sábado, 25 de febrero de 2012

Problema de un ascensor que desciende en dos etapas

Problema: Un ascensor se encuentra en reposo en el último piso de un edificio, comienza a descender con una aceleración constante los primeros 25 m alcanzando una velocidad de 5 m/s y luego continúa su descenso con velocidad constante durante los siguientes 15 m, desciende en total 40 m.
Indicar cuál es la afirmación correcta:
a) la energía mecánica se conserva durante todo el recorrido
b) la resultante siempre realiza un trabajo positivo
c) la energía mecánica se conserva durante los últimos 15 m
d) la aceleración del primer tramo es mayor en valor absoluto que g
e) durante todo el recorrido las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo
f) la energía mecánica es mayor durante los primeros 25 m

Hagamos un dibujo, ubicando todos los datos que tenemos, y eligiendo un sistema de referencia positivo hacia arriba y con origen en el piso. Usaremos estos datos numéricos más adelante.


En dicha figura hemos indicado los dos tramos, y hemos marcado tres puntos "importantes": el punto de partida, a 40 m de altura (punto 1), el final del primer tramo, justo donde el ascensor alcanza una velocidad de valor absoluto 5 m/s (punto 2), y el final del descenso, cuando llega al piso (punto 3).
 
Analicemos cualitativamente qué es lo que sucede:

Desde el punto de vista energético:
Primera etapa
El cuerpo parte del reposo, y su velocidad va aumentando gradualmente en valor absoluto. Es decir, su energía cinética está aumentando. Al mismo tiempo, como está descendiendo, su energía potencial está disminuyendo.  En cuanto a la energía mecánica: Em = Ec + Ep, como el primer sumando aumenta y el segundo disminuye, a priori no sabemos cuál de los dos términos "gana", así que, tendríamos que hacer cuentas para saber si Em aumenta o disminuye.

Segunda etapa
Durante este tramo, la velocidad del ascensor permanece constante, por lo tanto, su energía cinética Ec permanece constante. La energía potencial disminuye, porque desciende. En cuanto a la energía mecánica, como es la SUMA de la cinética y la potencial: Em = Ec + Ep, tiene que disminuir, ya que el primer sumando es constante y el segundo disminuye.

Desde el punto de vista dinámico


Primera etapa
Si lo pensamos desde el punto de vista dinámico, observemos que durante esta etapa, tiene que haber una fuerza resultante (Fres) hacia abajo, ya que: Fres = m . a (2da. Ley de Newton), y como cada vez baja más rápido, entonces la aceleración "apunta hacia abajo", o sea, a es negativa en nuestro sistema de referencia, por lo tanto Fres también es negativa.
Segunda etapa
La fuerza resultante en esta etapa debe ser CERO. Como la velocidad es constante, esto significa que la nueva aceleración es cero.

En la figura aquí al costado vemos un esquema de las fuerzas que actúan en cada etapa: el Peso y la fuerza del cable que sostiene el ascensor. Observar que la tensión del cable no puede ser la misma en ambos tramos.


  




Ahora pasemos a evaluar cada una de las 6 opciones que nos dan:  

a) la energía mecánica se conserva durante todo el recorrido
Por lo que ya dijimos, es seguro que en la 2da. etapa Em disminuye. O sea, ya encontramos al menos una etapa durante la cual Em no se conserva, eso implica que a) es FALSA.

De todos modos, veamos lo que sucede con la energía mecánica en el primer tramo. Calculemos Em en los puntos 1 y 2:

Em1 = Ec1 + Ep1 = 0 + M . 10 m/s^2 . 40 m = M . 400 m^2/s^2

Em2 = Ec2 + Ep2 = (1/2) . M . 25 m^2/s^2 + M . 10 m/s^2 . 15 m = M . 162,5 m^2/s^2

Notar que no conocemos M, sin embargo, no hace falta conocerlo para comparar Em1 con Em2. Se observa que Em2 < Em1, por lo tanto, en la 1ra. etapa, tampoco se conserva Em.

