jueves, 11 de septiembre de 2014

Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares


Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares

Consideremos un fluido en movimiento, bajo las siguientes condiciones: ideal (o sea, sin viscosidad), flujo estacionario (las variables en un punto dado no dependen del tiempo). incompresible (una dada masa no cambia su volumen... por ejemplo: un líquido), e "irrotacional" (si colocáramos una ruedita dentro del fluido, ésta no comenzaría a dar vueltas).

Supongamos que tomamos una partícula dentro del fluido y la "seguimos", filmando todo su recorrido... entonces "veremos" una línea (curva, en general)... a esta línea se le llama "línea de corriente". Dentro del fluido hay entonces infinidad de "líneas de corriente" que indican la trayectoria de las partículas.

Si consideramos dos puntos A y B que pertenecen a la misma línea de corriente, dentro del mismo fluido, se cumple:



donde:  δ es la densidad, pA y pB son las presiones, vA y vB son las velocidades, y hA y hB son las alturas de los puntos A y B respectivamente. Para las alturas: se puede tomar un "cero" por convención, y desde ese "cero" las alturas deben tomarse positivas hacia arriba (ver figura).

Ejemplos:
En los ejemplos de aplicación de movimiento de un fluido ideal, podrán usarse: el Teorema de Bernoulli, y la ec. de conservación del caudal (Qentrante = Qsaliente).


Ejemplo 1) Un único caño que cambia de altura y de sección
Consideremos el caso del ejercicio 18 de pág. 38 de la guía: "Por una tubería con un área de la sección transversal de 4,2 cm^2 circula el agua a una velocidad de 5,18 m/s. El agua desciende gradualmente 9,66 m mientras que el área del tubo aumenta a 7,6 cm^2. a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? b) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior."

Hagamos un esquema de la situación, ubicando los datos que tenemos. Notar que los 9,66 m mencionados son una diferencia de altura (se toma verticalmente) y no una distancia, ya que nos dicen que el agua desciende 9,66 m.

a) Como tenemos como dato la velocidad en una de las secciones y nos piden la velocidad en la otra, y como también conocemos las dos secciones, entonces podemos resolver este punto planteando la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente
vA . SA = vB . SB

5,18 m/s . 4,2 cm^2 = vB . 7,6 cm^2

Despejamos vB:     vB = 5,18 m/s . 4,2 cm^2 / 7,6 cm^2 -> vB = 2,86 m/s

b) Nos piden la presión en el nivel inferior, o sea en B. Entonces planteamos el teorema de Bernoulli entre los puntos A y B:

Reemplazamos los datos, usando que la densidad es la del agua (1000 kg/m^3). Por comodidad, tomamos como cero la altura en el punto más bajo de los dos (en este problema, el B), así que el otro punto (en este problema, el A) queda con una altura positiva de 9,66 m:

152000 Pa + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (5,18 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 9,66 m =
= pB + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (2,86 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0 m

Despejando pB, y haciendo los cálculos, se llega a:

pB = 257926,4 Pa

Ejemplo 2) Caso de un caño que se ramifica en varios caños iguales
"Un fluido no viscoso se mueve a 10 cm/seg por un tubo horizontal de 1 cm de radio, cuya presión interior es de 10 Pa. Luego el tubo se ramifica en varios tubos horizontales de 0,5 cm de radio cada uno. Sabiendo que la densidad del fluido es de 2 kg/lt y que la velocidad en cada tubo de la ramificación es de 8 cm/seg: a) Determinar en cuántos tubos se ramificó el tubo original. b) Calcular la presión en cada uno de los conductos luego de la ramificación."


 Asumiremos que todos los caños, que son horizontales, se encuentran al mismo nivel. El esquema de los caños es, "visto desde arriba":

  

a) Como tenemos el radio del tubo de entrada, y de cada uno de los de salida, y las velocidades en los caños, podemos relacionar estos datos para plantear la igualdad entre el caudal entrante y el saliente:

Qentrante = Qsaliente

El caudal entrante es el caudal que pasa por el caño donde está el punto A:

Qentrante = vA . SA

El caudal saliente es la suma de todos los caudales en las ramificaciones 1, 2.... hasta X. Como todos los caños de la ramificación son iguales, y la velocidad en todos ellos es la misma (dato), entonces el caudal por cada caño de la ramificación será el mismo... por lo cual el caudal saliente total, va a ser el caudal que pasa por UNO de los caños de la ramificación, multiplicado por la cantidad de caños (que llamaremos X). Entonces:

