viernes, 10 de diciembre de 2010

Cosas sobre MRUV, gráficos, sistemas de referencia...

Hola!

Dado que recibí por email algunas preguntas, consultando dudas sobre el uso de las expresiones de MRUV para tiro vertical, de acuerdo al sistema de referencia, y sobre cómo son los gráficos, a continuación paso a comentar dichos puntos con un ejemplo:

Consideremos el siguiente problema: desde una altura de 0,5 m por encima del piso, se arroja un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s. Se desprecia el rozamiento con el aire.

Se pide:
1) Elegir un sistema de referencias y expresar las ecuaciones horarias
2) Hallar cuánto tarda el objeto en llegar a la altura máxima.
3) Hallar cuánto tarda el objeto en llegar al piso.
4) Hallar a qué altura está el objeto 0,5 segundos después de ser arrojado.¿Está subiendo o bajando?
5) Graficar posición, velocidad y aceleración, en función del tiempo.


Un cálculo rápido, hecho "a dedo" (¡hacélo! sale con la ecuación complementaria) nos da que, si la velocidad inicial es de 6 m/s, el objeto llega a una altura de 1,8 m medida desde el punto de partida. Usaremos este dato para hacer mejor nuestro esquema.

Vamos a resolver este problema con dos sistemas de referencia distintos, veremos que da exactamente igual, aunque numéricamente los resultados se expresen diferente. Consideremos:

A) Un sistema de referencia con eje x positivo hacia arriba, y origen en el piso.
B) Un sistema de referencia con el eje x positivo hacia abajo, con origen en el techo. Supondremos que el techo está a 3 m del piso (esto es un dato inventado que no debería influir... ).

Primero hagamos un esquema para cada sistema de referencia:


Sistema A                                                Sistema B

Las ecuaciones horarias para un MRUV, en general, se escriben:

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2) a (t- t0)2   (1)

v(t) = v0 + a(t -t0)    (2)


Tomemos t0 = 0 para el instante en que se arroja el objeto. Es decir: en t = 0 "encendemos un cronómetro", y esto lo hacemos justo cuando arrojamos el objeto, a partir de ese "cero" contamos el tiempo.

Ahora resolvamos separadamente para cada sistema de coordenadas.

Sistema A.

En este sistema (ver figura IZQUIERDA, arriba!) tenemos que:

x0 = 0,5 m
v0 = + 6 m/s
a = - g = - 10 m/s^2

Reemplacemos todo esto en las ecuaciones (1) y (2). Queda:

x(t) = 0,5 m + 6 m/s t + (1/2) (-10) m/s
2 t2     (3)

v(t) = 6 m/s - 10 m/s
2 t     (4)

Las ecuaciones (3) y (4) son las ecuaciones horarias, las dejamos así, sin reemplazar t!! Reemplazamos las constantes iniciales, pero quedan con un t genérico (variable independiente) y con x(t), v(t) --> variables dependientes. A t le vamos a dar distintos valores después, por eso todavía no lo reemplazamos. Si queremos GRAFICAR la posición y la velocidad, necesitamos tener estas FUNCIONES del tiempo, y no valores particulares!

Usaremos las ecuaciones (3) y (4) para los gráficos.

2) El objeto llega a la altura máxima en un instante que llamaremos tM, para el cual la velocidad es cero. Entonces reemplazamos tM en la ecuación (4):

0 = v(tM) = 6 m/s - 10 m/s2 tM

De aquí despejamos tM = 0,6 s. De paso podemos verificar que la altura máxima es la que habíamos calculado "a dedo". Reemplacemos tM = 0,6 s en la ecuación (3):

x(tM) = 0,5 m + 6 m/s tM + (1/2) (-10) m/s2 tM2 = 0,5 m + 6 m/s 0,6 s - 5 m/s2 (0,6 s)2 = 2,3 m

Esto es correcto, porque nos había dado 1,8m, sumando 0,5m con respecto al suelo, es 1,8 m + 0,5 m= 2,3 m.

