esto dependerá de los datos:


a) El hielo absorbe calor del aluminio:
a1) por lo tanto va a calentarse desde los -30 °C , pudiendo llegar hasta 0 ° C, 
a2) Si en la etapa anterior llegara a 0 ° C, luego podría fundirse, esto ocurriría a temperatura constante de 0° C
a3) Si se fundiera todo, luego el agua líquida resultante podría calentarse desde 0°C hasta 100° C
a4) Si el agua llegara a 100°C, después podría pasar a ser vapor de agua, durante este proceso el agua-vapor seguiría a 100°C
a5) y por último, si la etapa anterior se completara, el vapor resultante podría calentarse hasta una temperatura mayor que 100° C

b) El aluminio cede calor al hielo/agua/vapor:
b1) por lo tanto va a enfriarse, desde una temperatura de 200° C hasta una temperatura final Tf. Seguro que va a ser Tf < 200° C. El aluminio no sufre cambios de estado ya que su temperatura de fusión está muy por encima de 200° C.

Pero, ¿cuáles realmente de las etapas a1) a a5) son las que ocurrirán? Para averiguar eso, primero calculemos cuántas calorías necesitarían estas etapas.

a1) Calor que absorbería el hielo para ir de -30°C a 0°C
Qa1 = mhielo c_hielo (0 - (-30) °C = 100 g 0,5 cal/g°C 30 C = 1500 cal

a2) Calor que absorbería el hielo durante la fusión (proceso a 0° C)
Qa2 = mhielo Lfus_hielo = 100 g 80 cal/g = 8000 cal

a3) Calor que absorbería el agua para ir de 0°C a 100° C
Qa3 = magua c_agua (100 - 0)°C = 100g 1cal/g°C 100°C = 10000 cal

a4) Calor que absorbería el agua para transformarse en vapor (proceso a 100° C)
Qa4 = magua Lvap = 100g  540 cal/g = 54000 cal

a5) Calor que absorbería el vapor de agua para calentarse desde 100°C hasta alguna temperatura final
Qa5 = mvapor c_vapor (T - 100°C) = 100 g 0,47 cal/g°C (T -100°C)


Veamos cuántas calorías puede ceder el aluminio, así vamos a saber hasta dónde va a llegar el agua, es decir, vamos a saber cuáles de las etapas anteriores realmente tienen lugar.

El aluminio se enfría desde 200C hasta la temperatura final (etapa que llamamos b1), es decir:

Qb1 = maluminio c_Al (Tf - 200°C) = 2000 g 0,214 cal/g°C (T - 200°C) =  428 cal/C (T - 200°C)    (ec. 1)

Para calcular Qb1 necesitaríamos la temperatura final. Pero hagamos un cálculo hipotético:

- Si tomáramos T = 100°C, nos quedaría Qb1 =  - 42800 calorías

[Aclaración: el anterior es un cálculo tentativo, es decir, todavía NO sabemos si el aluminio va a llegar a 100C, o si va a bajar de 100C, o si no baja tanto como hasta 100C, pero como 100 C es una temperatura "relevante" (ya que es el punto de ebullición del agua) la elegimos para hacer nuestro cálculo, y luego veremos qué le pasaría al agua si el Aluminio llegara a 100 C. ]

Esas 42800 calorías las absorbería el agua. Observando los resultados anteriores, fíjense que esas calorías SÍ alcanzan y sobran para que el hielo se caliente, se funda, y para que el agua llegue a 100°C. PERO, no alcanzan para que el agua se haga toda vapor, ya que para eso necesitaríamos: 1500 cal + 8000 cal + 10000 cal + 54000 cal = 73500 calorías!!! Y el aluminio no puede cederlas, a menos que su temperatura final fuera menor que 100, pero esto no podría pasar, ya que el agua va a llegar a 100 °C seguro.

Entonces:
- Las etapas Qa1, Qa2 y Qa3 sí van a suceder, completas, porque para eso sólo se necesitan 1500 cal + 8000 cal + 10000 cal = 19500 calorías, y el Aluminio sí puede cederlas.
- La etapa Qa4 va a suceder parcialmente, ya que se necesitan 54000 calorías y el Aluminio no puede cederlas todas, pero sí una parte. Entonces, Qa4 va a poder expresarse de la siguiente manera:


Qa4 = mvapor  Lvap = mvap 540 cal/g

donde mvap es la masa de agua que pasa al estado de vapor.