Qsaliente = X . vB . SB

Igualando el caudal entrante con el saliente, queda:

vA . SA = X . vB . SB
10 cm/s . π . (1 cm)^2 = X . 8 cm/s . π . (0,5 cm)^2

Simplificando y despejando X, queda:
X = 5 . Así que, el tubo original se ramificó en 5 tubos. (Respuesta a))

b) Se pide la presión en uno de los tubos de la ramificación. Para eso, planteamos el teorema de Bernoullli entre A y B:

Como todo el sistema se encuentra a un mismo nivel, entonces HA = HB = 0. Las velocidades vA y vB se conocen, la densidad también, y pA también, siendo pB la incógnita. Reemplazamos todo:

10 Pa + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,1 m/s)^2 = pB + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,08 m/s/s)^2

10 Pa + 10 Pa = pB + 6,4 Pa
pB = 13,6 Pa   Respuesta b)

Notar que, si planteáramos Bernoulli entre el caño principal y otro de los tubos de la ramificación, obtendríamos la misma presión (13,6 Pa), ya que en todos los tubos de la ramificación la velocidad es la misma, y entonces la ecuación de Bernoulli quedaría con los mismos números.

Ejemplo 3) Caso de un caño que se ramifica en dos caños de sección diferente

"Dos caños de igual longitud, apoyados en una misma superficie horizontal, están conectados como indica la figura. La sección del tubo [1] es de 6 mm^2, el del [2] es 2 mm^2 y el del tubo [3] es 3 mm^2. Por el conjunto circula un líquido no viscoso y la presión en A es la misma que en B. Si por el tubo [2] circula un caudal de 10 ml/seg, ¿cuánto vale el caudal por [1]? a) 20 ml/s   b) 15 ml/s   c) 10 ml/s   d) 17 ml/s   e) 30 ml/s   f) 25 ml/s"

Podemos plantear la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente

Es decir:
Q1 = Q2 +Q3
Q1 = 10 ml/seg + Q3

No conocemos ni Q1, ni Q3, ni las velocidades en 1 ni en 3... así que por el momento dejamos a esa ecuación así.

Por otra parte, en A podemos conocer la velocidad, ya que tenemos el caudal en [2] y su sección:
Q2 = vA . S2 --> vA = Q2/S2 --> vA = 10 ml/seg / 2 mm^2 = 5 . 10^(-6) m^3/ [10^(-6) m^2 . seg ]

 --> vA = 5 m/seg
Pero todavía no conocemos la velocidad en B.

Como además tenemos un dato sobre las presiones (pA = pB para los puntos indicados en la figura), vamos a plantear el Teorema de Bernoulli para poder usar ese dato.

El Teorema de Bernoulli debe plantearse para dos puntos sobre una misma línea de corriente. Es obvio que las partículas que pasan por A no pasan por B, por lo tanto AB no es una línea de corriente.  Pero sí podemos tomar un punto C en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por A, y otro punto D en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por B (ver figura).

Entonces, planteamos Bernoulli entre C y A, teniendo en cuenta que HC = HA = 0 ya que todo el sistema se encuentra sobre una misma superficie horizontal:





Análogamente, planteamos Bernoulli entre D y B, usando que HD = HB = 0:





Pero los puntos C y D están en el mismo caño, con la misma sección, así que sus velocidades son iguales, y también lo son sus presiones: vC = VD y pC = pD. Por lo tanto, los miembros izquierdos de las últimas dos ecuaciones son iguales entre sí y, por propiedad transitiva, también tienen que ser iguales entre sí los miembros derechos. Así que llegamos a la conclusión de que:





Y como el enunciado dice que pA = pB --> simplificamos las presiones y queda que:





--> y simplificando, concluimos que las velocidades son iguales:  vA = vB

  
El valor de vA fue calculado antes, y es vA = 5 m/s, entonces tenemos que vB = 5 m/s. Y ahora que conocemos vB, usando la sección 3 podemos calcular Q3:

Q3 = vB . S3 = 5 m/s . 3 mm^2 = 15 . 10^(-6) m^3/seg = 15 ml/seg.

Ahora volvemos a la ecuación de conservación del caudal que teníamos al principio... ya podemos reemplazar Q3:

Q1 = Q2 + Q3 = 10 ml/seg + 15 ml/seg 
Q1 = 25 ml/seg . 

Respuesta: f) 25 ml/seg

Antes del próximo ejemplo, veamos un par de aproximaciones que muchas veces se usan al aplicar Bernoulli:



A) Cuando un chorro de agua sale al aire (ejemplo: a la salida de una manguera, o en un orificio practicado en la pared de un tanque para desagotarlo): si el chorrito del agua es bien delgado, podremos suponer que en el interior del chorrito, justo a la salida de la manguera / canilla / tanque / etc., la presión es aproximadamente la misma del aire que lo rodea.




