miércoles, 12 de octubre de 2011

Una variación sobre el problema 7 de calorimetría de la guía

En clase vimos completo el ejercicio 7 de la guía, página 70, tal cual está ahí. Habíamos obtenido que en el estado final hay hielo-agua líquida-plomo a 0°C, ya que el hielo no llega a fundirse. Ahora resolveremos una variante de ese problema: aumentaremos la cantidad de plomo. Consideremos entonces, este enunciado:

Problema:
Se vierten 2 kg de esquirlas de plomo (Pb) a 150 °C sobre un bloque de hielo de 50 g en un recipiente adiabático. Desprecie la capacidad calorífica del recipiente. La temperatura inicial del hielo es de -30 °C. ¿Cuál es la temperatura final del sistema? (chielo = 0,5 cal/(g °C), cPb = 0,03 cal/(g °C)). Resuelva analítica y gráficamente.


Vamos a ver que a veces, dependiendo de cómo se nos ocurra encarar un problema de calorimetría, puede haber "idas y venidas", y "cálculos tentativos", hasta que nos demos cuenta de cuál va a ser el estado final. Pasemos a la...

Resolución
Tenemos hielo inicialmente a -30 °C. Lo que primero se nos podría ocurrir, es calcular cuántas calorías necesita el hielo para pasar a 0 °C (ojo, siendo aún HIELO).

Calculemos ese calor:
Hielo - de -30 a 0
Q(Hielo de -30 a 0) = 50 g . 0,5 cal/(g °C) . (0 °C - (-30°C)) = + 50 . 0,5 . 30 cal = 750 cal

Entonces el hielo necesita recibir 750 calorías para llegar a 0 °C.

Hielo/Agua - Etapa de fusión
Ese hielo podría fundirse. Calculemos cuántas calorías necesitaría recibir para eso.
Q(Hielo - fusión) = mhielo . Lf = 50 g . 80 cal/g = 4000 cal

Por lo tanto: el hielo necesita 4000 calorías sólo para fundirse; es decir que necesita 4750 calorías para hacer el proceso completo de: pasar de -30 a 0 y luego fundirse.

Al llegar a este punto -y dado que cuando resolvimos el ejercicio 7 llegamos a que NO se fundía todo el hielo- podríamos pensar: ¿pero será que el Plomo puede dar estas calorías para que se funda todo? Entonces hagamos otro cálculo auxiliar: pensemos que el Plomo va de 150 a 0 y calculemos cuántas calorías cede. Tomamos 0 °C porque es la mínima temperatura a la cual podría llegar el plomo si el hielo se fundiera.... (ya que si el hielo sube a 0 °C, el, el plomo NO puede ir por debajo de cero, sería contradictorio)

Plomo - de 150 a 0
Q(Pb 150 a 0) =  2000 g . 0,03 cal/ (g°C ) . (0°C - 150 °C) = - 9000 cal.

¡Si el plomo pasara de 150°C a 0 °C, cedería 9000 calorías! Esto nos alcanza y nos sobra, para proveerle al hielo las 4750 calorías que necesita para llegar a ser agua a 0 °C. De aquí deducimos las siguientes ...

Consecuencias:

- El hielo, efectivamente, además de pasar de -30 a 0, va a fundirse completo.
- Y como las calorías sobran, el agua resultante va a calentarse. Es decir que la temperatura final del sistema, seguro va a ser mayor que 0 °C.
- Y además surge otra posibilidad: podría llegar a suceder que el agua se caliente hasta 100 °C y que luego parte de la misma, o toda, pase a ser vapor. 

- Pero ahora surge algo importante: como el agua resultante del hielo, va a tener temperatura mayor que cero, entonces el plomo no puede llegar a cero!! Es decir, que el cálculo auxiliar que hicimos de las -9000 calorías "nos queda grande", seguro van a ser menos que 9000! El plomo va a llegar a una Tfinal, no sabemos a cuál todavía, pero va a ser MAYOR que cero.

Para  descartar, o no, que el agua llegue a los 100 °C y que comience a vaporizarse, hagamos otro cálculo auxiliar: veamos cuántas calorías necesita el agua para llegar a 100°C:

Agua de 0 a 100
Q(agua 0 a 100) = 50 g . 1 cal/(g°C)  . (100°C - 0°C) = 5000 cal

 Es decir, que necesitamos 5000 calorías adicionales para que el agua vaya de 0°C a 100°C, OJO, además de las 4750 que ya necesitábamos para tener agua a 0!!

¿Puede el plomo proveer esto? Ya no nos sirven las 9000 calorías que habíamos calculado... ya que si el agua subiera a 100 °C, el plomo no puede bajar de 100 C!!. Entonces veamos cuánto puede dar el plomo si va de 150°C a 100°C:

Plomo - De 150°C a 100°C


Q(Pb 150 a 100) = 2000 g . 0,03 cal/(g °C) . (100°C - 150°C ) = - 3000 cal

Esto significa que, si el plomo llega sólo a 100°C, NO puede proveer las calorías necesarias para que el agua llegue a 100°C (ni siquiera le elcanzaría para fundir al hielo!).

