sábado, 29 de octubre de 2011

Uno de esos típicos problemas de conducción en barras conectadas (con variantes)

Dos varillas, (1) y (2), de igual sección, conductividades K1 y K2, y longitudes 0,7 m y 0,3 m respectivamente, están soldadas  entre sí en un extremo. El otro extremo de la varilla (1) está unido a un recipiente que contiene agua en ebullición, a 1 atm. En cambio, el otro extremo de la varilla (2), está unido a otro recipiente que contiene hielo en fusión, también a 1 atm. Se desprecia el intercambio de calor entre los recipientes y el ambiente, y entre la barra y el ambiente, y se considera que el flujo de calor es estacionario.


Parte I) Si las varillas fueran de: (1) cobre: K1= 400 W/(m K), y (2) , acero: K2 = 50 W/(m K)
a) hallar la temperatura en la unión de las varillas. Graficar la temperatura en función de la posición a lo largo de la barra. ¿Cómo hallaría la temperatura en otros puntos de la barra (que no sea el de unión o los extremos). Explicar.


Parte II) Sabiendo que  en una hora se funden 500 g de hielo:
b) Calcular cuánto vapor se condensó en ese tiempo,  y hallar la variación de entropía de cada elemento y del universo, en ese lapso.


c) Calcular el valor de la sección de las barras.



Parte III) Suponga ahora que se cambian las dos varillas por otras dos, con las mismas longitudes (0,7 m y 0,3m) y sección que las anteriores, pero de materiales desconocidos. Con la nueva configuración, la nueva temperatura de la unión es de 90°C.
d) ¿qué podría decir de las conductividades de las varillas? ¿Puede hallarlas?



Resolución
Primero hagamos un esquema de la barra (ver figura adjunta). En nuestro esquema, ubicamos la varilla (1) a la izquierda y la (2) a la derecha. El recipiente donde hay agua en ebullción, a presión atmosférica, tiene que estar a 100°C; en cambio, el recipiente con hielo fundiéndose, también a presión atmosférica, tiene que estar a 0°C. Así que, el extremo izquierdo de la varilla (1) está a 100°C, y el derecho de la varilla (2), a 0°C.

 Parte I
a) Llamaremos Tu a la temperatura del punto de unión entre las barras. Tomamos un eje x en la dirección de las barras, eligiendo arbitrariamente como x = 0 al punto de temperatura T1 = 100°C.

Para hallar la temperatura en la unión, planteamos la Ley de Fourier en cada barra, usando que ambas tienen igual sección:

Barra (1): P1 = K1 . A/L1 . (T1 - Tu)         (1)
Barra (2): P2 = K2 . A/L2 . (Tu - T2)         (2)

Dado que toda la potencia calórica que atraviesa la primera barra, atraviesa también la segunda ("barras en serie"), entonces:

P1 = P2          (3)

y por lo tanto, reemplazando  (1) y (2) en (3), nos queda:

 K1 . A/L1 . (T1 - Tu))  = K2 . A/L2 . (Tu - T2)

Simplificando A, y reemplazando L1, L2 y las conductividades, y simplificando unidades, tenemos que:

(400 /0,7) (100°C - Tu ) = (50/0,3) . (Tu - 0°C)

Distribuyendo y agrupando, despejamos Tu de la ecuación anterior:

Tu = 77,42°C


Gráfico:
Para graficar la temperatura en función de x, primero ubiquemos los puntos que limitan cada varilla:

x = 0 m,   T1 = 100 °C
x = 0,7m, Tu = 77,42
x = 1m,    T2 = 0 °C. 

Como la conductividad es constante en cada varilla, la dependencia de la temperatura con x es lineal, por lo tanto quedan dos segmentos de recta en el gráfico, uno para cada valor de conductividad:


Veamos cómo hallar la temperatura en otros puntos. Gráficamente, se puede marcar el valor de x sobre el eje horizontal, y ver a qué temperatura corresponde. Analíticamente, podemos hallar la ecuación de cada recta, hallando su pendiente y su ordenada al origen; una vez que tengamos la ecuación de cada recta, después podremos reemplazar los valores de x que queramos para hallar su temperatura.