B) Cuando la velocidad de uno de los puntos (A o B) es mucho más chica que la velocidad en el otro punto ... entonces la velocidad más chica puede despreciarse frente a la más grande. Esto pasa cuando se tiene, por ejemplo, un tanque que desagota (ver figura)... sobre la superficie del tanque se ubica el punto A; esa superficie es mucho más grande que la sección del chorrito de salida, por lo tanto, la velocidad con que desciende el fluido (vA) va a ser mucho más chica que la velocidad del chorro de salida (vB). Entonces, en estos casos, en el Teorema de Bernouilli se desprecia el término (1/2) . δ . vA^2.



Ahora continuemos con otro ejemplo:
Ejemplo 4) Caso de un tanque cerrado que desagota...
Consideremos el caso de este ejercicio de final: "Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad 0,8 g/cm^3. Descarga mediante una manguera cuyo extremo se encuentra a 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque. Para que el líquido se descargue a una velocidad de 10 m/s, la presión manométrica del aire en el interior del tanque deberá ser (en kPa):
a) 32   b) 48  c)  148   d)  132  e) 100  f) 12 "

¡Primero tenemos que pensar cómo interpretar esto para hacer el dibujo!... nos dicen que un extremo de la manguera está 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque (o sea, 1 m más arriba del nivel del tanque). Ese extremo de la manguera, debería ser el extremo por donde sale el líquido.... ya que el otro extremo (del que no dicen nada) debería estar dentro del líquido (claro, si no, ¿cómo va a desagotarse el tanque?)

¿Cómo puede ser que el líquido salga más arriba del tanque? Bueno, en un tanque abierto esto no podría pasar... pero nos dicen que el tanque está cerrado... así que, si el aire encerrado sobre la superficie del tanque está a alta presión, el líquido sí va a poder salir.

Así que, el dibujo debería ser algo así:

La incógnita es la presión del aire encerrado, que es la misma presión en el punto A (pA), que está ubicado justo sobre la superficie líquido-aire encerrado. El punto B está ubicado a la salida de la manguera. Planteamos Bernoulli entre A y B:

Tenemos que  la densidad del líquido, pasada al sistema MKS, es δ = 800 kg/m^3.

En el punto A:
- Despreciamos el término de velocidad en A ya que consideramos que la superficie del tanque es mucho más grande que la sección de la manguera.
- Como A es el punto más bajo, ahí tomamos HA = 0
- La presión en A es incógnita. Trabajamos con presiones absolutas, por ahora.

En el punto B:
- La velocidad es dato, vB = 10 m/s.
- Como la altura de B se toma con referencia al cero que está a nivel de A, entonces HB = 1 m
- La presión en B absoluta es patm = 101325 Pa ya que el chorro de salida sale a la atmósfera.

Reemplazando todo lo anterior, queda:

pA + 0 + 0 = patm + (1/2) . 800 kg/m^3 . (10 m/s)^2 + 800 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 1 m
pA = patm + 40000 Pa + 8000 Pa
pA = patm + 48000 Pa

Podríamos reemplazar la presión atmosférica y calcular la presión absoluta en A... pero como se pide la presión manométrica en A: pmanom A = pA - patm , entonces directamente pasamos restando la presión atmosférica, y automáticamente se forma la presión manométrica en el miembro izquierdo:

pmanom A = pA - patm = 4800 Pa
pmanomA = 48 kPa . Así que la respuesta correcta es b) 48 kPa

Antes de ver el próximo ejemplo, veremos un caso particular del teorema de Bernoulli, el...


Teorema de Torricelli. Este teorema puede aplicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones:
1) Las presiones de "entrada" y de "salida" (o sea, en A y en B) son iguales: pA = pB; el punto de salida (B) se encuentra por debajo de la entrada (A).
2) La sección "de entrada" (en A) es mucho mayor que la sección en B. Por lo tanto, la velocidad vA es despreciable frente a vB.
3) Y todas las otras hipótesis que se piden para que valga el Teorema de Bernoulli (todas se mencionaron al comienzo del artículo).
Bajo estas condiciones, vale, aproximadamente, que:
donde H es la diferencia de altura entre la superficie de entrada (punto A) y la sección de salida (punto B).