- La etapa Qa5, es decir, que los 100g de vapor se calienten a partir de 100°C, queda descartada, ya que el agua NO va a transformarse totalmente en vapor.

Entonces: el hielo se va a calentar desde -30°C, se va a fundir, el agua resultante se calentará hasta 100°C, y parte de ella se vaporizará. Al mismo tiempo el aluminio se va a enfriar. En el estado final, va a haber agua y vapor a 100°C, por lo tanto el aluminio estará también a esa temperatura. La temperatura final ahora no es incógnita, pero sí lo es la masa de agua que va a vaporizarse.

Ahora sí podemos plantear la ecuación para el calorímetro adiabático:

Suma de calores = 0


Qa1 + Qa2 + Qa3 + mvap 540 cal/g + Qb1 = 0

Reemplazando cada uno (Qa1, Qa2 y Qa3 se calcularon arriba, Qb1 se calcula reemplazando T = 100°C en (1), y mvap es incógnita):

1500 cal + 8000 cal + 10000 cal + mvap 540 cal/g  + 2000 g 0,214 cal/g°C (100 - 200) °C = 0

Despejando, sale que:

mvap = 43,15 g

Este valor es consistente con los datos, ya que da menor que la masa de agua total, que es de 100 g. Si nos hubiera dado un valor absurdo: una masa negativa, o un valor de masa superior a 100g, entonces tendríamos que revisar todo!!

Entonces: el estado final del sistema será:
- Temperatura de equilibrio, 100°C
- Habrá 2000 g de Aluminio sólido,  43,15 g de vapor de agua y (100 - 43,15) g de agua líquida.

Gráfico de T vs |Q|:



b) Variación de entropía del sistema

Δ Suniv = ΔSsistema agua-Aluminio + ΔSentorno

Como el calorímetro es adiabático, no pasa calor desde/hacia él, por lo tanto: ΔSentorno= 0
Así que, la variación de entropía del universo, ΔSuniv, será sólo debida a los elementos que están dentro del recipiente: hielo/agua/vapor y aluminio. Es decir:

Δ Suniv = ΔSsistema agua-Aluminio = ΔSagua + ΔSAluminio       (ec. 2)

Hallemos por separado ambos términos de la ecuación anterior

- Variación de entropía del aluminio:

ΔSAluminio = maluminio c_Al ln (Tfinal/Tinicial_Al) = 2000 g 0,214 cal/g°C  ln(373°K/473°K)    (ec. 3)

(cuidado! las temperaturas en la entropía tienen que estar en grados KELVIN!)

- Variación de entropía del agua. Aquí tenemos 4 contribuciones, de las 4 etapas:

 ΔSagua = ΔS (hielode -30 a 0) + ΔS (fusión del hielo) + ΔS (agua de 0 a 100) + ΔS (vaporización de parte del agua) 

ΔSagua = mhielo c_hielo ln(273°K/243°K) + mhielo Lfusiónhielo / 273°K + 
+ magua c_agua ln(373°K/273°K) + mvap Lvap /373 K

ΔSagua = 100 g  0,5 cal/g°C ln(273 K/243 K) + 100 g  80 cal/g  /273°K + 
+ 100 g 1 cal/g°C ln(373°K/273°K) + 43,15 g 540 cal/g / 373°K               (ec. 4)

Luego, reemplazando en la ecuación (2) los valores de variación de entropía hallados en las ecuaciones (3) y (4), se obtiene la variación de entropía del universo (hacer la cuenta!). Tiene que dar positiva!!

-------

Variantes:
1) Repetir el problema, si en vez de 2 kg de aluminio tuviéramos sólo 100 g de Aluminio. ¿Qué etapas ocurren ahora?

2) Calcular la masa mínima del aluminio (también, con temperatura inicial de 200°C), para que el bloque de hielo (inicialmente a -30°C), llegue a transformarse en vapor de agua a 120°C.

15 comentarios:

  1. mui bueno en el problema me aclaro varias dudas :)

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  2. una duda a la capacidad calororifica, solamente la uso cuando me la dan ?
    se usaria cuando nos dicen k es un recipiente adiabatico y nos la dan como dato o sino se la desprecia?

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  3. Hola!

    Supongo que te referís a la capacidad calorífica del recipiente.

