martes, 23 de agosto de 2011

Movimiento rectilíneo uniforme



MRU:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: el móvil se mueve en línea recta y con velocidad constante. En este movimiento, la velocidad instantánea es siempre la misma, y por supuesto la velocidad media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:


Recordando que Δx = xf - x0 ("x final menos x inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando xf, nos queda:


xf = x0 + v (tf - t0)


En cuanto a la aceleración, es siempre CERO en un MRU, ya que Δv = 0 siempre.


Ecuación horaria:
En problemas donde se conocen la velocidad, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Esta expresión genérica se llama "ecuación horaria" y nos permite hacer una tabla de valores para calcular la posición en todos los instantes que queramos. En este caso, la ecuación horaria queda:

x(t) = x0 + v (t - t0)                   (1)

donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

¡Ojo! Tanto esta ecuación horaria, como las dos expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRU.

Gráficos x - t y v - t para un MRU

Para un problema particular, x0, t0, y v son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (1) es la ecuación de una RECTA si la graficamos en los ejes x-t :

Nota: se acostumbra tomar (t0, x0), como el instante y la posición iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en x0 para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, Los gráficos de x vs t y v vs t para un MRU tienen la forma indicada a continuación:





En el gráfico de x vs t, la pendiente está asociada a la velocidad:  
- si la pendiente es positiva, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal, mayor es la velocidad. 
- si la pendiente es negativa, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal,  más negativa es la velocidad.
Esto se ilustra en la figurade la derecha, donde se muestra la posición en función del tiempo para cinco móviles con diferente velocidad. En el recuadro se indica cómo se ordenan las velocidades de menor a mayor.



Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Como hemos mencionado en la entrada del Blog sobre conceptos generales de cinemática, para un gráfico de velocidad vs tiempo, el área entre el gráfico y el eje t está asociado al desplazamiento del móvil:

                                                          
Ejemplo
Un auto se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s, durante 20 s. Luego, da marcha atrás a una velocidad de 5 m/s, hasta retroceder 20 m, donde se detiene.
a) Escribir la ecuación horaria para cada etapa y graficar x vs t para ambas (en el mismo gráfico).
b) ¿En dónde está el auto a los 22 segundos después de partir?
Nota: ¡primero tratá de hacerlo antes de seguir leyendo!

a) Hagamos un esquema de la situación. En el esquema (no está en escala) ubiquemos las datos que tenemos.  Llamamos t = 0 al instante de partida, y x = 0 al punto de donde el auto parte. 


Cada etapa es un MRU.
1ra. etapa:
x(t) = x0 + v1 (t - t0) --> aquí tomamos t0 = 0 y x0 = 0 que es el punto de partida. v1 = 10 m/s. Queda:

x(t) = 10 m/s . t    (1)

Esta ecuación es válida para 0 ≤ t ≤ 20 s
2da. etapa:
x(t) = x'0 + v2 (t - t'0) 

* Tomamos t'0 = 20s que es cuando se inicia la 2da. etapa. 
* PERO no tenemos el correspondiente valor x'0 --> en el esquema, podemos apreciar que la posición inicial de la 2da. etapa, es igual a la posición FINAL de la  1ra. etapa. Regresemos entonces a la ecuación (1) y reemplacemos t = 20 s --> por lo tanto, x(a los 20 s) = 200 m. 
--> x'0  = 200 m.
* v2 = - 5 m/s (es negativa, OJO!)

Entonces:
x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s)     (2)

Nos faltaría saber hasta qué t es válida esta segunda ecuación. Nos dicen que el auto retrocede 20 m y ahí se detiene --> esos 20 m están contados desde x = 200 m, por lo tanto, la posición final es x = 180 m. Hallemos entonces cuánto vale t:

180 m = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) --> 
5 m/s (t - 20 s) = 20 m --> t - 20 s = 4 s
--> t = 24 s
Es decir que al final de la 2da. etapa, nuestro cronómetro marca t = 24 s (recordemos que t se medía desde el principio) por lo tanto para la 2da. etapa: 20 s ≤ t ≤ 24 s.

Nota: observar que estaría MAL si en la ecuación (2) tomamos t0 = 0 y x0 = 0, porque la "combinación" t0 =0, x0= 0 pertenece a la primera etapa y no a la segunda.

Volquemos todo esto en el gráfico x vs t:

b) A los 22 segundos después de partir, el auto está en la segunda etapa. Entonces, para saber dónde está, reemplazamos este instante particular en la ecuación (2):

x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) 
x(22 s) =  200 m - 5 m/s (22s - 20 s)    -->
 x(22 s) = 190 m

Fin. :) 

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