Problema de un fluido circulando en una cañería de distintas secciones

Un fluido incompresible y sin viscosidad escurre a régimen permanente, en una cañería dispuesta horizontalmente que consta de tres tramos, cuyas secciones son 400 cm^2, 100 cm^2 y 400 cm^2, respectivamente. La densidad del fluido es de 1200 kg/m^3 y el caudal es de 200 lt/s.

Visto en perspectiva:

Se pide hallar:
a) La diferencia de presión entre el tramo 1 y el tramo 2.
b) Δh entre las ramas del manómetro de mercurio (δHg = 13600 kg/m^3)

Resolución:

Nota: ¡Primero tratá de hacerlo vos sin leer esto!


Tenemos que calcular una diferencia de presiones entre los tramos 1 y 2. Nota: Se está asumiendo que hay una única presión en cada tramo, es decir, estamos despreciando la variación de la presión con la altura que puede haber dentro de una misma sección.

Tomamos un punto A en el tramo 1, y un punto B en el tramo 2, ambos sobre una misma línea de corriente. Entre A y B podemos plantear el Teorema de Bernouilli ya que el fluido se considera ideal. Podemos tomar el origen del eje vertical sobre la línea AB, con lo cual H_A = H_B = 0.

Entonces queda:

p_A + (1/2) δ_L V_A²   = p_B + (1/2) δ_L V_B²

donde VA y VB son las velocidades en los tramos 1 y 2 respectivamente, y δ_L es la densidad del líquido que circula (NO confundir con la del mercurio que sólo está en el manómetro).

Como nos piden p_A - p_B entonces despejamos:

p_A - p_B =  (1/2) δ_L V_B² - (1/2) δ_L V_A²       (1)

En el miembro derecho de la ecuación anterior, conocemos la densidad del líquido, aunque todavía no tenemos las velocidades. Pero hay otro teorema que sabemos, es el de la conservación del caudal:

Q = V_A A_A = V_B A_B

Como nos dan el caudal Q=1200 kg/m^3 y las dos secciones A_A=400 cm^2 y A_B= 100 cm^2, entonces podemos despejar las velocidades:

Q = V_A A_A ---> V_A = Q/A_A
Q = V_B A_B ---> V_B = Q/A_B

Reemplazando estas expresiones para las velocidades en (1), nos queda:

p_A - p_B =  (1/2) δ_L Q²/A_B² - (1/2)δ_L Q² /A_A²  

---->   p_A - p_B = (1/2) δ_L Q² (1/A_B² - 1/A_A²)

Y sólo faltaría reemplazar los valores a la derecha: Q=200 litros/s, δ_L= 1200 kg/m^3, A_A=400 cm^2 y A_B= 100 cm^2, y hacer la cuenta. Así termina el punto a).

b) Observar que el manómetro está marcando la diferencia entre las presiones de los tramos 2 y 3. Tomamos puntos auxiliares A, B, C, D, E (ver figura), que relacionaremos mediante los teoremas que conocemos.

 Vamos a suponer despreciable la variación de presión en los sectores arriba del mercurio, desde el punto D al B y desde el E al C.  (¿Cómo cambiaría la resolución sin despreciar eso? Pensálo). Es decir: vamos a suponer que la presión en D es muy parecida a la de B y que la de E es muy parecida a la de C. Entonces, por el teorema de la hidrostática (ya que el mercurio en el manómetro está en reposo):

p_C - p_B  = p_E - p_{D =} δ_Hg g Δh       (2)

Esto nos permitiría calcular Δ h ... si tuviéramos la diferencia pC - pB. Si bien no la tenemos, podemos calcularla por Bernouilli + Conservación del caudal como hicimos antes con pA - pB. Ahora bien, para ahorrar cuentas, si nos fijamos bien: como el tercer tramo tiene la misma sección que el primero, entonces ambos (el tercero y el primero) tienen la misma velocidad, y como están a la misma altura y además el fluido es ideal--> entonces tienen la misma presión, es decir p_C = p_A.  Por lo tanto:

p_C - p_B  = p_A - p_B = mismo valor calculado en a).

 Entonces, reemplazando en (2): 

Δh  = (p_A - p_B)/(δ_Hg g)

Fin del punto b).  :)