jueves, 5 de mayo de 2011

Problema de un fluido circulando en una cañería de distintas secciones

Un fluido incompresible y sin viscosidad escurre a régimen permanente, en una cañería dispuesta horizontalmente que consta de tres tramos, cuyas secciones son 400 cm^2, 100 cm^2 y 400 cm^2, respectivamente. La densidad del fluido es de 1200 kg/m^3 y el caudal es de 200 lt/s.

Visto en perspectiva:


Se pide hallar:
a) La diferencia de presión entre el tramo 1 y el tramo 2.
b) Δh entre las ramas del manómetro de mercurio (δHg = 13600 kg/m^3)

Resolución:

Nota: ¡Primero tratá de hacerlo vos sin leer esto!


Tenemos que calcular una diferencia de presiones entre los tramos 1 y 2. Nota: Se está asumiendo que hay una única presión en cada tramo, es decir, estamos despreciando la variación de la presión con la altura que puede haber dentro de una misma sección.

Tomamos un punto A en el tramo 1, y un punto B en el tramo 2, ambos sobre una misma línea de corriente. Entre A y B podemos plantear el Teorema de Bernouilli ya que el fluido se considera ideal. Podemos tomar el origen del eje vertical sobre la línea AB, con lo cual HA = HB = 0.




Entonces queda:

pA + (1/2) δL VA2   = pB + (1/2) δL VB2

donde VA y VB son las velocidades en los tramos 1 y 2 respectivamente, y δL es la densidad del líquido que circula (NO confundir con la del mercurio que sólo está en el manómetro).

Como nos piden pA - pB entonces despejamos:

pA - pB =  (1/2) δL VB2 - (1/2) δL VA2       (1)

En el miembro derecho de la ecuación anterior, conocemos la densidad del líquido, aunque todavía no tenemos las velocidades. Pero hay otro teorema que sabemos, es el de la conservación del caudal:

Q = VA AA = VB AB

Como nos dan el caudal Q=1200 kg/m^3 y las dos secciones AA=400 cm^2 y AB= 100 cm^2, entonces podemos despejar las velocidades:

Q = VA AA ---> VA = Q/AA
Q = VB AB ---> VB = Q/AB

Reemplazando estas expresiones para las velocidades en (1), nos queda:

pA - pB =  (1/2) δL Q2/AB2 - (1/2)δL Q2 /AA2  

---->   pA - pB = (1/2) δL Q2 (1/AB2 - 1/AA2)

Y sólo faltaría reemplazar los valores a la derecha: Q=200 litros/s, δL= 1200 kg/m^3, AA=400 cm^2 y AB= 100 cm^2, y hacer la cuenta. Así termina el punto a).

b) Observar que el manómetro está marcando la diferencia entre las presiones de los tramos 2 y 3. Tomamos puntos auxiliares A, B, C, D, E (ver figura), que relacionaremos mediante los teoremas que conocemos.


 Vamos a suponer despreciable la variación de presión en los sectores arriba del mercurio, desde el punto D al B y desde el E al C.  (¿Cómo cambiaría la resolución sin despreciar eso? Pensálo). Es decir: vamos a suponer que la presión en D es muy parecida a la de B y que la de E es muy parecida a la de C. Entonces, por el teorema de la hidrostática (ya que el mercurio en el manómetro está en reposo):


pC - pB  = pE - pD = δHg g Δh       (2)


Esto nos permitiría calcular Δ h ... si tuviéramos la diferencia pC - pB. Si bien no la tenemos, podemos calcularla por Bernouilli + Conservación del caudal como hicimos antes con pA - pB. Ahora bien, para ahorrar cuentas, si nos fijamos bien: como el tercer tramo tiene la misma sección que el primero, entonces ambos (el tercero y el primero) tienen la misma velocidad, y como están a la misma altura y además el fluido es ideal--> entonces tienen la misma presión, es decir pC = pA.  Por lo tanto:

pC - pB  = pA - pB = mismo valor calculado en a).

 Entonces, reemplazando en (2): 

Δh  = (pA - pB)/(δHg g)

Fin del punto b).  :)

13 comentarios:

  1. hola, una consulta!
    hay q pasar de unidades cuando se hacen los planteos?
    por ej con el caudal, el area y la densidad..
    porque tengo litros,m3 y cm2..
    Siempre me equivoco en esas cosas..

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  2. Hola Florencia,

    Para no confundirte en las unidades te recomiendo que cuando tenés mezclas de unidades, pases:

    - las longitudes, todas a metro
    - los tiempos, a segundo
    - las masas, a kilogramo

    Es decir, METRO-KILOGRAMO-SEGUNDO, que son las unidades fundamentales del sistema MKS. Si trabajás así, *automáticamente* las presiones te van a dar en PASCALES, las fuerzas en NEWTON, los trabajos en JOULE y las potencias en WATT.

