jueves, 11 de septiembre de 2014

Fluidos reales: introducción y ejemplo

Fluidos reales
Un fluido real presenta rozamiento con las paredes de la cañería, y entre las distintas "capitas" de fluido. A este "rozamiento" lo llamamos viscosidad.

Consideremos un caño horizontal por donde circula un fluido real; si pudiéramos medir la velocidad de las distintas partículas dentro del caño, veríamos algo así:

Las flechitas representan las velocidades de las partículas en el interior del caño... las partículas que van por el medio del caño son las más rápidas, y la velocidad es menor para las partículas que fluyen más cerca de las paredes. Esto contrasta con el "perfil de velocidades" para un caño horizontal por donde pasa un fluido ideal, en este caso las velocidades serían así:






Así que, en un fluido real, vemos que no hay una velocidad única. El caudal Q va a seguir expresándose como:

Q = V . S    

pero ahora V es la velocidad media en la sección S. En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad del fluido", nos estaremos refiriendo a dicha velocidad media.

Conservación del caudal
Vamos a trabajar con fluidos reales en estado estacionario, es decir que las variables (velocidad, presión, etc.) medidas en un punto dado, no dependen del tiempo (si podrían depender de la posición, pero si fijamos una posición, al transcurrir el tiempo los valores son los mismos).

En estado estacionario, sigue valiendo la conservación del caudal, así que, sigue valiendo:

Qentrante = Qsaliente

Ley de Poiseuille

Consideremos un fluido real, en estado estacionario, fluyendo por un único caño horizontal de sección constante circular, en régimen laminar (no turbulento). Bajo estas condiciones, se verifica que, a medida que el fluido avanza, la presión disminuye (NO la velocidad, ya que el estado es estacionario y por lo tanto se conserva el caudal).

Estudiamos un caño de radio r y longitud L, que avanza con velocidad v (ver figura). Llamaremos pe a la presión a la entrada del caño, y ps a la presión a la salida de dicho caño. Si el fluido es viscoso se observa que:



pe > ps

Se comprueba que la diferencia entre pe y ps es directamente proporcional al caudal Q, esto se expresa matemáticamente:

pe - ps =  R . Q

donde a R la llamamos resistencia hidrodinámica del caño. La resistencia hidrodinámica del caño depende solamente:

1) de la geometría del caño, es decir, de sus dimensiones (longitud y radio)
2) de cuán viscoso es el líquido

La resistencia hidrodinámica no cambia si no se cambian las dimensiones del caño ni el tipo de líquido que circula... es decir que si solamente aumentamos (o disminuimos) el caudal, R sigue tomando el mismo valor.

En el sistema MKS, las unidades de resistencia son: [R] = Pa . s/m^3

La resistencia hidrodinámica se puede expresar de la siguiente manera (Ley de Poiseuille):

donde L y r son la longitud y el radio del caño, respectivamente, y η es el coeficiente de viscosidad del fluido. Las unidades del coeficiente de viscosidad en el sistema MKS son: [η] = Pa . s.

Muchas veces la viscosidad se da en la unidad poise (P). Por definición: 1 P = 0,1 Pa . s. También se usa el centipoise (submúltiplo de la anterior): 1 cP = 0,01 P = 0,001 Pa . s

A temperatura ambiente, la viscosidad del agua es aproximadamente ηagua = 0,001 Pa . s = 1 cP

(En los problemas, si tenemos la viscosidad en Poise, conviene pasarla a Pa . s, para así trabajar en el sistema MKS).

Presión en función de la posición x
En un fluido viscoso, a medida que el flujo avanza, la presión va variando linealmente en forma gradual. Si graficamos la presión en función de una coordenada x que aumenta en el sentido del flujo (ver figura más arriba), obtendremos:



Otras expresiones equivalentes para la resistencia hidrodinámica
La expresión dada arriba está dada en función de L y el radio r... pero también puede expresarse en términos del diámetro D (D = 2 . r). Reemplazando r = D/2 en la ecuación de arriba, y operando, queda:

A veces es conveniente expresar R en función de la sección del caño S. La sección es circular, por lo tanto se calcula como:

donde r es el radio del caño. Si en la primera expresión de R multiplicamos numerador y denominador por π, en el denominador queda π^2 . r^4, esto es, el cuadrado de la sección. Entonces, la resistencia R puede expresarse:


Notar que en esta última expresión, la sección está elevada al cuadrado... en cambio, si se escribe R en función del radio, queda inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio.

Comparación con fluido ideal
Notar que, si tuviéramos, en un fluido ideal, un flujo estacionario, laminar e irrotacional, en un caño único, también horizontal, y de sección constante, valdría el Teorema de Bernoulli, y entonces tendríamos que:


Pero como el caño es horizontal, he = hs, y como la sección del caño es constante, valdría ve = vs... esto lleva a la siguiente conclusión (fluido ideal, caño horizontal, sección constante):



Es decir que no hay caída en la presión, a diferencia del caso de un fluido viscoso, donde sí la hay.


Aplicación: cómo cambia la resistencia al cambiar un caño por otro

Ejemplo (problema F 60 de los adicionales): "Un caño recto que conduce agua se cambia por otro también para agua, que tiene la mitad de largo y la mitad de área de sección transversal que el anterior. La resistencia hidrodinámica del nuevo caño, con respecto a la del primero: a) es el doble b) es la misma c) es la mitad d) es menos de la mitad e) es más del doble f) no puede decirse sin más datos".

Notemos que en este problema nos están mencionando dos situaciones separadas:
1) primero el fluido circula por un cierto caño
2) Y después se quita el caño anterior, y el mismo fluido circula por otro caño diferente
O sea, no se encuentran los dos caños colocados al mismo tiempo conectados entre sí - sino que son dos situaciones diferentes.

Entonces, lo que haremos es plantear ecuaciones para cada situación por separado. Como lo que tenemos que comparar son resistencias, expresamos R para cada caño, y por conveniencia elegiremos la expresión en función de la longitud y de la sección:

1)  Para el primer caño la longitud es L y la sección es S:

2) Para el segundo caño, la longitud es la mitad de la anterior (L/2) y la nueva sección también es la mitad de la anterior (S/2):

Ahora queremos comparar R2 con R1. Para esto, dividimos miembro a miembro la segunda ecuación por la primera. Luego se simplifican los factores 8, η, y , y, operando algebraicamente, se llega a:

Nota: hay que tener cuidado con los distintos "niveles" de las líneas de fracción. Para mayor claridad, se marcaron en distintos colores en la figura.

Concluimos entonces que R2 / R1 = 2, por lo tanto R2 = 2 . R1, así que la resistencia del nuevo caño es el doble de la del segundo. --> Respuesta correcta a)

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