Uno de esos típicos problemas de conducción en barras conectadas (con variantes)

Dos varillas, (1) y (2), de igual sección, conductividades K1 y K2, y longitudes 0,7 m y 0,3 m respectivamente, están soldadas  entre sí en un extremo. El otro extremo de la varilla (1) está unido a un recipiente que contiene agua en ebullición, a 1 atm. En cambio, el otro extremo de la varilla (2), está unido a otro recipiente que contiene hielo en fusión, también a 1 atm. Se desprecia el intercambio de calor entre los recipientes y el ambiente, y entre la barra y el ambiente, y se considera que el flujo de calor es estacionario.


Parte I) Si las varillas fueran de: (1) cobre: K1= 400 W/(m K), y (2) , acero: K2 = 50 W/(m K)
a) hallar la temperatura en la unión de las varillas. Graficar la temperatura en función de la posición a lo largo de la barra. ¿Cómo hallaría la temperatura en otros puntos de la barra (que no sea el de unión o los extremos). Explicar.


Parte II) Sabiendo que  en una hora se funden 500 g de hielo:
b) Calcular cuánto vapor se condensó en ese tiempo,  y hallar la variación de entropía de cada elemento y del universo, en ese lapso.


c) Calcular el valor de la sección de las barras.



Parte III) Suponga ahora que se cambian las dos varillas por otras dos, con las mismas longitudes (0,7 m y 0,3m) y sección que las anteriores, pero de materiales desconocidos. Con la nueva configuración, la nueva temperatura de la unión es de 90°C.
d) ¿qué podría decir de las conductividades de las varillas? ¿Puede hallarlas?



Resolución
Primero hagamos un esquema de la barra (ver figura adjunta). En nuestro esquema, ubicamos la varilla (1) a la izquierda y la (2) a la derecha. El recipiente donde hay agua en ebullción, a presión atmosférica, tiene que estar a 100°C; en cambio, el recipiente con hielo fundiéndose, también a presión atmosférica, tiene que estar a 0°C. Así que, el extremo izquierdo de la varilla (1) está a 100°C, y el derecho de la varilla (2), a 0°C.

 Parte I
a) Llamaremos Tu a la temperatura del punto de unión entre las barras. Tomamos un eje x en la dirección de las barras, eligiendo arbitrariamente como x = 0 al punto de temperatura T1 = 100°C.

Para hallar la temperatura en la unión, planteamos la Ley de Fourier en cada barra, usando que ambas tienen igual sección:

Barra (1): P1 = K1 . A/L1 . (T1 - Tu)         (1)

Barra (2): P2 = K2 . A/L2 . (Tu - T2)         (2)

Dado que toda la potencia calórica que atraviesa la primera barra, atraviesa también la segunda ("barras en serie"), entonces:

P1 = P2          (3)

y por lo tanto, reemplazando  (1) y (2) en (3), nos queda:

 K1 . A/L1 . (T1 - Tu))  = K2 . A/L2 . (Tu - T2)

Simplificando A, y reemplazando L1, L2 y las conductividades, y simplificando unidades, tenemos que:

(400 /0,7) (100°C - Tu ) = (50/0,3) . (Tu - 0°C)

Distribuyendo y agrupando, despejamos Tu de la ecuación anterior:

Tu = 77,42°C

Gráfico:
Para graficar la temperatura en función de x, primero ubiquemos los puntos que limitan cada varilla:

x = 0 m,   T1 = 100 °C

x = 0,7m, Tu = 77,42

x = 1m,    T2 = 0 °C. 

Como la conductividad es constante en cada varilla, la dependencia de la temperatura con x es lineal, por lo tanto quedan dos segmentos de recta en el gráfico, uno para cada valor de conductividad:

Veamos cómo hallar la temperatura en otros puntos. Gráficamente, se puede marcar el valor de x sobre el eje horizontal, y ver a qué temperatura corresponde. Analíticamente, podemos hallar la ecuación de cada recta, hallando su pendiente y su ordenada al origen; una vez que tengamos la ecuación de cada recta, después podremos reemplazar los valores de x que queramos para hallar su temperatura.

Para la varilla (1):

Si escribimos T(x) = m1. x + b1, la pendiente m1 es (del gráfico):
m1 = - (100°C - 77,42 °C)/ 0,7 m = - 32,258 °C/m,
y la ordenada el origen es b1 = 100 °C. Por lo tanto:

T(x) = -32,258(°C/m) . x + 100°C               válido si   0m < x < 0,7 m

Para la varilla (2):
Si escribimos T(x) = m2. x + b2, la pendiente m2 es (del gráfico): 

m2 = - 77,42°C/0,3 m = -  258,0645°C/m, 

Y además sabemos que para x = 1 m, vale T(x) = 0°C, de ahí se `puede despejar b2 = 258,0645°C. 

