miércoles, 31 de agosto de 2011

Cinemática - Movimiento rectilíneo uniformemente variado

MRUV:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO: el móvil se mueve en línea recta y con aceleración constante. En este movimiento, la aceleración instantánea es siempre la misma, y por supuesto la aceleración media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:

Recordando que Δv = vf - v0 ("velocidad final menos velocidad inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando vf, nos queda:

vf = v0 + a (tf - t0)                 (1)

Cálculo de la posición final: puede demostrarse la siguiente expresión:


xf = x0 + v0 (tf - t0) + (1/2) a (tf - t0)2                   (2)

donde xf es la posición final y x0 es la posición inicial.

Ecuación complementaria
Despejando (tf - to) de la ecuación (2), reemplazando en (1), y operando algebraicamente, se llega a una ecuación llamada "complementaria" que relaciona posiciones con velocidades:

vf2 - v02 = 2 a (xf - xo)
 
Esta ecuación es útil para problemas de MRUV donde no nos dan como dato, ni nos piden, los tiempos..


Ecuaciones horarias:
En problemas donde se conocen la aceleración, la velocidad inicial, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, y la velocidad en función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Estas expresiones se llaman "ecuaciones horarias" y nos permiten hacer tablas de valores para calcular la posición y la velocidad en todos los instantes que queramos. En este caso, las ecuaciones horarias quedan:


v(t) = v0 + a (t - t0)                                            (3)

donde v(t) se lee: "velocidad del móvil en el instante t", y


x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2) a (t - t0)2                  (4)


donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

Remarcamos que tanto estas ecuaciones horarias, como las tres expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRUV.


Gráficos x - t, v - t y a - t para un MRUV

 Para un problema particular, v0, t0, y a son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (3) es la ecuación de una RECTA (velocidad en función del tiempo), y que (4) es la ecuación de una parábola (posición en función del tiempo).

Nota: muchas veces se toman to, xo, vo, como el instante, la posición y la velocidad iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en la posición x0, con velocidad vo para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, los gráficos de v vs t y x  vs t para un MRUV tienen la forma indicada a continuación:


En cada caso respectivo, la aceleración es constante en el tiempo:

Notar que:
- la pendiente en los gráficos de velocidad vs t está asociada a la aceleración.

- Cuando la aceleración es positiva, la parábola de los gráficos x vs t es cóncava. Si la aceleración es negativa, la parábola es convexa.

- El valor t = to - Vo/a es el instante para la cual la velocidad es CERO, y la posición es mínima (si a > 0) o máxima (si a < 0). Es cuando el móvil "pega la vuelta". Gráficamente, dicho valor es la abscisa del "vértice" de la parábola en los gráficos de x vs t.

Importante
Hay un error común que consiste en decir: "si la aceleración es negativa, está frenando". Esto no es siempre cierto, ya que en los gráficos de arriba puede notarse lo siguiente:

Si a > 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Si a > 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está frenando.
Si a < 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está frenando.

Si a < 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Conclusión: el móvil "está frenando" cuando el sentido de la aceleración es opuesto al de la velocidad.

 Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Consideremos los gráficos de VELOCIDAD vs tiempo. En estos gráficos, el AREA "con signo" entre el gráfico y el eje t representa el desplazamiento (como vimos en entradas anteriores del Blog, eso vale en general y no sólo para MRUV). Esto se ilustra en el siguiente gráfico:


Caso particular: tiro vertical y caída libre

Si se arroja o si se deja caer un cuerpo, y se desprecia el rozamiento con el aire, entonces el cuerpo se moverá  con MRUV, exclusivamente bajo la aceleración de la gravedad, que es de g = 9,8 m/s^2 (en los problemas suele aproximarse g = 10 m0s^2).  Los problemas de tiro vertical se resuelven exactamente igual que cualquier otro problema de MRUV, tomando como dato conocido el valor de la aceleración de la gravedad.


La aceleración de la gravedad "apunta" hacia el centro de la tierra.  Por lo tanto:

- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia arriba, entonces a = -10 m/s2 = - g
- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia abajo, entonces a = +10 m/s2 = g

En este blog, salvo indicación en contrario, usaremos, en los casos de tiro vertical, un sistema de referencia con el eje x apuntando hacia arriba. En este caso, las ecuaciones (3) y (4) quedan:


v(t) = v0  - g (t - t0)

x(t) = x0 + v0 (t - t0) - (1/2) g (t - t0)2   

siendo g = 10 m/s2 (NO le agregues otro signo negativo aparte del que ya está en las ecuaciones!!)


Si se arroja un cuerpo hacia arriba, entonces el mismo alcanzará su altura máxima cuando su velocidad sea cero. Entonces, el instante para el cual la altura es máxima es:

t (altura máxima) = to + Vo/g = to + Vo / 10m/s2

Reemplazando este valor de t, puede hallarse la posición para la cual la velocidad es cero:
xf = xo + vo2/(2 g)

Si se toma vo como la velocidad con que se arrojó el cuerpo (ojo!), entonces la altura máxima, medida desde el punto en que se lo arrojó, es:   hmax = vo2/(2g)


Caída libre: un caso particular de lo anterior, es el de un cuerpo que se "deja caer". Por lo tanto, valen las ecuaciones dadas arriba, con Vo = 0.

En esta entrada de Blog hay un ejemplo resuelto de tiro vertical, con dos sistemas de referencia diferente, para poder comparar qué datos cambian al cambiar de sstema:

Tiro vertical con dos sistemas de referencia (clickear aquí)

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