Resolución del problema de los conductos entre depósitos

Hola, aquí publico la resolución del 5to. de los problemas propuestos de fluidos reales, y que no llegamos a comentar el Martes pasado. Copio otra vez el enunciado, agregándole el dato que faltaba en el enunciado original.

Tres conductos horizontales conectados en paralelo, de igual longitud y área, conducen un fluido viscoso entre dos depósitos que mantienen sus presiones constantes. En esas condiciones circula un caudal total de 36 l/min. Si se reemplazan los tres conductos por sólo dos, iguales entre sí, de igual longitud que los anteriores pero de sección doble, y también conectados en paralelo, el caudal circulante en esas condiciones será (en lt/min):

a) 36
b) 48
c) 9
d) 192
e) 64
f) 96

Tenemos aquí dos situaciones para comparar.

1) En la primera: hay tres caños en paralelo entre dos depósitos, los tres con la misma geometría. Llamemos L y S a la longitud y la sección de cada uno de estos 3 caños respectivamente.

La resistencia de uno solo de ellos es:

R = 8 pi eta L/S^2

A la resistencia del conjunto de LOS TRES en paralelo la llamaremos Req (resistencia equivalente), y debe ser:


Req = R/3 = 8 pi eta L/(3 S^2)


ya que los tres caños son iguales entre sí.

Escribamos cómo queda, en esta situación, la Ley de Poiseuille:

Delta P = Req . Q    (1)

Ahora pasamos a la segunda situación. Aquí tenemos DOS caños solos en paralelo, primero escribamos la resistencia de UNO solo de ellos dos, la llamaremos R' :


R' = 8 pi eta L'/S'^2

donde L' y S' son la longitud y la sección de este nuevo caño. Nos dicen que L' = L (misma longitud que los caños anteriores) y que S' = 2 S (la sección de cada uno es el doble que en el caso anterior). Por lo tanto:

R' = 8 pi eta L/(4 S^2 ) = 2 pi eta L/ S^2

Por lo tanto, la resistencia equivalente de los DOS caños (en paralelo) en esta nueva situación es de:

R'eq = R'/2 = pi eta L/S^2


Nos piden el nuevo caudal. La Ley de Poiseuille en esta nueva situación se escribe:

Delta P = R'eq . Q'    (2)

Como nos dicen que las presiones de los tanques no cambian, entonces en ambas situaciones tenemos la misma diferencia de presiones. Entonces, los miembros izquierdos de (1) y (2) son iguales, por lo tanto podemos igualar los miembros derechos:

Req . Q = R'eq . Q'

Y reemplazando las expresiones de Req y R'eq, nos queda:

8 pi eta L/(3 S^2) Q = pi eta L/S^2 Q'

Simplificando pi, eta, L, S^2, y despejando Q', nos queda:

Q' = 8 X Q / 3 = 8 X 36 /3  (l/min) = 8 X 12 l/min = 96 l/min. (Opción f))