3) Llamemos tp al instante en que el objeto llega al piso. En ese instante, es x(tp) = 0 (ver figura). Entonces, volviendo a la ecuación (3) y reemplazando tp:

0 = x(tp) = 0,5 m + 6 m/s tp + (1/2) (-10) m/s2 tp2

Esto es una ecuación cuadrática con tp incógnita. Da dos soluciones: una de ellas negativa, la descartamos porque el movimiento comenzó en t = 0. La otra solución es tp = 1,28 s; esto es el tiempo que tardó en llegar al piso desde su partida.

4) Hallemos dónde se encuentra el objeto 0,5 s después de ser arrojado. Para eso reemplazamos t = 0,5 s en (3):

x(0,5 s) = 0,5 m + 6 m/s 0,5 s + (1/2) (-10) m/s2 (0,5 s)2 = 2,25 m

Es decir, se encuentra bastante cerca de la altura máxima. ¿Pero está subiendo o bajando? Debería estar subiendo porque 0,5 s es menor que 0,6, que es lo que tarda el cuerpo en llegar a la altura máxima. Otra forma de verificarlo es reemplazando t = 0,5 s en la ecuación (4):

v(1 s) = 6 m/s - 10 m/s2 0,5 s = + 1 m/s

La velocidad es positiva con este sistema de referencia, eso significa que efectivamente está subiendo.

5) Gráficos: volvamos a las ecuaciones (3) y (4), ya que ahí el t está sin reemplazar y podemos darle los valores que queremos. Haciendo una tabla de valores (hacérla!) queda:



Ahora pasamos al...


Sistema B

Ahora (ver figura DERECHA, arriba de todo!) tenemos que:

x0 = 2,5 m
v0 = - 6 m/s
a = + g = + 10 m/s^2

Reemplacemos todo esto nuevamente en las ecuaciones (1) y (2). Queda:

x(t) = 2,5 m - 6 m/s t + (1/2) 10 m/s2 t2      (5)

v(t) = - 6 m/s + 10 m/s2 t         (6)

Las ecuaciones (5) y (6) son las nuevas ecuaciones horarias, en el nuevo sistema de referencia. De ahora en más, usaremos éstas.

2) El objeto llega a la altura máxima en un instante que llamaremos tM, para el cual la velocidad es cero. Entonces reemplazamos tM en la ecuación (6):

0 = v(tM) = - 6 m/s + 10 m/s2 tM

De aquí despejamos tM = 0,6 s, igual que antes (esto es correcto!). De paso podemos verificar que la altura máxima también es la misma de antes. Reemplacemos tM = 0,6 s en la ecuación (5):

x(tM) = 2,5 m - 6 m/s tM + (1/2) 10 m/s2 tM2 = 2,5 m - 6 m/s 0,6 s + 5 m/s2 (0,6 s)2 = 0,7 m

Esto es correcto, porque está tomado desde el techo: antesnos había dado 2,3 m desde el piso, pero como el techo tiene 3 m, entonces son 0,7 m desde el punto de altura máxima hasta el techo.

3) Llamemos tp al instante en que el objeto llega al piso. En ese instante, es x(tp) = 3 m (ver figura). Entonces, volviendo a la ecuación (5) y reemplazando tp:

3 m= x(tp) = 2,5 m - 6 m/s tp + (1/2) 10 m/s2 tp2

Pasando los 3m hacia la derecharestando, nos queda:

0 = - 0,5 m - 6 m/s tp + (1/2) 10 m/s2 tp2

Esta ecuación es la misma que la cuadrática que quedaba con el anterior sistema, sólo que multiplicada por (-1). Las soluciones para tp son entonces las mismas que antes, descartamos la solución negativa y nos quedamos con tp = 1,28 s.

4) Hallemos dónde se encuentra el objeto 0,5 s después de ser arrojado. Para eso reemplazamos t = 0,5 s en (5):

x(0,5 s) = 2,5 m - 6 m/s 0,5 s + (1/2) 10 m/s2 (0,5 s)2 = 0,75 m

Este valor da numéricamente diferente que antes debido a que cambiamos el sistema de referencia, pero el punto es el mismo, observar que estos 0,75 m están medidos desde el techo, y antes nos daba 2,25 m desde el piso.