Para la varilla (1):
Si escribimos T(x) = m1. x + b1, la pendiente m1 es (del gráfico):
m1 = - (100°C - 77,42 °C)/ 0,7 m = - 32,258 °C/m,
y la ordenada el origen es b1 = 100 °C. Por lo tanto:

T(x) = -32,258(°C/m) . x + 100°C               válido si   0m < x < 0,7 m

Para la varilla (2):
Si escribimos T(x) = m2. x + b2, la pendiente m2 es (del gráfico): 
m2 = - 77,42°C/0,3 m = -  258,0645°C/m, 
Y además sabemos que para x = 1 m, vale T(x) = 0°C, de ahí se `puede despejar b2 = 258,0645°C. 
Por lo tanto:


T(x) = - 258,0645°C/m . x + 258,0645°C               válido si   0,7m < x < 1 m


Parte II
Nos dicen que en 1 hora se funden 500 g de hielo. Calculemos la masa de vapor condensado.
b) El hielo se funde debido al calor que llega a la barra (2), esto significa que, en una hora, llega Q2 = m . Lf al recipiente de la derecha:

|Q2| = mhielo . Lf = 500 g . 80 cal/g = 40000 cal

Pero todo este calor, proviene del primer recipiente.  Expresemos Q1 en valor absoluto:


|Q1| = mvapor . Lv = mvapor . 540 cal/g

Como P1 = P2, tenemos que |Q1|/Δt = |Q2|/Δt, dado que el período de tiempo es el mismo, entonces debe verificarse que:

|Q1| = |Q2|.

mvapor . 540 cal/g = 40000 cal
mvapor= 74,074 g

Esta es la masa de vapor que se condensa en una hora.


Hallemos ahora las variaciones de entropía. En este problema, nos dicen que podemos despreciar el calor intercambiado con el ambiente, por lo tanto, el ambiente no cambiará su entropía ya que no se "entera" de lo que sucede en la barra y los recipientes. Así que no lo consideramos. Nuestro "universo", entonces, estará formado por 3 elementos:

- el recipiente izquierdo
- el recipiente derecho
- la barra

Por lo tanto:

ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2) + ΔSbarra

Pero en este problema, el flujo es estacionario (para la barra: el calor que le entra por un lado sale por el otro), eso significa que el estado de la barra no cambia con el tiempo, y como la entropía es una función de estado, entonces NO puede variar para la barra. Por lo tanto:

ΔSbarra = 0  --> ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2)

Pasemos a las variaciones de entropía en cada recipiente.
En el recipiente izquierdo (1), la temperatura es constante, T1 = 373 K, el recipiente cede un calor |Q1| a la barra, por lo tanto

ΔSrecip(1) = - |Q1| /T1

En el recipiente derecho (2), la temperatura es constante, T2 = 273 K, el recipiente recibe un calor |Q2| de la barra, por lo tanto:

ΔSrecip(2) = + |Q2| /T2

Recordemos que ya habíamos calculado |Q1| = |Q2| = 40000 cal, por lo tanto:

ΔSrecip(1) = - 40000 cal/373 K = - 107,24 cal/K
ΔSrecip(2) = + 40000 cal/273 K =  + 146,52 cal/K

Notar que el aumento de entropía del recipiente (2) es mayor que la disminución de entropía en el recipiente (1). Por eso, al sumar ambas variaciones, se obtiene la variación de entropía del universo al cabo de una hora, que es:


ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2) = 39,28 cal/K

y este valor es positivo, como debe ser de acuerdo al 2do. principio de la termodinámica. El proceso, desde luego, es irreversible.

c) Calculemos la sección de las barras, A.
Para eso  usamos la ley de Fourier, Potencia = k . (A/L) . ΔT. Podemos aplicarla  a la primera barra.