Por lo tanto:

T(x) = - 258,0645°C/m . x + 258,0645°C               válido si   0,7m < x < 1 m


Parte II
Nos dicen que en 1 hora se funden 500 g de hielo. Calculemos la masa de vapor condensado.
b) El hielo se funde debido al calor que llega a la barra (2), esto significa que, en una hora, llega Q2 = m . Lf al recipiente de la derecha:

|Q2| = mhielo . Lf = 500 g . 80 cal/g = 40000 cal

Pero todo este calor, proviene del primer recipiente.  Expresemos Q1 en valor absoluto:

|Q1| = mvapor . Lv = mvapor . 540 cal/g

Como P1 = P2, tenemos que |Q1|/Δt = |Q2|/Δt, dado que el período de tiempo es el mismo, entonces debe verificarse que:

|Q1| = |Q2|.

mvapor . 540 cal/g = 40000 cal

mvapor= 74,074 g

Esta es la masa de vapor que se condensa en una hora.


Hallemos ahora las variaciones de entropía. En este problema, nos dicen que podemos despreciar el calor intercambiado con el ambiente, por lo tanto, el ambiente no cambiará su entropía ya que no se "entera" de lo que sucede en la barra y los recipientes. Así que no lo consideramos. Nuestro "universo", entonces, estará formado por 3 elementos:

- el recipiente izquierdo

- el recipiente derecho

- la barra

Por lo tanto:

ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2) + ΔSbarra

Pero en este problema, el flujo es estacionario (para la barra: el calor que le entra por un lado sale por el otro), eso significa que el estado de la barra no cambia con el tiempo, y como la entropía es una función de estado, entonces NO puede variar para la barra. Por lo tanto:

ΔSbarra = 0  --> ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2)

Pasemos a las variaciones de entropía en cada recipiente.
En el recipiente izquierdo (1), la temperatura es constante, T1 = 373 K, el recipiente cede un calor |Q1| a la barra, por lo tanto

ΔSrecip(1) = - |Q1| /T1

En el recipiente derecho (2), la temperatura es constante, T2 = 273 K, el recipiente recibe un calor |Q2| de la barra, por lo tanto:

ΔSrecip(2) = + |Q2| /T2

Recordemos que ya habíamos calculado |Q1| = |Q2| = 40000 cal, por lo tanto:

ΔSrecip(1) = - 40000 cal/373 K = - 107,24 cal/K

ΔSrecip(2) = + 40000 cal/273 K =  + 146,52 cal/K

Notar que el aumento de entropía del recipiente (2) es mayor que la disminución de entropía en el recipiente (1). Por eso, al sumar ambas variaciones, se obtiene la variación de entropía del universo al cabo de una hora, que es:


ΔSuniv = ΔSrecip(1) + ΔSrecip(2) = 39,28 cal/K

y este valor es positivo, como debe ser de acuerdo al 2do. principio de la termodinámica. El proceso, desde luego, es irreversible.

c) Calculemos la sección de las barras, A.
Para eso  usamos la ley de Fourier, Potencia = k . (A/L) . ΔT. Podemos aplicarla  a la primera barra.

Como ahora tenemos el dato de que en 1 hora se funden 500 g de hielo, esto significa que en 1 hora circularon 40000 calorías por la barra (como calculamos en c). Es decir:

P1 = P2 = 40000 cal / 3600 s = 167360 J / 3600 s = 46,488 Watt

Podemos usar la expresión para P1 o para P2 (de ambas formas debería dar igual). Usemos P1:

P1 = K1 . (A /L1) . (T1 - Tu)

Reemplazando P1 = 46,488 Watt, K1 = 400 W/(m K), L1 = 0,7 m, T1= 100°C, Tu = 77,42°C, despejamos A:

A = 0,0036 m^2 = 36 cm^2

Parte III
Ahora supongamos que cambiamos las varillas por otras, de las mismas longitudes que antes. Ya NO tenemos los valores de conductividad del ítem anterior, sino que son desconocidos. En esta nueva situación, nos dicen que la temperatura de unión es Tu = 90°C.

d) En esta nueva configuración, también siguen valiendo las ecauciones (1) y (2), y también sigue valiendo que ambas potencias son iguales, por lo tanto:

K1 . (A/L1 ). (T1 - Tu)  = K2 . (A/L2) . (Tu - T2)

Simplificando las secciones, reemplazando las temperarturas T1 = 100°C, T2 = 0°C y Tu = 90°C, reemplazando las longitudes L1 = 0,7 m y L2 = 0,3 m, y simplificando unidades, llegamos a:

K1 . 10 / 0,7 = K2 . 90 /0,3

por lo tanto, podemos despejar el cociente de conductividades:

K1/K2 = 21

o bien (es equivalente):

K2/K1 = 1/21

No tenemos datos suficientes para calcular las conductividades, pero sí podemos saber la proporción entre ellas.

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