Debería estar subiendo porque 0,5 s es menor que 0,6. Reemplazando t = 0,5 s en la ecuación (6):

v(0,5 s) = - 6 m/s + 10 m/s2 0,5 s = - 1 m/s

La velocidad es negativa con este sistema de referencia, eso significa que efectivamente está subiendo.

5) Gráficos:volvamos a las ecuaciones (5) y (6), ya que ahí el t está sin reemplazar y podemos darle los valores que queremos. De la misma manera que antes, haciendo una tabla de valores queda:


Podés dejar tus dudas y comentarios a continuación.

16 comentarios:

  1. Hola profe. Cómo anda? Soy Nazarena.
    Primero que nada quería agradecerle por todas estas cosas que siempre publicó en el blog y por la gran ayuda que nos dio. Por siempre publicar los resultados que tan tranquilos, o no, nos dejaba a todos.
    Y quería preguntarle si puede enviarme a mi mail o aquí mismo las respuestas del tema C, ya que no me dejaron ver mi final porque había mucha gente y el profesor nos pidio si podíamos retirarnos, pero me quedó intriga por algunas respuestas, sólo por curiosidad. Si no puede o no las tiene no se haga problema. Le envío esto tarde porque estuve sin computadora.
    Desde ya, MUCHAS GRACIAS por HACER QUE TODO SE NOS HAGA MÁS FÁCIL CON ESTE BLOG, POR PUBLICAR EJERCICIOS, AYUDAS Y DEMÁS.
    Espero verla mañana en la firma de libretas y si no está, MUCHA SUERTE EN TODO.
    Nazarena.

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  2. Me olvidé de poner mi mail
    n.solsanchez@hotmail.com
    Gracias, de nuevo.
    Nazarena.

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  3. Hola Nazarena! Muchas gracias por tus palabras! Dame tiempo, y a más tardar mañana (pero si puedo esta tarde) publico las respuestas correctas del final.
    Saludos,
    Miriam

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  4. Si, no hay problema. Cuando usted pueda.
    Gracias y más gracias :D
    Naza.

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  5. Profe! buenas noches!!
    Paso por su blog para AGRADECERLE INMENSAMENTE, por todo lo que hizo usted para que nosotros aprobaramos! le agradezco por su esfuerzo y dedicacion.Jamás habia conocido a un profesor con tanta vocacion y dedicacion como usted, con tanto amor hacia su trabajo!!
    Gracias a las ganas que usted le puso a las clases, y por la gran preocupacion que tuvo, subiendo ejericios para nosotros, con sus respectivos graficos, y toooooooodas las veces que me ayudó con mis dudas tanto acá por blog, como en la clase( como la vz que nos quedamos 2hs más despues de clase!!!!), gracias a TODO ESO, Muuuchos aprobamos! y yo me incluyo!! aprobé el final, porque usted me contagió esas ganas de progresar, de aprobar! y me esforzé como nunca con biofísica! GRACIAS GRACIAS MIRIAM. La voy a recordar siempre COMO LA MEJOR PROFESORA!!! Le deseo mucha mucha suerte en todo lo que se proponga, y en su vida!
    Ojalá la vuelva a cruzar algun dia. :)
    Besos y Felicidades!

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  6. Hola Fiorella! Te agradezco muchísimo tus palabras tan amables! Me alegro mucho de que hayas aprobado y te deseo que te vaya muy bien en tu carrera. Besos y felices fiestas y vacaciones!

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  7. Hola, Profesora. Mi nombre es Micaela, estoy cursando este cuatrimestre con usted, estaba haciendo el problema para entregar la próxima clase del martes y la verdad es que esta información me sirvió de mucho. GRACIAS!!

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  8. Hola Micaela, me alegro de que te haya servido! Si tenés dudas de algo no dudes en consultar.
    Saludos,
    Miriam

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  9. hola profesora..tengo una duda con este ejercicio; para calcular cuanto tarda el objeto en llegar al piso, en la ecuacion horaria que ocupó de v(t) ¿por qué el tiempo inicial no es 0,6seg (el tiempo maximo de la subida)? el otro día ud. habló de eso pero no recuerdo cuando o cuales son los datos que se toman como final de ida e inicial de vuelta. Gracias

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  10. Hola Cindy, algo que me faltó aclarar es que: NUNCA hay que cambiar el sistema de referencia en el medio de un problema. Podés usar un sistema u otro, podés separar en etapas, pero el EJE X (y/o el eje Y, si se necesitara) NO CAMBIAN SU ORIENTACION, aunque el cuerpo cambie su sentido.