Entonces, ya sea por lo que sucede en la 1ra. etapa, o en la 2da. etapa, a) es FALSA.

b) la resultante siempre realiza un trabajo positivo
Usemos el teorema:  LFres = ΔEc . Apliquemos este teorema a la 1ra. etapa

LFres(1ra. etapa) = Ec2 - Ec1 

Sin hacer cuentas, vemos que esto da positivo, ya que Ec1 = 0 (el ascensor parte del reposo), y Ec2 es positivo. Entonces, el trabajo LFres(1ra. etapa) da positivo.

Pero ahora apliquemos este teorema a la 2da. etapa:

LFres(2da. etapa) = Ec3 - Ec2 = 0

ya que entre 2 y 3 no varía la energía cinética, sino que es la misma.

Este mismo resultado sale, observando que en la 2da. etapa, la fuerza resultante ES cero (ya que el ascensor tiene v constante), por lo tanto su trabajo también es cero.

Por lo que sucede en la segunda etapa, la opción b) es FALSA.

c) la energía mecánica se conserva durante los últimos 15 m
Los últimos 15 m son la 2da. etapa, durante la misma ya sabemos que Ep disminuye y Ec es constante, por lo tanto Em disminuye y esta opción es FALSA.
d) la aceleración del primer tramo es mayor en valor absoluto que g
Hagamos el cálculo para saber esto. Podemos usar la ecuación complementaria ya que es un MRUV; la aplicamos entre los puntos 1 (inicial) y 2 (final):

V2^2 -  V1^2 = 2 . a.  Δx

V2^2 -  V1^2 = 2 . a.  (X2 - X1)

(5 m/s )^2 - 0 = 2 . a . (15 m - 40 m)

Por lo tanto, a = - 0,5 m/s^2, es decir que a tiene menor valor absoluto que g. Por lo tanto, la opción d) es FALSA:


e) durante todo el recorrido las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo
La única fuerza conservativa en este problema es el Peso (P). La fuerza P apunta hacia abajo, es decir, forma un ángulo de 0° con la dirección de desplazamiento, por lo tanto su trabajo es siempre positivo (ya que al calcular el trabajo quedaría un cos(0°) = 1). 

Otra forma de verlo: podemos calcular LP para cada tramo, usando el teorema: LPeso = -ΔEp :

LPeso (de 1 a 2) = -  (Ep2 - Ep1) = - (M . 10 m/s^2. 15 m - M . 10 m/s^2. 40 m) = + M . 250 m^2/s^2 --> da positivo

LPeso (de 2 a 3) = -  (Ep3 - Ep2) = - (M . 10 m/s^2. 0 m - M . 10 m/s^2. 15 m) = + M . 150 m^2/s^2 --> da positivo



De cualquiera de las formas, se concluye que la opción e) es FALSA.

f) la energía mecánica es mayor durante los primeros 25 m
Apliquemos el teorema:  LFNC = ΔEm a dos puntos arbitratarios pertenecientes al primer tramo. La fuerza no conservativa es la tensión del cable del ascensor. El trabajo que hace es negativo, ya que dicha fuerza apunta hacia arriba, y forma 180 con la dirección de desplazamiento del ascensor. Por lo tanto, ΔEm es negativo, eso significa que Em disminuye continuamente durante el primer tramo.

Por consideraciones previas, ya sabemos que la energía mecánica disminuye también durante el segundo tramo. Esto también se puede ver aplicando el mismo teorema con el mismo razonamiento (la tensión toma otro valor numérico, pero igual vale todo lo dicho arriba).

Por lo tanto, como Em está disminuyendo siempre, eso quiere decir que Em es mayor en el primer tramo que en el segundo, entonces concluimos que la opción f) es VERDADERA.

Fin. :)
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Sugerencia: rehacer el problema, cambiando "5 m/s" por "30 m/s". ¿Qué cosas cambian?

14 comentarios:

  1. Profe, el lunes a q hora es la clase de consulta??? Puede ser a la tarde??

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  2. Hola,

    El Lunes la consulta para el 2do. Parcial es a las 10 hs en el Aula 30 del Módulo 2 (Avellaneda). Te recomiendo que chequees los anuncios que puse en la página principal del Blog.

    Me es imposible dar consultas por la tarde.

    Saludos,
    Miriam

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  3.  Profe,  no pude acceder al cuestionario de campus citep, para hacer la evaluacion.. es obligatorio??