    Aunque el calorímetro sea adiabático (es decir que no sale ni entra calor desde el exterior), las paredes internas podrían absorber o ceder calor.

    Es decir, que aún en el caso de calorímetro adiabático, se debería tener en cuenta a menos que te digan que la desprecies.

    Dicho esto: te comento que vi muchos problemas donde no dicen que hay que despreciarla, pero igual hay que despreciarla porque si no, faltan datos y no podés resolver nada!

    De eso te vas a dar cuenta al resolver el problema. En la duda, preguntá en voz alta si se desprecia o no.

    Un ejemplo: es éste problema, el que expliqué en esta entrada:

    http://cbcbiofisica.blogspot.com/2010/11/resolucion-de-un-problema-de-entropia.html

    Otra cosa: si el recipiente NO es adiabático, ahí también debería tenerse en cuenta la capacidad calorífica del recipiente, en ese caso tendrías: un calor que sale o entra al calorímetro Q1, otro calor que es absorbido o recibido por las paredes del recipiente, Q2, y los calores intercambiados por las sustancias dentro del calorímetro.

    Espero haber interpretado bien tu pregunta.
    Saludos,
    Miriam

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  4. prof cuando se saka la VARIACION DE ENTROPIA. en los cambios de estado no se pone ln antes de la temperatura??

    y otra pregunta referida a otro tema, osmosis k honestamente a esa clase falte y no kedo mui claro el concepto
    en osmosis se produce el pasaje de un solvente de una memabrana semepermeable de una scion diluida a una mas concentrada no?? es decir va a a ver una diferencia de altura, no se equilibran ?? y el flujo se detiene cuando la diferencia de la presion osmotica es igual a la hidroestatica pero eso sucedia solo en agua??

    entonces k en difusion sria donde hay equilibrio

    las sustancias tienen k ser iguales para k e cumpla la osmosis ???

    perdon x tantas preguntas,
    Gracias por tomarse el tiempo y contestar

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  5. Hola!

    Cuando calculás la variación de entropía en un cambio de estado, no tomás ningún logaritmo, porque durante un cambio de estado la temperatura es CONSTANTE, entonces:

    Delta S = Q / T

    y escribís Q = m L si es un Q absorbido o - mL si es cedido.

    En efecto, en la ósmosis, pasa solvente desde la solución menos concentrada a la más concentrada. Una forma más exacta de decirlo es que pasa desde la solución con MENOS OSMOLARIDAD hacia la solución con MAS OSMOLARIDAD.

    La OSMOLARIDAD es el producto de la CONCENTRACION por el FACTOR DE DISOCIACION (i). i ews un número (sin unidades). i = 1 si el soluto no se disocia, i= n si se disocia en n iones. Por ejemplo, para sal (cloruro de sodio), i = 2. En cambio, para la sacarosa, i = 1.

    El flujo se detiene cuando la presión osmótica es igual a la hidrostática, esto no sólo es en agua, es siempre que tenés ósmosis. Y quedan diferentes las alturas.

    Hay que tener en cuenta que, a medida que pasa líquido, va cambiando la concentración en ambos lados... entonces hay problemas (no en todos) en los cuales las concentraciones pueden llegar a igualarse (repito, no siempre pasa eso), en ese caso, tendrías presión osmótica cero y queda en equilibrio.

    En ósmosis podés tener dos soluciones con solutos diferentes, de cada lado. Se plantea:

    Presión osmótica = Variación de Osmolaridad . R T

    Difusión es un fenómeno diferente, ahí pasa la solución, no sólo solvente.

    Si chequeás el librito teórico de la cátedra ahí están explicados ambos fenómenos.

    Saludos,
    Miriam

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  6. MUCHAS GRACIAS, SALUDOS :)

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  7. El aluminio se enfría desde 200C hasta la temperatura final (etapa que llamamos b1), es decir:

    Qb1 = maluminio c_Al (Tf - 200°C) = 2000 g 0,214 cal/g°C (T - 200°C) =  428 cal/C (T - 200°C)    (ec. 1)

    Para calcular Qb1 necesitaríamos la temperatura final. Pero hagamos un cálculo hipotético:

    - Si tomáramos T = 100°C, nos quedaría Qb1 =  - 42800 calorías



    Profe no entiendo esta parte, Ud supone que la Tf es 100 C pero como llega a ello? porque si yo supongo entonces que la Tf del aluminio es 0 C, incluyo las 5 etapas, despejo la Tf y me da 342 C, tambien puedo suponer entonces 90 C, 50 C o sea no entiendo en que se basa ud en esa suposicion y luego llega a la respuesta correcta.