Ahora pasemos al...
Ejemplo 5)  Caso de un recipiente abierto que se desagota a través de una manguera:  

 "En un recipiente que contiene agua en reposo en contacto con la atmósfera, se coloca una manguera llena de agua tapada en sus dos extremos, como indica la figura. El área de la sección transversal de la manguera es uniforme y mucho menor que el área de la superficie libre del agua en el recipiente. Calcular, para un instante inmediatamente después de que se destapan los extremos de la manguera: a) la velocidad inicial del agua en B, b) la diferencia de presión entre A y C."

a) La "velocidad inicial" se refiere a la velocidad del agua, justito apenas se destapan los extremos de la manguera... sin dejar pasar más tiempo. Si se deja pasar más tiempo... el nivel de agua en el tanque va a ir descendiendo, y entonces los 80 cm marcados en la figura (ver), ya no van a ser 80 cm, sino menos... pero si calculamos la velocidad en la manguera apenas comienza a salir, entonces la profundidad del agua todavía no varió apreciablemente, y podremos usar todos los datos de la figura.

La velocidad que se pide, es en el punto B (arriba). Pero como la manguera es de sección constante, entonces, en un instante dado, la velocidad es la misma para todo punto de la manguera, es decir:

vA . SA = vB . SB = vC . SC
Como SA = SB = SC ->  vA = vB = vC

Entonces, calculemos la velocidad de la manguera en el punto que más fácil resulte.. o sea, donde más datos tengamos.... en A y en B no conocemos la presión, en cambio en C sí la conocemos: es la presión atmosférica, al igual que en la superficie libre del tanque. Observemos también que la velocidad en C se podría calcular mediante el teorema de Torricelli ya que se dan las condiciones para usar este teorema:

- la sección del tanque (en el punto D) es mucho mayor que la sección de la salida C, por lo tanto la velocidad en D es despreciable frente a la velocidad en C
- la presión en la superficie libre del tanque (en D) es la misma que en la salida C (presión atmosférica en ambas): pD = pC.
(Ver en la figura la línea de corriente entre D y C que se tomó)

Por lo tanto, se cumple:

donde vsalida = vC, y H = 80 cm, ya que es la diferencia de altura entre la superficie del tanque (D) y el extremo de salida de la manguera (C) . Entonces:


Y como en B la velocidad es la misma, entonces la respuesta a lo pedido es: vB = 4 m/s a)

 b) Se pide la diferencia de presión entre los puntos indicados en la figura como A y C. En C conocemos la presión (la atmosférica), no así en A. Entonces, plantearemos el teorema de Bernoulli entre A y C:

Como ya se mencionó, en el punto A, la velocidad es la misma que en C, ya que la manguera es toda de la misma sección, así que vA = vC, con lo cual los términos de velocidades en la expresión de arriba se simplifican. Como el punto C es el más bajo, tomamos HC = 0, con lo cual HA = 20 cm. Reemplazando todo esto, y usando que pC = patm, y la densidad del agua, queda:

pA + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m = patm
pA + 2000 Pa = patm
->  pA - patm = -2000 Pa

Es decir, que la diferencia de presión entre A y C (esta última es pC = patm) es de (-2000 Pa)... es una valor negativo, es decir que la presión en A es menor que la atmosférica.

Notar que en este problema, sería totalmente incorrecto calcular la presión en A relacionando el punto A y el punto D con el teorema de la hidrostática, ya que ahora el fluido está en movimiento, y por lo tanto no se puede aplicar dicho teorema. Además, notar que la presión en A, en este problema es menor que la atmosférica... si el fluido estuviera quieto, la presión en A sería mayor que la atmosférica.

Otra forma de calcular pA - patm: también se puede calcular la presión en A, relacionándola con el punto D, a través del teorema de Bernoulli aplicado entre D y A:
donde pD = patm, vD es despreciable frente a vA, HD= 80 cm y HA = 20 cm (ver figura), y vA = 4 m/s (se calculó en a)). Entonces, reemplazando todo:

patm + 0 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,8 m = pA + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (4 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m

patm + 8000 Pa = pA + 8000 Pa + 2000 Pa
Y despejando se llega a que pA = patm -2000 Pa, o sea: pA - patm = -2000 Pa, igual que de la otra forma.

Otros ejemplos de aplicación del Teorema de Bernoulli (resueltos): 

- Fluido circulando en una cañería horizontal que tiene un cambio de sección
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2011/05/problema-de-un-fluido-circulando-en-una.html

- Sifón con el cual se llena un vaso; es el problema nro. 2 resuelto en este enlace (es el que se vio en clase el Martes 9/9/14 a las 14 hs):
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2011/09/resolucion-del-parcialito-de-fluidos.html

- Terraza inundada que tiene un desagüe
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2013/09/terraza-inundada-con-desague.html

- Tanque con dos líquidos inmiscibles, con dos orificios:
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2010/09/resolucion-del-problema-del-tanque-con.html

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