lunes, 11 de noviembre de 2013

Máquina térmica con datos: Tc, Tf y |L|, para la cual se analizan varias opciones

Problema: Si una máquina térmica opera cíclicamente entre dos temperaturas Tc = 900 K y Tf = 300 K, y entrega 1000 J de trabajo en cada ciclo, entonces:

a) El rendimiento de la máquina puede ser del 70%.
b) Si la máquina fuera reversible, en cada ciclo absorbería 2000 J de la fuente caliente.
c) La máquina absorbe 1000 J de la fuente caliente en cada ciclo.
d) Si la máquina absorbiera 1500 J de la fuente caliente, sería reversible.
e) La máquina no puede entregar más de 1000 J a la fuente fría en cada ciclo.
f) En cada ciclo la máquina absorbe menos de 1000 J de la fuente caliente.

Resolución: vamos a analizar cada afirmación para chequear si es verdadera o falsa.

a) El rendimiento de la máquina puede ser del 70%.

El rendimiento de cualquier máquina térmica, tiene que ser menor o igual que el rendimiento ideal. Entonces, para saber si un rendimiento de 70% es posible, calculemos el rendimiento ideal (que es el máximo) de una máquina térmica entre las temperaturas dadas:

ηREV = 1 - Tf/Tc = 1 - 300 K/900K = 1 - 1/3 = 2/3.

Es decir que el rendimiento máximo es del 66,66.. %. Por lo tanto, nunca puede ser del 70%; esto violaría el 2do. principio. Así que, la opción a) es FALSA.


b) Si la máquina fuera reversible, en cada ciclo absorbería 2000 J de la fuente caliente.

Supongamos entonces que la máquina fuera reversible. Si se diera esto, la variación de entropía del universo sería cero, o sea que:

ΔSuniv = - |Qc| / Tc + |Qf| / Tf = 0

O sea:  |Qc| / 900 K = |Qf| / 300 J          

→ |Qc| = 3. |Qf|           (1)

Por otra parte, la máquina tiene que cumplir también el primer principio, o sea:
|Qc| = |Qf| + |L| = |Qf| + 1000 J

Por lo tanto, |Qf| = |Qc| - 1000 J

Reemplazando esta última expresión en la relación (1), queda:

|Qc| = 3 . [ |Qc| - 1000 J]

Distribuyendo el 3, juntando las |Qc| y despejando:

|Qc| = 3 . |Qc| - 3000J
3000 J = 3 . |Qc| - |Qc|
3000 J = 2 . |Qc|

|Qc| = 1500 J

Es decir que si la máquina fuera reversible, daría |Qc| = 1500 J y NO 2000 J como dice esta opción. Por lo tanto, la opción b) es FALSA. Y de paso ya obtuvimos cuál es el verdadero |Qc| para una máquina reversible: 1500 J. Esto hace que la opción d) sea verdadera.

c) La máquina absorbe 1000 J de la fuente caliente en cada ciclo.

Esta opción es imposible ya que la máquina entrega 1000 J de trabajo. Si absorbiera 1000 J de la fuente caliente, estaría transformando, para un proceso cíclico, todo el calor en trabajo (ya que daría |Qf| = 0), y esta opción no es posible porque violaría el 2do. principio: entonces la opción c) es FALSA.

d) Si la máquina absorbiera 1500 J de la fuente caliente, sería reversible.

Esta opción es VERDADERA. Para una máquina reversible entre estas temperaturas, se obtiene |Qc| = 1500 J. El cálculo ya se hizo en el análisis de la opción b) (ver más arriba).

Notar que, justo cuando |Qc| = 1500 J, el rendimiento de la máquina da η = |L|/|Qc| = 1000J/1500J = 10/15 = 2/3, el cual lógicamente coincide con el rendimiento ideal.

e) La máquina no puede entregar más de 1000 J a la fuente fría en cada ciclo.

El segundo principio no restringe la cantidad de calor residual (|Qf|) que puede entregar la máquina. Pero para asegurarnos de que esta opción es realmente falsa, encontremos un ejemplo de máquina que entregue un Qf mayor que 1000 J, y veamos que esa máquina es posible.

Consideremos, por ejemplo, |Qf| = 4000 J. Como |L| = 1000 J (dato fijo del problema), entonces por el primer principio:

|Qc| = |L| + |Qf| = 1000J + 4000 J = 5000 J → esto asegura la validez del primer principio.

Ahora veamos si con estos valores de |Qc| y |Qf| vale el 2do. principio:

ΔSuniv = - |Qc| / Tc + |Qf| / Tf = - 5000J/900K + 4000 J/300K = -50/9 J/K + 40/3 J/K
ΔSuniv = -50/9 J/K + 120/9 J/K = 70/9 J/K

Y este valor es POSITIVO, así que esta máquina es posible (es obviamente irreversible). Es una máquina con un rendimiento de: η = |L|/|Qc| = 1000J/5000J = 1/5, que es bastante menor que el rendimiento ideal.

Entonces, como encontramos una máquina (una de ejemplo, puede haber muchas más si inventamos otros valores de |Qf|), que es posible, y que entrega un |Qf| mayor que 1000 J, la opción e) es FALSA.

f) En cada ciclo la máquina absorbe menos de 1000 J de la fuente caliente.

Esta opción es imposible porque se violaría el primer principio: como la máquina entrega 1000 J de trabajo, entonces no puede recibir un calor menor a 1000 J. Matemáticamente:

|Qc| = |Qf| + |L|
|Qc| = |Qf| +1000 J

Y como |Qf| es positivo, entonces |Qc| seguro va a ser mayor que 1000 J. Entonces, la opción f) es FALSA.

Fin. :D

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