Conclusión: el agua aumenta su temperatura luego de la fusión pero NO llega a 100°C, y el plomo va a bajar más allá de los 100°C, hasta alguna temperatura por encima de 0°C, como ya habíamos dicho antes. 

Entonces, recapitulando:
- El hielo aumenta su temperatura hasta 0 y después se funde todo
- El agua resultante se calienta pero NO llega a 100, sino a cierta Tf
- El plomo se enfría hasta esa Tf.
- La temperatura final verifica 0 < Tf < 100. Tf es incógnita.
- El sistema en su estado final consistirá en: agua líquida y plomo.
  Ahora que ya sabemos cuál es el estado final (y por lo tanto, sabemos qué términos tenemos que tener en cuenta), planteamos la ecuación del calorímetro, considerando TODOS los calores que en realidad se intercambian:

Q(Hielo de -30 a 0) + Q(Hielo - fusión) + Q(agua - de 0 a Tf) + Q(Pb de 150 a Tf) = 0.

Los tres primeros términos corresponden al hielo/agua, y el último al plomo. Figuran solamente los términos asociados a los procesos que realmente ocurren.  Es decir: algunos cálculos auxiliares no figuran, porque NO ocurren: lo de las 9000 calorías queda descartado porque el plomo no llega a cero, las 5000 calorías que calculamos para el agua tampoco porque el agua NO llega a 100°C, etc.

Ahora desarrollamos la expresión de arriba:
mhielo . chielo  . (0°C - (-30°C)) + mhielo . Lf + magua . cagua . (Tf - 0 °C) + mPb . cPb . (Tf - 150°C) = 0.

Reemplazando:
50 g . 0,5 cal/(g °C) .(0°C - (-30°C)) + 50 g . 80 cal/g + 50 g . 1 cal/(g° C) . (Tf - 0°C) + 2000 g . 0,03 cal/(g °C) . (Tf - 150 °C) = 0.

Por lo tanto:
750 cal + 4000 cal + 50 g . 1 cal/(g° C) . (Tf - 0°C) + 2000 g . 0,03 cal/(g °C) . (Tf - 150 °C) = 0.    (*)

En la ecuación (*), Tf es la única incógnita, así que sólo queda agrupar las apariciones de Tf y despejar: Queda:

Tf = 38,636 °C

Siempre tenemos que chequear que el resultado sea consistente. En este caso lo es, porque la temperatura nos da mayor que cero y menor que 100°C, tal como debía ser. .

Volquemos todo en un gráfico de T vs |Q|:



En azul se muestran las etapas para el agua / hielo, y en violeta el enfriamiento del plomo. El punto naranja es el estado final del sistema, Tf = 38,636 °C. Notar que el valor de la abscisa para esa temperatura (6681,81 cal) es la cantidad total de calorías que absorbe el hielo/agua, o también, la cantidad de calorías cedidas por el plomo, desde el comienzo, hasta el estado de equilibrio.

Este valor  de 6681,81 cal puede calcularse sumando los tres primeros términos de la ecuación (*), reemplazando Tf = 38,636 °C


Calor total absorbido por el hielo/agua = 750 cal + 4000 cal + 50 g . 1 cal/(g° C) . (38.636°C - 0°C) = 6681,818 cal


o bien, mediante el cuarto término de la ecuación (*), también reemplazando Tf = 38,636 °C:

Calor total cedido por el plomo = 2000 g . 0,03 cal/(g °C) . (38,636 °C - 150 °C) = -6681,818 cal
(da negtivo porque son cedidas en este caso).

El gráfico muestra también, lo que le sucedería al agua si continuara calentándose: necesitaría 5000 calorías para ir de 0 a 100 (este cálculo lo hicimos más arriba), y posteriormente comenzaría la vaporización.

10 comentarios:

  1. hola profe: no entiendo este problema , no entiendo la conclusion que saca, que el agua aumenta su temp luego de la fusion pero no llega a 100ºC y el plomo va a bajar mas alla de los 100ºC hasta alguna temperatura por encima de 0ºC y que el hielo se fund todo? porque? trate de razonarlo pero no puedo me confunde mucho por que para mi el plomo a los 100 ºC solo cede
    -3000 cal ni siquiera le alcanza para fundirla ya que es en total 4750cal no entiendo por que dice que se funde del todo entonces gracias prof..

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  2. Hola,

    - Es cierto que el plomo cede sólo las -3000 cal cuando va de 150 C a 100 C.

    - Es cierto también, que esas 3000 cal NO alcanzan para subir la temp. del hielo y fundirlo, ya que para eso hacen falta 4750 cal.

    Hasta ahí lo razonaste bien. Fijáte que lo que se muestra en el gráfico es consistente con lo anterior: si trazás una línea vertical en |Q| = 3000, ahí el plomo está en 100 C, y el agua todavía está en la etapa de fusión, o sea: tenés agua+hielo, en el momento en que el plomo está en 100 C.

