viernes, 25 de febrero de 2011

Resolución del problema del circuito del final de Diciembre

Hola!

A pedido de varios, publico la resolución del problema de circuitos que se tomó en el final pasado (Diciembre de 2010). 

Problema
La figura representa un circuito eléctrico que es alimentado por una fuente de tensión V. El amperímetro (A) indica que por la resistencia R circula una intensidad de corriente I. (La fuente de tensión y el amperímetro son ideales).

Entonces, la potencia que entrega la fuente es:

|    | 0,5 R I^2
|    | 2,25 R I^2
|    | 3,25 R I^2
|X| 3,75 R I^2
|    | R I^2
|     | 1,5 R I^2
Nota: las opciones anteriores eran para los temas A y C, y se corresponden con los datos en AZUL de la figura. Este es el caso que vamos a resolver. (Los datos en ROJO correspondían a los temas B y D). 
Resolución:
Primero, vamos a numerar las resistencias y las corrientes para que en lo que sigue, se entienda a qué resistencia o corriente nos referimos en cada caso. Llamemos:
R1 = a la resistencia R que está a la izquierda de la pila en la figura.
R2 = a la resistencia que tiene el amperímetro a la derecha.; su valor es R
R3 = a la resistencia 2R
Llamemos:
I1 = corriente que pasa por R1
I2 = corriente que pasa por R2 --> donde está el amperímetro --> es la "I" del enunciado
I3 = corriente que pasa por R3
Nota:  Es  muy recomendable que marques R1, R2, R3, I1, I2, I3 en un dibujo del circuito, ayuda a no confundirse después al escribir las ecuaciones.

Primero examinemos el circuito: observemos que, si consideramos que el amperímetro es IDEAL (es decir, de resistencia despreciable. Sería como reemplazar el amperímetro por un CABLE ), entonces R2 y R3 están en paralelo ya que tienen la misma diferencia de potencial entre sus extremos. Además, el paralelo R2-R3 está en SERIE con R1.

Por otra parte, examinemos lo que pasa con las corrientes. La corriente I1 que sale de la pila y que pasa por R1  se bifurca en dos: la corriente que pasa por el amperímetro (I2 = I), y la corriente que pasa por R3.Por lo tanto tiene que ser:

I1 = I2 + I3  (ecuación 1)

Como nos preguntan sobre la potencia que entrega la fuente, tratemos de escribir una expresión para esta potencia. Recordemos que la potencia que entrega la fuente tiene que ser igual a la suma de las potencias disipadas en cada resistencia, por lo tanto:

Pfuente = Potencia disipada en R1 + Potencia disipada en R2 + Potencia disipada en R3

A cada una de estas tres potencias podemos escribirlas como Ij 2 Rj, tomando los valores de Ij y Rj que correspondan en cada caso. Es decir:

P1 = I12 R1 = I12 R
P2 = I22 R2 = I2 R (coloco I en vez de I2 ya que así la llama el enunciado)
P3 = I32 R3 = I32 2R
Entonces:

Pfuente =I12 R + I22 R + I32 2R

Podemos reemplazar que I1 = I + I3 (ecuación 1): 
Pfuente = (I+ I3)2 R + I2 R + I32 2R   (2)
Lo que necesitamos es expresar la potencia de la fuente en términos de I y de R, pero todavía queda I3 en la expresión. Pero como R2 y R3 están en paralelo (MISMA diferencia de potencial), I e I3 están relacionadas:
R I = 2 R I3  -> I3 = I/2

Reemplazando I3 = I/2 en la ecuación (2), queda:

Pfuente = (3 I /2)2 R + I2 R + (I /2)2 2R      (3)
y a partir de (3), con un poquito de álgebra se llega a:

Pfuente = (15/4) I2 R = 3.75 I2 R
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4 comentarios:

  1. En la ecuacion (3) Porque pones el 3/2 I al principio,de donde salio ese 3?

    Y en la segunda parte de la ecuacion 2 I no iria al cuadrado?(me refiero a la parte que haces ...R.I=2RItres
    gracias por responder siempre!

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  2. Hola!

    1) El primer término de la ecuación (3) es la potencia disipada en la resistencia 1, o sea, es I1^2 * R1.

    Lo que hice fue escribir I1 en términos de las otras dos corrientes. Tenemos que I1 = I + I3, e I3 = I/2 (esta última está explicada más abajo), entonces reemplazando ambas cosas, queda:

    I1 = I + I/2 = (1 + 1/2) I = 3/2 I

    (es decir, sacando I de factor común y sumando 1+ 1/2, da el 3/2)

    2) Sobre tu otra pregunta. La ecuación:

    R I = 2 R I3

    no es parte de la ecuación (2), sino que es otra ecuación. Es la ecuación que sale de plantear que la diferencia de potencial entre los extremos de las resistencias R2 y R3 es la misma. Veamos:

    - Si usamos la LEY DE OHM aplicada a la resistencia R2, queda:

    Delta V2 = I2 R2

    - Idem para R3:

    Delta V3 = I3 R3

    Pero como R2 y R3 están en paralelo, entonces Delta V2 = Delta V3, con lo cual:

    I2 R2 = I3 R3

    (Fijáte que acá nada está al cuadrado)

    Entonces reemplazando en la anterior: I2 = I, R2 = R, y R3 = 2R, queda:

    R I = 2 R I3

    Fijáte si ahora te queda más claro.

    Saludos,
    Miriam

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  3. hola!
    entendi todo menos el final..la parte de con un poquito de álgebra se llega...
    esta parte (3 I /2)2 R daria (15/4) I2 R.
    y el resto?

    gracias!
    flor

    ResponderEliminar
  4. Hola Flor,

    Lo que da (15/4) I^2 R es la suma de los tres términos del miembro derecho de la ecuación (3), no solamente la parte del (3 I /2)^2 R

    Veamos el álgebra que falta. Partimos de la ecuación (3):

    Pfuente = (3 I /2)^2 R + I^2 R + (I /2)^2 2R

    (Nota: estoy usando el símbolo ^ para indicar potencias)

    Distribuyo los cuadrados en el primer y tercer término:

    Pfuente = 9/4 I^2 R + I^2 R + 1/4 I^2 . 2R

    Saco factor común I^2 R de los tres términos:

    Pfuente = (9/4 + 1 + 1/4 . 2 ) I^2 R

    Y ahora sumo las fracciones que están dentro del paréntesis, llegándose a:

    Pfuente = 15/4 I^2 R

    que es la ecuación final.

    Si te queda alguna duda avisáme.

    Saludos,
    Miriam

    ResponderEliminar

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