Como ahora tenemos el dato de que en 1 hora se funden 500 g de hielo, esto significa que en 1 hora circularon 40000 calorías por la barra (como calculamos en c). Es decir:

P1 = P2 = 40000 cal / 3600 s = 167360 J / 3600 s = 46,488 Watt

Podemos usar la expresión para P1 o para P2 (de ambas formas debería dar igual). Usemos P1:

P1 = K1 . (A /L1) . (T1 - Tu)

Reemplazando P1 = 46,488 Watt, K1 = 400 W/(m K), L1 = 0,7 m, T1= 100°C, Tu = 77,42°C, despejamos A:

A = 0,0036 m^2 = 36 cm^2

Parte III
Ahora supongamos que cambiamos las varillas por otras, de las mismas longitudes que antes. Ya NO tenemos los valores de conductividad del ítem anterior, sino que son desconocidos. En esta nueva situación, nos dicen que la temperatura de unión es Tu = 90°C.

d) En esta nueva configuración, también siguen valiendo las ecauciones (1) y (2), y también sigue valiendo que ambas potencias son iguales, por lo tanto:

K1 . (A/L1 ). (T1 - Tu)  = K2 . (A/L2) . (Tu - T2)

Simplificando las secciones, reemplazando las temperarturas T1 = 100°C, T2 = 0°C y Tu = 90°C, reemplazando las longitudes L1 = 0,7 m y L2 = 0,3 m, y simplificando unidades, llegamos a:

K1 . 10 / 0,7 = K2 . 90 /0,3

por lo tanto, podemos despejar el cociente de conductividades:

K1/K2 = 21

o bien (es equivalente):

K2/K1 = 1/21

No tenemos datos suficientes para calcular las conductividades, pero sí podemos saber la proporción entre ellas.

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Podés dejar tus preguntas a continuación, y si encontrás errores de cualquier tipo, no dudes en avisar!

18 comentarios:

  1. Hola profe tengo una duda con el tercer parcialito,el punto 1. Tengo que averiguar la cantidad de calor que necesito para pasar el plomo de -30 a 0 grados C? Por que a 0 grados ?

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  2. Hola,

    El punto es: que si el agua (que está originalmente a 10 C), llega a 0 C, entonces el plomo no puede "pasarse" de ahí, por lo tanto, como máximo podrá llegar a 0 C. Es un cálculo tentativo.

    Para el agua sí vas a necesitar calcular de 10 C a 0 C, para saber cuántas calorías cede. Y, tomando para el plomo cuánto absorbe de -30 a 0, vas a poder saber si puede absorber esas calorías.

    De todos modos, si querés podés obviar ese paso y hacerlo de la siguiente manera:

    - calculá primero cuántas calorías cede el agua para llegar a 0 C. Y también calculá cuántas calorías cede el agua para solidificarse, a 0 C.

    - Después calculá a qué temperatura estaría el plomo si absorbe esas calorías que da el agua --> ahí vas a saber si puede absorberlas o no.

    Avisáme si necesitás más ayuda.

    Saludos,
    Miriam

    PD: les pido a todos, que en cada entrada, hagan comentarios DE LA ENTRADA, en este caso del problema de conducción en las barras. Para cualquier otra consulta, está la "página de consultas". Así todo queda más ordenado. Gracias!

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  3. hola profe, la ley de fourier no es P= k .A.T/l ? si es asi porque en el primer ejercicio hace K/l en lugar de T/l ?

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  4. Hola!

    Es lo mismo, podés escribir

    P= k .A.DeltaT/L,

    o bien:

    P= (k .A/L).DeltaT,

    o bien:

    P= (k/L) .A.DeltaT

    Acordáte que, matemáticamente:

    (a.b.c) / (d.e.f) = (a/d) . (b/e) . (c/f) =

    [(a.b)/d ]. [c/ (e.f)]

    Saludos,
    Miriam

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  5. Hola Profe! un problema muy bueno! pero tengo una pregunta... con respecto a las temperaturas en otros puntos de la barra, que no sean los de la unión... Van a tomar ese tipo de preguntas?? porque entonces tendré que ponerme a repasar Matemática!!!

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  6. Hola Carlota,

    Fijáte que no tiene tanta matemática... son ecuaciones de RECTAS.

    Si para UNA de las barras conocés en DOS valores de X, el valor de la temperatura (ejemplo: en sus dos extremos, me estoy refiriendo a una misma barra, ojo), ya con eso sale la ecuación de la recta:

    - Supongamos que en x = x1 hay temperatura T1
    - Y que en x = x2 hay temperatura T2.
    (y que x1,x2, T1 y T2 son cuatro números conocidos)

    Entonces la ecuación de la recta ("ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados") es:

    T(x) = [ (T1 - T2) / (x1 - x2) ] . (x - x1) + T1

    (atención a los paréntesis y corchetes!)