    Pero tené en cuenta que después, el plomo sigue bajando de temperatura, y por lo tanto sigue cediendo calorías. El plomo baja desde 100 C hasta Tf, y las calorías que cede desde 100 C a Tf, las usa el hielo para terminar de fundirse, y después, el agua resultante para subir su temperatura.

    O sea: el hielo se funde todo, cuando el plomo ya está POR DEBAJO de 100 C.

    Gráficamente se ve más claro.

    Avisáme si te quedan dudas.

    Saludos,
    Miriam

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  3. hola profe soy otra vez la que le pregunto sobre ste ejercicio 7) lo que se me complica es darme cuenta por que el plomo sigue bajando su temp y cediend cal si este solo puede ceder -3000 y lo que pienso es que la tempf es de 100C ya que es lo maximo que puede ceder el plomo no entiendo por que la temp va a ser menor, gracias profe ..

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  4. hola profe : soy yo otra vez la que tiene problemas con este ejercicio la verdad es que se me hace imposible entenderlo por que en la guia de los libritos teoricos pag 11 hay uno parecido puede ser? y toman como temperatura final 0ºC es decisr a la temperatura maxima en la que cobre ouede ceder todas las calorias ,gracias profe y perdon por ser tan molesta ..

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  5. Hola,

    * El problema es que estás asumiento que "lo máximo" que puede ceder el plomo, es llegando hasta 100 C. Eso NO es cierto.

    * El plomo puede seguir bajando de temperatura por debajo de los 100 C, y entonces cede MAS qe las 3000 calorías que ya cedía.

    Mirá el GRAFICO: el plomo (línea violeta) llega a en 100 C en cierto momento, pero después de eso sigue bajando, y por lo tanto, sigue cediendo calorías.

    - En el problema de la página 11 del libro teórico Unidad 4, la temperatura final es 0 C, debido a que en ESE problema el hielo no termina de fundirse, pero en este caso es distinto, acá SÍ termina de fundirse.

    Fijáte en el gráfico de arriba, que cuando el hielo termina de fundirse, el plomo todavía está a una temperatura bastante alta. Entonces el proceso continúa, hasta que todo esté a la misma temperatura.

    Si el plomo está a T1, y el agua a T2 < T1, el plomo va a seguir enfriándose. Cuando se encuentren a la MISMA temperatura, ahí termina el proceso (punto naranja del gráfico).

    No sos molesta, me parece bien que preguntes, fijáte si ahora se entiende más o si necesitás más clarificaciones.

    Saludos,
    Miriam

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  6. PD: en el gráfico, todo lo que está A LA DERECHA del punto naranja, NO llega a ocurrir.

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  7. Medranojohanna94@gmail.com7 de febrero de 2013, 23:44

    hola profe a mi me costaban los ejercicios de calorimetria pero ahora ya hice varios y la verdad que leyendo lo de la teoria de los libritos y con su ayuda me ayudo un monton por los ejercicios que estan en el blog  y me salieron por decir casi todos y los que no me pude dar cuenta cual fue mi error  

    y una cosita mas en este ejercicio por que me dice que la temperatura final del hielo es -30 cuando en realidad en la resolucion dice que -30 es la temperatura inicial del hielo ??

    por que yo una vez que lei que -30 era la temperatura inicial lo pude resolver enseguida .gracias.

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  8.  Hola Johanna,

    Precisamente, la temperatura de (-30) es la INICIAL del hielo, no la final. La temperatura final del hielo (que en realidad ya va a estar fundido, va a ser agua), va a ser la misma del plomo, porque en el estado final, de equilibrio, las dos cosas tienen la misma temperatura.

    Al analizar la resolución y el gráfico, se ve que (-30) se tomó como temperatura inicial del hielo. Sin embargo, en el enunciado había un error de apuro-tipeo, decía "final" en vez de "inicial" (eso no tendría ningún sentido). Ya lo corregí! Gracias por avisarme de eso.

    Saludos,
    Miriam

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  9. Profe, me podría ayudar con el problema 9 de la guia pág 71? es sobre calorímetro pero no se como arrancar

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  10. Hola Mabel,

    - Para el punto a), tené en cuenta que el plomo, al solidificarse, está cediendo calor, ese calor se lo da al agua que lo absorbe:

    Qcedido por el plomo = - 300 g . 5,5 cal/g

    O sea: Q(absorbido por el agua) = 300 g . 5,5 cal/g (positivo porque el agua absorbe ese calor)

    El agua, al absorber calor, cambia de temperatura, entonces si en la ec. anterior reemplazás Qagua = m . c . DeltaT, ahí sacás la T del agua justo cuando el plomo termina de solidificarse.

    Para el ítem b): ahora el plomo ya está SOLIDO, pero sigue en contacto con el agua, o sea
    que se va a seguir enfriando. Y el agua se va a seguir calentando, hasta que lleguen a la misma temperatura final. Y nuevamente, el calor cedido por el plomo, va a ser el absorbido por el agua (también cambiado de signo), pensá cómo plantear eso.

    Algo muy util, es que hagas el GRAFICO T - |Q| de la evolución del agua y del plomo.

    Saludos,
    Miriam

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