    Sobre las variables que mencionás:

    Caudal --> pasálo siempre a m^3/s.

    Densidad --> pasála a kg/m^3

    Area --> a m^2

    Te dejo algunas relaciones que pueden servirte (fijáte que unas se deducen de otras):

    1 litro = 1 dm^3 = 10^(-3) m^3

    1 cm^2 = 0,01 dm^2

    1 cm^3 = 0,001 dm^3

    1 cm = 0,01 m

    1 cm^2 = 10^(-4) m^2

    1 cm^3 = 10^(-6) m^3

    Por lo tanto:

    1 g/cm^3 = 10^(-3) kg/[10^(-6) m^3] = 1000 kg/m^3

    y también

    1 g/cm^3 = 10^(-3) kg/[10^(-3) dm^3] = 1 kg/litro

    Nota: el símbolo ^ indica potencia (los paréntesis son para indicar que todo lo que está entre paréntesis está en el exponente).

    Espero haberte ayudado.

    Saludos,
    Miriam

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  3. Hola profe, le hago una consulta pero que no tiene que ver con este ejercicio.
    Con respecto a la altura, usted dijo que en el caso de un tubo que vertical y con inclinación (con cierto ángulo), había que poner la H=0 abajo, para que así sea la altura positiva. Y si poníamos la H=0 arriba tenía que ser la altura negativa para abajo.
    En el caso de un tanque cerrado con líquido hasta altura (luego de esa altura, aire), hay alguna diferencia entre poner la H=0 abajo de todo -en la base del tanque-, o la H=0 arriba, justo en la superficie entre el líquido y el aire?
    Y otra pregunta, cuando planteamos el teorema de Bernoulli para averiguar una de las dos presiones entre los dos puntos de comparación, estamos averiguando su presión absoluta ya?--

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  4. Hola Antonela,

    En el tema de las alturas se procede siempre de la misma manera. En el caso que mencionás, del tanque, si ponés H = 0 en la superficie líquido-aire, entonces SÍ o SÍ tenés que poner una altura NEGATIVA para el orificio que está debajo. Supongamos que el tanque tiene 1m de altura, y que abajo de todo hay un orificio, en ese caso colocás:

    H = 0 arriba, y H = -1m en el orificio.

    O BIEN, podés elegir:

    H = 0 en el orificio, y H = +1 m arriba.

    Es a elección, y te tiene que dar igual.

    Sobre Bernouilli: si ponés presión absoluta en el lado A, entonces también estás calculando la presión absoluta en el lado B.

    Y si ponés una presión relativa a la atmósfera en el lado A, entonces estarías calculando la presión manométrica en el lado B. Debido a esto:

    Presión absoluta = Prelativa + 1 atm

    Si reemplazás eso en Bernouilli DE LOS DOS LADOS, se cancelan las 1 atm y queda la relativa a la atmósfera DE LOS DOS LADOS.

    (A mí personalmente me resulta más cómodo trabajar siempre con presión absoluta.)

    Saludos,
    Miriam

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  5. Gracias Miriam!
    Una última duda sobre otro ejercicio de parcial.
    Me dan una figura que representa un vaso con agua y un sorbete. El punto A es la superficie libre del agua (en contacto con el aire atmosférico)en el vaso. El punto B es el punto hasta donde llega el agua en el sorbete, este punto está en contacto con la cavidad bucal de una persona. La diferencia de altura entre A y B es de 10 cm. Me piden calcular la presión absoluta del aire en la cavidad bucal.
    Vale entonces, para este ejercicio, esta fórmula? o hay que restarle a la relativa, la P atmosferica? No entiendo!

    Pb (presión en b) = 1 atm + D x G x H

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  6. Hola Antonela,

    En esa expresión que das están mal los signos. Veamos; el teorema de la hidrostática dice:

    Presión absoluta (en el punto más abajo) - Presión absoluta (en un punto más arriba) = Densidad . g . Diferencia de altura (tomada POSITIVA)

    En este caso particular nos queda:

    PA - PB = DensidadAgua . g . 10 cm (1)

    Como PA = 1 atm (está en la superficie libre del vaso), entonces:

    1 atm - PB = Densidad . g . 10 cm

    Tanto PA como PB, son presiones ABSOLUTAS, LAS DOS. No tenés que restar ni sumar nada, la expresión de arriba es válida, asi.

    O sea que cuando calcules PB va a ser la presión ABSOLUTA automáticamente.