    En esa ecuación, reemplazás los cuatro numeritos x1, x2, T1, T2.... "x" es la variable independiente, y entonces te queda la función T(x) para un x cualquiera. Si te dan un x cualquiera, reemplazás el x y tenés T(x).

    Para la otra barra, es análogo, necesitás las dos temperaturas en sus dos extremos, y con eso podés sacar la temperatura en cualquier otro punto.

    En particular es muy importante entender esto conceptualmente y cualitativamente, por ejemplo: el ejercicio de VETERINARIA en esta página de adicionales:

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/6805150/seleccionados/seleccion_2doP_132c53_8.jpg


    Saludos,
    Miriam

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  7. Gracias Profe! en el problema de Veterinaria, la respuesta correcta es la segunda opción de la izquierda?? Gracias!

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  8. Hola Profe nuevamente!

    Con respecto al link con el problema de Veterinaria...

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/6805150/seleccionados/seleccion_2doP_132c53_8.jpg

    Me puse a ver los otros problemas... también veo que pertenece a los Adicionales Página 8/8... y no sé si es este el lugar para comentarlo, pero quería preguntarte por los resultados del Problema 6 que está al principio de la hoja...



    La respuesta del Item a) sería 1 W/mk ??
    La respuesta del item b) sería 9,43 .10^8 cal/hora??


    GRACIAS PROFE!!

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  9. Hola Carlota,

    Sí, correcto, es el segundo gráfico de la columna izquierda. Eso se debe a que la pendiente del gráfico es MENOR en la zona de la varilla de MAYOR conductividad; esto sucede para varillas de igual sección conectadas "EN SERIE", ya que las potencias son IGUALES, y entonces queda que la pendiente de cada tramo de recta es DeltaT/L. La ecuación queda:

    DeltaT(para B)/LB = (kA / kB) . DeltaT(para A)/LA

    Y como KA/KB > 1, entonces DeltaT(para B)/LB (que es la pendiente del tramo izquierdo de recta) es MAYOR que DeltaT(para A)/LA (que es la pendiente del tramo derecho de recta).

    ¿Lo pensaste así?

    Saludos,
    Miriam

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  10. Hola Carlota, el punto a) es correcto, la conductividad da eso. El punto b) me da diferente (lo revisé), me dio: Q = 144 . 10^5 Joule = 34,416 . 10^5 cal.

    ¿Cómo te quedó la expresión del calor? Debería quedar:

    Q = 2 W / (m K). (10 m^2/ 10 cm) . 20 K . 3600 s

    Lo anterior es usando los datos de la placa 1. O también se puede expresar con los datos de la placa 2, ya que la potencia es igual:

    Q = 1 W / (m K) . (10 m^2 / 10 cm) . 40 K . 3600 s


    Otra cosa: como te piden "el CALOR transferido en una hora", la respuesta ya se da en unidades de energía (Joule o caloría), y NO por unidad de tiempo.


    Saludos,
    Miriam

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  11. UH!! me equivoqué en los Kelvin...pensé que a los 20ºC los tenía que convertir a Kelvin...

    Igualmente, tenía otro error, ya que para convertirlos a Kelvin, tendría que haber sumado 20 + 273... y tampoco lo había hecho... o sea todo mal...

    Siempre tomé como dato la placa 1, ya que como vos dijiste arriba, la potencia es la misma

    Probé como vos dijiste y me dió bien: Q = 144 . 10^5 Joule.. lo de Unidad de tiempo no lo sabía... GRACIAS PROFE!!!

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  12. En realidad no lo pensé así...
    Lo que pensé es que si la kA es mayor, la temperatura de Unión será más cercana a la temperatura de la Fuente a temperatura TA, por eso la pendiente del gráfico es menor en la zona de la varilla de mayor conductividad...
    También podía haber pensado que por la longitud de la Varilla A, hubiera sido al revés, ya que era más larga... Pero como tenía el gráfico del problema de ésta entrada...supuse que la conductividad "pesaba" más que la longitud...
    También relacioné lo que vos habías dicho arriba, que tenían que ser RECTAS, y no parábolas como había en los otros gráficos
    Tampoco podía ser una sola recta... tenían que ser dos rectas con distintas pendientes
    Entonces solo me quedaron dos gráficos para elegir...
    De esos dos ( el segundo de la columna de la izquierda y el tercero de la columna de la derecha) elegí el que te dije, por las razones que te escribí...
    Me da un poco de vergüenza todos estos razonamientos... que son poco analíticos y más intuitivos... pero eso es lo que pensé...

