lunes, 20 de junio de 2011

Ejemplo de máquina frigorífica

Una cubetera conteniendo 100 g de agua a 10 C es colocada dentro de un refrigerador que está a una temperatura de -10 C. La eficiencia (el cociente entre el calor extraído de la fuente fría y el trabajo recibido por el refrigerador al mismo tiempo) del refrigerador es de 6. Considerando el proceso hasta que se obtiene hielo a -10 C.


a) Calcular el calor extraído de la masa del agua.
b) Determinar la máxima temperatura del ambiente exterior al refrigerador, para que este proceso sea posible (cumpliendo los principios de la termodinámica).

En este ejemplo, tenemos una máquina frigorífica, y además leyendo el problema vemos que debemos usar algo de lo que vimos en calorimetría. Veamos qué conocemos y qué no:

Qué conocemos sobre la máquina y las fuentes:
- La máquina es la heladera.
- La fuente caliente es el ambiente, a temperatura Tc, que desconocemos.
- La fuente fría es el interior de la heladora, a temperatura Tf = 263 K.

- Qf, Qc, y L: en principio no los conocemos.
- Sabemos que el rendimiento es η = 6.

Qué conocemos sobre la masa que se introduce
- Se introduce una masa de agua, m = 100g
- Temperatura del agua: + 10 C.
- Se introduce en un refrigerador a -10 C, entonces el agua va a enfriarse, luego a congelarse y luego el hielo resultante llegará a -10 C --> por lo tanto cederá un calor Q al refrigerador..

Ahora relacionemos los calores:

- Vamos a suponer que la temperatura del refrigerador no aumenta después de que agregamos la cubetera. Es decir, supondremos que todo el calor cedido por el agua de la cubetera, es totalmente llevado hacia fuera del refrigerador.

Por lo tanto, el valor absoluto del calor extraído del refrigerador Qf, será  igual al calor cedido por el agua  -esto es válido si el refrigerador está bien aislado, es decir que no hay otro calor entrante al mismo:

|Qf |= | calor cedido por el agua  de la cubetera|

Calculemos el calor cedido por el agua:

Calor cedido por el agua = 
= calor cedido por el agua para ir de 10 a 0 + calor cedido al congelarse + calor cedido por el hielo al ir de 0 a -10 =
= 100 g . 1 cal/ g C . (0 C - 10 C) - 100g . 80 cal/g + 100g . 0,5 cal/g C . (-10 C - 0) =
= - 1000 cal - 8000 cal - 500 cal = - 9500 cal

Respuesta a a): el agua cede 9500 calorías.

Por lo tanto, |Qf |= 9500 cal

Ahora podemos relacionar esto con las expresiones para la máquina. Sabemos que el rendimiento de una máquina frigorífica es: n = |Qf | / |L|, por lo tanto:

η = |Qf | / |L| = 6 ----> |L| = 9500 cal/6 = 1583.33 cal

Necesitamos saber si esta máquina es posible. Veamos las condiciones que deben cumplirse:

1. Primer principio de la termodinámica.

En este caso, como la máquina es cíclica nos queda:

|L|  = |Qc| - |Qf| 

Como ahora conocemos  |Qf|  = 9500 cal y |L|  = 1583.33 cal, hallamos |Qc|:
|Qc| = |L| + |Qf|  = 11083.33 cal

Este valor de Qc asegura que se verifique el primer principio.

2. Segundo principio de la termodinámica
 Tiene que verificarse 

Tf /Tc ≥  |Qf|/|Qc|

por lo tanto, despejando Tc:

 Tf |Qc| / |Qf| ≥ Tc

Reemplazando: 

Tc ≤ 263 K . 11083.33 cal / 9500 cal

Es decir que la temperatura máxima del ambiente (Tc) es de 306.83 K.
 

5 comentarios:

  1. Hola Profe! lo que más me cuesta es resolver las desigualdades cuando paso al otro término con signo negativo... o sea que cambia en sentido de la desigualdad...
    Gracias Profe! estuvo bueno el problema, a pesar que me trabé varias veces por el tema del álgebra

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  2. Hola Carlota,


    Las desigualdades se manejan de la siguiente manera:


    - Si pasás un término sumando o restando del otro lado, se hace exactamente de la misma manera que en una igualdad. Ejemplo:


    a - b < c
    a < c + b


    O bien, pasando "a" en vez de "b":
    - b < c - a


    En estos casos, el sentido de la desigualdad sigue siendo EL MISMO.


    -------



    En cambio:

    - Si pasás un factor multiplicando o dividiendo para el otro lado, entonces:
    * Si ese factor es positivo, se pasa igual que en el caso de las igualdades.
    * Si ese factor es NEGATIVO, el pasaje del factor se hace igual, pero cambia EL SENTIDO DE LA DESIGUALDAD (sólo eso, no cambia ningún signo).


    Ejemplos:


    Si tenemos: a . c < b



    Si c es positivo, entonces a < b/c


    Si c es negativo, entonces a > b/c
    (sólo cambia > por <, pero "c" sigue siendo el mismo, o sea negativo, no le cambia el signo)


    Ahora bien, en este problema en particular, las temperaturas son absolutas, o sea que son positivas, y los calores están en MODULO, así que también son positivos... por lo tanto, en este problema particular, al pasar multiplicando o dividiendo factores, no se altera el sentido de la desigualdad.


    Saludos,
    Miriam

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  3. Hola Profe! entonces hice un lío bárbaro de signos...sin necesidad...!!
    Las temperaturas, SI las había puesto en Kelvin (o sea Temperatura absoluta), pero me equivoqué en los calores, ya que puse NEGATIVO el Q 2( o sea Q caliente), y ahí se me descompaginó todo...
    No me doy cuenta, porque se usa el calor en MODULO...
    Gracias Profe!!

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  4. Hola Carlota,


    En todas las fórmulas de máquinas térmicas, usamos los calores en valor absoluto, por eso están todos indicados con BARRAS DE MODULO.


    Esto se hace para que no haya confusión de signos, por la siguiente razón: el Qc (por ejemplo), es negativo para una máquina frigorífica porque es cedido por la máquina... PERO si miramos el problema desde el punto de vista de la FUENTE caliente, para la fuente debería ser positivo porque es absorbido por ella... entonces para que no haya ambigüedad es necesario una de dos cosas: 1) o establecer una convención de signos para cada Q (por ejemplo: tomarlo positivo cuando es absorbido por la máquina o negativo si no), 2) o bien, usar los Qs con barras de módulo, con lo cual siempre sabemos que |Qc| es positivo, y que |Qf| también es positivo. Y los colocamos sumando o restando según corresponda en cada fórmula, pero ya no hay dudas con los signos que van. En mi opinión ésta es la mejor opción.


    Saludos,
    Miriam

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