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  4. Hola Profe, el módulo de la velocidad en el segundo y tercer tramo es negativo porque va en contra del sistema de referencia ? 

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  5. Hola Aldana,

    En este problema no hay tres etapas, sino sólo dos. Tal vez quisiste referirte a la velocidad en los PUNTOS 2 y 3. En ese caso es correcto lo que decís, es negativa porque el ascensor se mueve en sentido contrario al sentido del eje x que elegí.

    La velocidad siempre indica el sentido de movimiento. Es positiva cuando el móvil va hacia +x, y negativa si no.

    Saludos,
    Miriam

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  6. HOLA PROF MIRIAM PODRIA AYUDARME CON ESTE EJERCICIO:

    UN MONTACARGAS DE 1500Kg SE ENCUENTRA INICIALMENTE EN REPOSO EN PLANTA BAJA ,PARTE HACIA ARRIBA CON UNA ACELERACION DE 0,50m/s2 Y A LOS 12seg DEL ASCENSO SE CORTA EL CABLE DE ACERO QUE LO ELEVA,SE PIDE: 
    A_HALLAR EL TIEMPO QUE TARDA EN ALCANZAR EL PISO.

    Lo que hice fue separar en 2 etapas
    1_ utilizando la aceleracion el tiempo y tomando velocidad inicial:0m/seg 
    2_ supuse que aunq se corta la cuerda sigue subiendo un tramo mas con esta vez la aceleracion igual a la gravedad (-10m/seg2) pero la respuestas q dan en el ejercicio son comparadas cn las que yo obtengo son muy distintas podria orientarme.desde ya muchas gracias.
    RTA DEL PARCIAL:
    tiempo final:15,35 desde el comienzo/3,35 desde que se suelta.


     

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  7.  Hola Cristian,

    1) Si tomaste la primera etapa desde que arranca, HASTA que se corta el cable, está bien. Ahí, en ese instante (justo cuando se corta el cable, en t = 12 s), podés calcular la velocidad --> v(a los 12 segundos) --> debería darte 6 m/s ya que v = vo + a . (t - to), tomando to = 0, vo = 0, a = 0,5 m/s^2 y t = 12 s.

    2) Es correcto, que luego de cortarse el cable, sigue subiendo un poco, esto es debido a que tiene cierta velocidad inicial. En esta etapa, la aceleración es la de la gravedad (a = - 10 m/s^2), eso es correcto. Y, en esta etapa, tenés que usar como velocidad *inicial*, la velocidad *final* de la etapa anterior, o sea, la velocidad a los 12 segundos --> 6 m/s. ¿Tuviste en cuenta esto?

    Otra cosa que hay que tener en cuenta es que en la etapa 2) hay un Xo (posición inicial) que es la posición "final" de la etapa anterior, es decir, en la primera etapa podés averiguar cuánto subió, eso es un Xf de la 1ra. etapa, después este Xf va a ser el Xo para la SEGUNDA etapa.

    Si tuviste en cuenta lo que dije arriba, entonces para saber cuál es el error, tendría que saber cuáles son las expresiones que usaste, ¿podrías copiar las ecuaciones que usaste, "especializadas" con los datos? (no los resultados finales, eso no dice mucho, me refiero a las ecuaciones, con los datos reemplazados).

    Saludos,
    Miriam

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  8. Hola Profe!! en el item d) que es la Respuesta Correcta, vos escribiste...
    Apliquemos el teorema: LFNC = ΔEm a dos puntos arbitratarios pertenecientes al primer tramo. La fuerza no conservativa es la tensión del cable del ascensor. El trabajo que hace es negativo, ya que dicha fuerza apunta hacia arriba, y forma 180 con la dirección de desplazamiento del ascensor. Por lo tanto, ΔEm es negativo, eso significa que Em disminuye continuamente durante el primer tramo.

    Lo que no entiendo es cómo razonás que Em DISMINUYE CONTINUAMENTE durante el primer tramo...
    Lo del Trabajo de la Tensión, que es negativa, lo entiendo por que el cos de 180° es (-1) es una fuerza contraria al movimiento, ya que la Tensión tira hacia arriba y el movimiento va hacia abajo...
    Gracias!!