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  13. Hola Carlota,


    Una DIFERENCIA ENTRE DOS TEMPERATURAS (o sea, T1 - T2) da lo mismo en Kelvin o en Celsius. Ya que si pasás de Celsius a Kelvin, le sumás 273 a CADA una de las temperaturas, entonces al hacer la resta da igual.


    Y como esos 20 C son una RESTA entre dos temperaturas, entonces también son 20 K.


    Saludos,
    Miriam

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  14. Hola Carlota,

    No está mal razonar intuitivamente, sólo que hay que tener un poco de cuidado:

    - lo que dijiste de que tienen que ser dos rectas, es correcto, porque la dependencia de la temperatura con la posición es lineal para CADA material.

    - Así que, es correcto descartar las opciones que tienen curvas. Y es correcto descartar la que tiene una sola recta, ya que hay dos materiales de conductividad diferente.

    - Efectivamente, quedan sólo dos gráficos para elegir. Veamos el tema de la pendiente. En general, a igualdad de potencias (que es lo que pasa en este caso ya que las varillas están conectadas "en serie", así que P1 = P2), la PENDIENTE de la recta del gráfico T vs X, depende de la conductividad para varillas de la misma sección. Y la dependencia es: a mayor K, menor pendiente, y viceversa.

    Por lo dicho recién, hay algunas cositas inexactas en lo que dijiste, cito:

    "Lo que pensé es que si la kA es mayor, la temperatura de Unión será más cercana a la temperatura de la Fuente a temperatura TA" --> tal como está dicho, esto siempre sería cierto si las varillas fueran de igual longitud. Pero si las longitudes son diferentes, podría pasar que la longitud de una de ellas sea lo suficientemente larga para que, a pesar de la mayor conductividad, la temperatura de unión esté más lejos de TA que de TB.

    De hecho, en el 2do. dibujito de la izquierda (que es el correcto), si te fijás bien, la temperatura que correspondería a la de unión, parecería estar más cerca de TB que la de TA. (Esto no es problema... lo que realmente importa es que la zona A tiene menos pendiente).

    Dijiste: por eso la pendiente del gráfico es menor en la zona de la varilla de mayor conductividad... --> esto SÍ es correcto, pero fijáte que acá estamos hablando de la *pendiente* (o sea, de la inclinación de las rectas), no de los valores de las diferencias de temperatura.

    Dijiste: También podía haber pensado que por la longitud de la Varilla A, hubiera sido al revés, ya que era más larga... Pero como tenía el gráfico del problema de ésta entrada...supuse que la conductividad "pesaba" más que la longitud... --> No es así... si cambiaras las longitudes de las varillas, podría cambiar la temperatura de unión, pero seguiría pasando que la varilla de mayor conductividad tendría menor *pendiente* que la otra y viceversa, sin importar cuán larga sea cada varilla.



    Saludos,
    Miriam

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  15. Gracias Profe! si! me cuesta...

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  16. Muchas Gracias Profe!! por todas las aclaraciones! Saludos! Carlota

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  17. Profe que quiere decir que K : watt/K.m (la temperatura esta en grados centigrados y , no habria que pasarla a kelvin entonces?

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  18. Hola Mariana,

    En los problemas de Ley de Fourier, aparece siempre una RESTA entre temperaturas, por lo tanto, el valor numérico de esa resta da IGUAL en °C o en K.

    Por esa misma razón, a una conductividad se la puede expresar indistintamente (según convenga) en watt/(m K) o en watt(m°C), o sea: numéricamente da igual, por ejemplo:

    k = 400 W/ (m K) = 400 W/ (m °C)

    Algo análogo pasa con los calores específicos; su valor numérico es el MISMO en cal/(g°C) o en cal/(g °K) (pero atención, cuando se calculan variaciones de entropía, ahí la temperatura NO aparece en una resta, entonces TIENE que ir en Kelvin).

    Saludos,
    Miriam

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