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  8. Hola Claudio,

    No es que supongo que la Tf es de 100 C. Lo que hice fue justamente un cálculo "tentativo", es decir: como 100 C es una temperatura "relevante" (es el punto de ebullición del agua, y en este problema hay agua), me fijé cuánto calor cedería el aluminio para ir de 200 C a 100 C. Voy a cambiar algo la redacción arriba, para que se entienda mejor.

    (Podría haber hecho más cálculos tentativos, y agregar cuánto cede el aluminio para ir de 100 C a 0 C, y de 0 a -30, por ejemplo).

    O sea: estoy calculando cuánto calor cedería el aluminio si llegara a 100 C --> ésta es una mejor forma de decirlo. Después, analizando lo que le pasa al agua, llegué a la conclusión de que sí, efectivamente, SÍ llega a 100 C, y de que no "se pasa" de ahí.

    Vos podrías calcular cuánto calor cedería el aluminio si llegara a 0 C. Eso no estaría mal como cálculo tentativo, pero fijáte que después de hacer ese cálculo, llegarías a contradicciones:

    - Si el aluminio llegara a 0 C (ahí podés calcular un nuevo calor para la etapa b1) , y el agua absorbiera TODO ese calor, el agua llegaría a 100 C seguro, o más (podés hacer la cuenta para ver esto), y entonces no puede ser que el Aluminio llegue a 0 C... porque se estarían "cruzando" las temperaturas! Y no habría equilibrio. --> EQUILIBRIO TERMICO significa que al final del proceso las temperaturas son IGUALES, y nunca serían iguales si el Aluminio estuviera a 0 C, y el agua a 100 C o más de 100 C. Conclusión: el aluminio no puede llegar a 0 C.

    - Esa Tf que mencionás es imposible, por dos razones: primero, porque el proceso se inició con el hielo a -30 C y el aluminio a 200 C, entonces la Tf tiene que ser INTERMEDIA. Y segundo, porque si dijiste que el Aluminio bajaba hasta 0C, eso se contradice con Tf = 342 C. (Repito: la Tf tiene que ser LA MISMA para todos los elementos del sistema, en el equilibrio térmico).

    ----

    Volviendo al cálculo "tentativo" que hice, después de hacer ese cálculo, y de comparar con lo que le pasa al agua, se llega a la conclusión de que, si el Aluminio bajara hasta 100 C, esas calorías cedidas le alcanzarían al agua para llegar hasta 100 C, PERO no le alcanzarían al agua para pasar TOTALMENTE al estado de vapor --> recién ahí se puede concluir que, como el agua sólo pasa parcialmente al estado de vapor, entonces su tenperatura final va a ser 100 C, y esa va a ser la temperatura de equilibrio.

    Avisáme si con esto lo entendés mejor; si no, puedo detallarlo más.

    Saludos,
    Miriam

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  9. PD: agregué un párrafo aclaratorio, en la resolución de este problema; está en itálicas donde se explica la etapa b1).

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  10. Profe en cuanto a la conclusion final que ud puso:

    Entonces: el estado final del sistema será:- Temperatura de equilibrio, 100°C- Habrá 2000 g de Aluminio sólido,  43,15 g de vapor de agua y (100 - 43,15) g de agua líquida. 
    ----------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Yo hice esto
    Qa1+Qa2+Qa3= 19500 cal(que el hielo absorbe totalmente)

    Qb1= -42800 cal ( cedidas por el aluminio)

    19500cal - 42800cal= -23300cal(de agua evaporada)

    54000 cal (que el agua necesita para evaporarse totalmente) - 23300cal(de agua evaporada) = 30700 cal ( de agua que no se evapora, o sea agua liquida final)

    entonces:    m= Q/Lv = 30700cal/540 cal/g = 56,85 g de agua liquida final

    Yo tengo 100gr (de agua inicial toltamente fundida proveniente del hielo) - 56,85 gr( de agua final que no se evaporo) = 43,15 gr de vapor

    esta bien razonar el problema asi?