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  9. Hola Carlota,


    Acordáte el teorema que relaciona variación de energía mecánica con trabajo de fuerzas no conservativas, que es:


    Emf - Emi = LFNC


    En este caso, LFNC es el trabajo de la tensión, que es negativa. entonces si en la ecuación de arriba despejamos Emf, queda:


    Emf = Emi + LFNC


    Y como LFNC es un número negativo, eso quiere decir que Emf es más chica que Emi, entonces eso quiere decir que la energía mecánica DISMINUYO.



    Y lo de "Em disminuye continuamente" se refiere a lo siguiente:



    Supongamos que aplicás el razonamiento de arriba, entre dos posiciones del ascensor que estén muy cerquita entre sí. Por ejemplo: cuando la altura es 30 m ("inicial"), y cuando es 29,9 m ("final"). O sea, que calculás LFNC para un tramo que mide 0,1 m (por supuesto, da negativa). Entonces, te va a dar que:


    Em(a los 29,9 m) = Em(a los 30 m) + LFNC(en un tramo de 0,1 m)


    Fijáte que, entonces, a los 29,9 m vas a tener MENOS energía mecánica que a los 30 m... y eso ocurre punto por punto mientras el ascensor baja. Por eso mencioné que la energía mecánica "disminuye continuamente".


    Espero que se entienda, si no, volvé a preguntar.


    Saludos,
    Miriam



    PD: una aclaración a un error de tipeo: es la f) la correcta; la d) es falsa.

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  10. Con razón...!! no entendía por qué había puesto d) en lugar de f)...!! jajaja Gracias Profe!... entiendo perfecto...el tema que a la hora de aplicarlo, me olvido de todos estos razonamiento...!!! Será cuestión de practicar y practicar...

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  11. Hola Carlota,


    La opción d) es falsa, por lo explicado arriba... y también hay otra forma de ver que es falsa: fijáte que la tensión va para arriba, o sea, es contraria al Peso. Entonces, por la 2da. Ley, eso quiere decir que la fuerza resultante no va a ser tan grande como el peso... y por lo tanto, la aceleración, en valor absoluto, no puede ser tan grande como g.


    Para que la aceleración supere a g, se necesitaría que el Peso esté "ayudado" con alguna otra fuerza en el mismo sentido que el peso... eso daría una resultante más grande que el peso, y por lo tanto una aceleración de mayor nagnitud que la gravedad.


    Y para no olvidarte de los razonamientos, sí, es importante practicar mucho, y además tenés que leer bien la teoría, para tener siempre presentes los teoremas de energía.


    Saludos,
    Miriam

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  12. Gracias Profe! entendí muy bien! con respecto a la Teoría... cuál bibliografía es la mejor?? Tengo los Cuadernillos de Biofísica del CBC 2010....pero me cuesta mucho entenderlos...

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  13. Hola Carlota,

    No sé a qué cuadernillos te referís. Personalmente recomiendo los libros oficiales de la cátedra, son 4 libritos de tapas marrón claro y blanco, los 4 se titulan "Física e Introducción a la Biofísica", hay un librito para cada unidad:

    Unidad 1 - Mecánica
    Unidad 2 - Bases físicas de la circulación y de la respiración
    Unidad 3 - Bases físicas de los fenómenos bioeléctricos
    Unidad 4 - Termodinámica

    Son de "Ediciones Villoldo Yanele" y se consiguen en todas las sedes del CBC.

    Pero no son necesariamente del 2010... por ejemplo: el de la Unidad 3 salió en el 2012, el que tengo de Mecánica es de 2007 (pero no sé si hubo ediciones posteriores).

    En mi opinión se entienden muy bien; lo que yo recomiendo es que cada vez que encuentres ejemplos resueltos en el texto (en cada tema resuelve ejemplos), trates de resolverlos vos misma y después compares con la explicación.

    Lo bueno es que se ajustan totalmente al programa de Biofísica, además usan la notación que usamos habitualmente, las mismas convenciones de signos, etc.

    Aparte de ésos, tengo otros apuntes escaneados en la sección de Descargas, fijáte, por si te sirven.

    Saludos,
    Miriam

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  14. Si profe! son esos! yo los compré en Ciudad Universitaria... pero me cuesta entenderlos... Ahora me fijo en DESCARGAS... gracias!!

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