    En este problema:

    - Con el sistema A: el eje X va SIEMPRE hacia arriba. Si querés podés separar en etapas, PERO aunque separes en etapas NO se cambia el sistema de referencia, por eso te decía que si separás en etapas, en la 2da. etapa tomás Xinicial = 1, 8 m.... y la aceleración sigue siendo a = -10 m/s^2 porque apunta HACIA ABAJO (y el eje X apunta HACIA ARRIBA).

    (Aclaro: siempre se llama "g" al MODULO de la aceleración de la gravedad, así que g = 10 m/s^2 SIEMPRE, con CUALQUIER sistema. Lo que es negativo con el sistema A es la ACELERACION DE LA GRAVEDAD, que es a = (-1) . g --> a = -10 m/s^2. )

    - Con el sistema B el eje X va SIEMPRE hacia abajo. Entonces SIEMPRE, en todo el problema, es a = 10 m/s^2.

    Lo que NUNCA se puede hacer es cambiar el signo de la aceleración de la gravedad en el medio del problema... porque la aceleración de la gravedad va siempre para el mismo lado (para abajo), entonces no puede cambiar, es siempre el mismo.

    Si cambiás el sistema de referencia en el medio del problema, no vas a poder hacer el gráfico X-t o V-t, te van a quedar cosas incoherentes.



    Decíme si seguís con dudas.


    Saludos,
    Miriam

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  11. si profe, eso lo recordaba de cuando lo dio en clases ... Gracias por la aclaración

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  12. Hola Profesora, tengo problemas con el ejercicio de tiro vertical, es el ejercico 15 de la pagina 19, me pide hallar la Vi y no se como despejarla con los datos que tengo y las formulas...he intentado varias formas peor no llego al resultado...

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  13. Hola Manuela,

    Este problema es un tiro vertical y las fórmulas son las de MRUV, con a = - g usando un sistema de referencia positivo hacia arriba.

    Si usás la ecuación x(t) = xi + vi . (t - ti) - (1/2) . g . (t - ti)^2, tomando xi = 0, ti = 0, tf = 10 s, y xf = 200 m, vas a poder calcular la velocidad inicial, porque vi queda como única incógnita.

    ¿Qué formas intentaste?

    Saludos,
    Miriam

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  14. Hola profesor/a tengo una duda con el ejercicio 15 de la pagina 19 : Una partícula disparada verticalmente hacia arriba esta a 200m de altura respecto del punto de lanzamiento a los 10s de la partida. a)- Hallar la velocidad inicial. b)- Determinar la máxima altura que alcanzara la partícula. bueno yo se que tengo que usar las fórmulas de "tiro vertical", y= yo + Vo.(t-to) y reemplace asi: 200m= 0 + Vo. (10s- 0). 200m=Vo. 10s. 200m: 10s= Vo. 20m/s= Vo .....queria saber si reemplace bien porque no me da el resultado que figura en la solución del cuadernillo?? Y en el punto B uso la formula y= yo+ vo.(t-to)+1/2.A.(t-to) elevado al cuadrado??

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  15. Hola Camila,

    El error consiste en que usaste una fórmula de MRU para un MRUV; NO se puede usar Xf = Xi + V.(Tf - Ti), eso vale solamente en movimientos con velocidad constante (MRU).

    Para hallar la velocidad inicial podrías usar Y = Yo + Vo. (t - to) + (1/2) . a. (t - to)^2, ya que tenés todos los datos. Y para el punto b): pensá qué es lo que pasa con la velocidad, justo cuando un cuerpo llega a su altura máxima... y usá V = Vo + a . (t - to) para hallar en qué INSTANTE llega a la altura máxima. Después de eso, usando nuevamente la ec. de la posición, vas a poder hallar a qué altura máxima llega.

    También te recomiendo que releas todo lo de MRUV y en particular, tiro vertical. Avisáme si seguís con dudas.

    Saludos,
    Miriam

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