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  11. Hola,

    Si bien el resultado está correcto, me parece confuso lo siguiente: que hayas hecho (19500cal - 42800cal), y no al revés, ya que estás calculando el calor que RECIBE el agua que se evapora, entonces yo lo escribiría así:

    (Calor que usa el agua para evaporarse) = calor que recibió del aluminio en total - calor que usó el hielo/agua original para fundirse y llegar a 100 C.

    O sea:

    42800cal - 19500cal = 23300cal

    Además: conceptualmente, si planteás m= Q/Lv, ahí tenés que colocar la masa EVAPORADA (NO la líquida), y el calor que recibió esa masa para evaporarse. O sea:

    m = (calor usado por el agua en la evaporación) / Lv = Q/Lv = 23300 cal/540 (cal/g) = 43,15 g

    O sea, conceptualmente no es correcto usar m= Q/Lv con la masa  que NO se evapora.

    (Las 30700 cal es un calor que el agua NO recibe; debería recibirlas para evaporarse toda, pero no las recibe).

    Saludos,
    Miriam

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  12. hola! muy bueno el problema, la variacion de entropia del universo= 50,02 cal/kelvin puede ser?

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  13. Hola Gabriela,

    Me dio DeltaS(universo) = 27,147 cal/K, con las expresiones (3) y (4) que están tal cual arriba.

    Es decir:

    DeltaS(universo) = DeltaS(aluminio) + DeltaS(agua)

    (la parte del agua tiene 4 términos).

    Saludos,
    Miriam

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  14. Hola! Tengo una duda.. Yo lo resolví de otra forma y me dio mal; por qué no se lleva el Aluminio hasta los 0 grados y el hielo hasta fundirlo a 0 grados? Ya estarían a la misma temperatura..
    Yo había hecho que entrega el aluminio para llegar a 0 es : 0.214 x 2000 g x (0-200) = -85600 cal ; y que el hielo requiere 9500 cal, por lo tanto se funde todo.. Pero no entiendo porqué en esta resolución fue necesario todo eso.. Muchas gracias!

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  15. Hola Daniela,

    Sobre tu pregunta: "por qué no se lleva el Aluminio hasta los 0 grados y el hielo hasta fundirlo a 0 grados?": esto no puede suceder porque sería contradictorio, ya que cuando el hielo se funde, el Aluminio NO está a 0C.


    Veamos por qué: el hielo y el aluminio están juntos en un recipiente adiabático... eso quiere decir que no entra ni sale calor del recipiente y, por lo tanto, TODO el calor que el Aluminio ceda, tiene que recibirlo el hielo.



    Fijáte que de los cálculos que vos misma hiciste, se puede deducir que NO puede pasar que los dos terminen en 0 C:

    - El hielo requiere absorber 9500 calorías para: pasar de -30 C a 0C, y fundirse --> o sea que absorbiendo 9500 cal, quedaría agua líquida a 0 C.

    - Pero el Aluminio, debería ceder 85600 cal si llegara a 0 C... o sea que le da 9500 cal al hielo, y le SOBRAN un montón de calorías.... --> estas calorías tienen que usarse para algo.



    Dicho en más detalle: Ni bien el Aluminio le da las 9500 calorías al hielo, el Aluminio pasa a estar a una temperatura un poco más baja:

    -9500 = 2000 g . 0,214 cal/(g C) . (Tal - 200) --> despejando da TAl = 177,8 C; esta temperatura es JUSTO donde está el Aluminio, cuando el hielo termina la fusión... fijáte en el gráfico de arriba; la línea azul pasa por esa temperatura cuando termina la "meseta" de fusión del hielo (trazá una línea vertical en |Q| = 9500 cal, y te vas a encontrar con el fin de la fusión del hielo, y con el Aluminio a 177,8 C).


    Entonces: cuando el hielo se termina de fundir, el Aluminio todavía está muy caliente, entonces va a seguir pasándole calor al agua (el agua que antes era hielo), y entonces esa agua va a calentarse, mientras el Aluminio se enfría. Acá es donde son necesarios los otros pasos, porque el agua se calienta hasta 100 C, y después comienza la ebullición.


    Con todos los otros pasos, lo que se ve, es que el Aluminio y el agua llegan a "encontrarse" a 100 C. O sea, que el Aluminio NO llega a 0 C, y entonces, no llega a ceder las 85600 cal... pero de todos modos, cede muchas calorías más que 9500.


    Espero que se entienda, si no, volvé a consultarme.


    Saludos,
    Miriam

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