    ---------------

    Ahora bien, supongamos que en la ecuación (1) sumamos y restamos 1 atm en el miembro izquierdo y juntamos términos:

    (PA - 1 atm) - (PB - 1atm) = DensidadAgua . g . 10 cm (2)

    (Fijáte que (2) es equivalente a (1) ya que sólo sumamos y restamos 1 atm.)

    Si ahora llamamos:

    PA' = PA - 1 atm --> presión en A relativa a la atmosférica

    PB' = PB - 1 atm --> presión en B relativa a la atmosférica

    Entonces (2) queda:

    PA' - PB'= DensidadAgua . g . 10 cm (3)

    Es decir, ésta es una expresión del teorema de la hidrostática donde AMBAS, PA y PB son presiones RELATIVAS.

    Entonces: en el teorema de la hidrostática podés poner las dos presiones absolutas, o las dos presiones relativas (NUNCA una y una).

    Pero si te preguntan "la presión" (A SECAS), seguro que se refieren a la ABSOLUTA.

    No sé si esto te queda claro ahora, avisáme si se entendió.

    Saludos,
    Miriam

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  7. hola profe, estoy tratando de hacer un ejercicio q tomarn el año pasado pero no se cm empezar a plantearlo dice: se tienen 3 tubos de la misma resistencia hidrodinámica. Si se conectan 2 de ellos en serie entre sí y el conjunto en paralelo con el otro la resisrencia total resulta R. Si se raerma la conexión colocando los tres tubos en serie, tengo q calcular la nueva resistencia total

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  8. Hola!

    En este tipo de problemas, la idea es plantear las dos situaciones y tratar de compararlas.

    Sobre este problema en particular, fijáte si te sirve la primera parte de este comentario del Blog:

    Problema de 3 tubos, 2 en serie y en paralelo con el otro

    (clickeá arriba)

    Si no entendés el comentario o si seguís sin poder avanzar, avisáme.

    Saludos,
    Miriam

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  9. Hola profe una pregunta.. yo estuve resolviendo este ejercicio y los resultados me dan muy chicos por ejemplo el a la deltaP=2,26*10-3 pa es correcto? (los procedimientos los tengo todos bien)

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  10. Hola Florencia,

    A mí la diferencia de presión, reemplazando los valores, me dio (45/2). 10^4 Pa. Usé (habiendo pasado todo al MKS):

    Q = (2/10) m^3/s
    Aa = (4/100) m^2
    Ab = (1/100) m^2
    DeltaL = 1200 kg/m^3

    ¿Tomaste esos valores?

    Saludos,
    Miriam

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  11. Para todos: Algo que corregí en el problema resuelto: en las dos líneas antes de comenzar el punto b), justo DESPUES de la fórmula final, había copiado y pegado mal el valor de Q. Ahora ya está corregido (no cambia absolutamente nada en las fórmulas); Q = 200 l/s.

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  12. profe, no tiene los reultados con numeros , porque yo lo hice y quiero comparar. No entendi bien la ultima parte del B, porque yo saque la diferencia de presiones de Pb y Pc, que respectivamente son las misma que Pa y Pb, pero no tengo que usar los puntos auxiliares? como ya marque el D y el E, porque no los uso? Gracias profe

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  13. Hola Mercedes,

    Los resultados con números me dan:

    Velocidad_A = 5 m/s
    Velocidad_B = 20 m/s
    PA - PB = PC - PB = 225000 Pa
    Δh = 1,65 m (para Δh hubo aproximaciones)

    PA es la misma que PC, así que PA - PB es igual que PC - PB.

    A los puntos auxiliares D y E no los usamos porque, por simplicidad, despreciamos la diferencia de presión entre D y B, y entre E y C. Pero, si NO despreciás esa diferencia, y queremos hacer todo más exacto, entonces, usando varias veces el teorema de la hidrostática en el manómetro:

    PE - PD = Densidad_Hg . g. Δh (1)

    PD - PB = Densidad_L . g. HDB (2)

    PE - PC = Densidad_L . g. (HDB + Δh) (3)

    (HDB es la altura que va de D a B)

    Restando miembro a miembro (2) y (3), y haciendo pasajes de términos, se llega a:

    (PC - PB) = (PE - PD) - Densidad_L . g. Δh

    y usando (1) queda:

    (PC - PB) = (Densidad_Hg - Densidad_L ) . g. Δh

    Aquí llegamos a otra expresión (más exacta) para PC - PB, reemplazando da:

    (PC - PB) = 12400 . 10. Δh

    Y esto nos da un valor de Δh = 225000 Pa /124000 = 1,81 m.

    Avisáme si te quedan dudas.

    Saludos,
    Miriam

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