Fluidos reales: introducción y ejemplo

Fluidos reales

Un fluido real presenta rozamiento con las paredes de la cañería, y entre las distintas "capitas" de fluido. A este "rozamiento" lo llamamos viscosidad.

Consideremos un caño horizontal por donde circula un fluido real; si pudiéramos medir la velocidad de las distintas partículas dentro del caño, veríamos algo así:

Las flechitas representan las velocidades de las partículas en el interior del caño... las partículas que van por el medio del caño son las más rápidas, y la velocidad es menor para las partículas que fluyen más cerca de las paredes. Esto contrasta con el "perfil de velocidades" para un caño horizontal por donde pasa un fluido ideal, en este caso las velocidades serían así:

Así que, en un fluido real, vemos que no hay una velocidad única. El caudal Q va a seguir expresándose como:

Q = V . S    

pero ahora V es la velocidad media en la sección S. En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad del fluido", nos estaremos refiriendo a dicha velocidad media.

Conservación del caudal

Vamos a trabajar con fluidos reales en estado estacionario, es decir que las variables (velocidad, presión, etc.) medidas en un punto dado, no dependen del tiempo (si podrían depender de la posición, pero si fijamos una posición, al transcurrir el tiempo los valores son los mismos).

En estado estacionario, sigue valiendo la conservación del caudal, así que, sigue valiendo:

Qentrante = Qsaliente

Ley de Poiseuille

Consideremos un fluido real, en estado estacionario, fluyendo por un único caño horizontal de sección constante circular, en régimen laminar (no turbulento). Bajo estas condiciones, se verifica que, a medida que el fluido avanza, la presión disminuye (NO la velocidad, ya que el estado es estacionario y por lo tanto se conserva el caudal).

Estudiamos un caño de radio r y longitud L, que avanza con velocidad v (ver figura). Llamaremos pe a la presión a la entrada del caño, y ps a la presión a la salida de dicho caño. Si el fluido es viscoso se observa que:

pe > ps

Se comprueba que la diferencia entre pe y ps es directamente proporcional al caudal Q, esto se expresa matemáticamente:

pe - ps =  R . Q

donde a R la llamamos resistencia hidrodinámica del caño. La resistencia hidrodinámica del caño depende solamente:

1) de la geometría del caño, es decir, de sus dimensiones (longitud y radio)
2) de cuán viscoso es el líquido

La resistencia hidrodinámica no cambia si no se cambian las dimensiones del caño ni el tipo de líquido que circula... es decir que si solamente aumentamos (o disminuimos) el caudal, R sigue tomando el mismo valor.

En el sistema MKS, las unidades de resistencia son: [R] = Pa . s/m^3

La resistencia hidrodinámica se puede expresar de la siguiente manera (Ley de Poiseuille):

donde L y r son la longitud y el radio del caño, respectivamente, y η es el coeficiente de viscosidad del fluido. Las unidades del coeficiente de viscosidad en el sistema MKS son: [η] = Pa . s.

Muchas veces la viscosidad se da en la unidad poise (P). Por definición: 1 P = 0,1 Pa . s. También se usa el centipoise (submúltiplo de la anterior): 1 cP = 0,01 P = 0,001 Pa . s

A temperatura ambiente, la viscosidad del agua es aproximadamente ηagua = 0,001 Pa . s = 1 cP

(En los problemas, si tenemos la viscosidad en Poise, conviene pasarla a Pa . s, para así trabajar en el sistema MKS).

Presión en función de la posición x
En un fluido viscoso, a medida que el flujo avanza, la presión va variando linealmente en forma gradual. Si graficamos la presión en función de una coordenada x que aumenta en el sentido del flujo (ver figura más arriba), obtendremos:

Otras expresiones equivalentes para la resistencia hidrodinámica
La expresión dada arriba está dada en función de L y el radio r... pero también puede expresarse en términos del diámetro D (D = 2 . r). Reemplazando r = D/2 en la ecuación de arriba, y operando, queda:

A veces es conveniente expresar R en función de la sección del caño S. La sección es circular, por lo tanto se calcula como:

donde r es el radio del caño. Si en la primera expresión de R multiplicamos numerador y denominador por π, en el denominador queda π^2 . r^4, esto es, el cuadrado de la sección. Entonces, la resistencia R puede expresarse:

Notar que en esta última expresión, la sección está elevada al cuadrado... en cambio, si se escribe R en función del radio, queda inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio.

Comparación con fluido ideal
Notar que, si tuviéramos, en un fluido ideal, un flujo estacionario, laminar e irrotacional, en un caño único, también horizontal, y de sección constante, valdría el Teorema de Bernoulli, y entonces tendríamos que:

Pero como el caño es horizontal, he = hs, y como la sección del caño es constante, valdría ve = vs... esto lleva a la siguiente conclusión (fluido ideal, caño horizontal, sección constante):

Es decir que no hay caída en la presión, a diferencia del caso de un fluido viscoso, donde sí la hay.


Aplicación: cómo cambia la resistencia al cambiar un caño por otro

Ejemplo (problema F 60 de los adicionales): "Un caño recto que conduce agua se cambia por otro también para agua, que tiene la mitad de largo y la mitad de área de sección transversal que el anterior. La resistencia hidrodinámica del nuevo caño, con respecto a la del primero: a) es el doble b) es la misma c) es la mitad d) es menos de la mitad e) es más del doble f) no puede decirse sin más datos".

Notemos que en este problema nos están mencionando dos situaciones separadas:
1) primero el fluido circula por un cierto caño
2) Y después se quita el caño anterior, y el mismo fluido circula por otro caño diferente
O sea, no se encuentran los dos caños colocados al mismo tiempo conectados entre sí - sino que son dos situaciones diferentes.

Entonces, lo que haremos es plantear ecuaciones para cada situación por separado. Como lo que tenemos que comparar son resistencias, expresamos R para cada caño, y por conveniencia elegiremos la expresión en función de la longitud y de la sección:

1)  Para el primer caño la longitud es L y la sección es S:

2) Para el segundo caño, la longitud es la mitad de la anterior (L/2) y la nueva sección también es la mitad de la anterior (S/2):

Ahora queremos comparar R2 con R1. Para esto, dividimos miembro a miembro la segunda ecuación por la primera. Luego se simplifican los factores 8, η, y , y, operando algebraicamente, se llega a:

Nota: hay que tener cuidado con los distintos "niveles" de las líneas de fracción. Para mayor claridad, se marcaron en distintos colores en la figura.

Concluimos entonces que R2 / R1 = 2, por lo tanto R2 = 2 . R1, así que la resistencia del nuevo caño es el doble de la del segundo. --> Respuesta correcta a)

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Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares

Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares

Consideremos un fluido en movimiento, bajo las siguientes condiciones: ideal (o sea, sin viscosidad), flujo estacionario (las variables en un punto dado no dependen del tiempo). incompresible (una dada masa no cambia su volumen... por ejemplo: un líquido), e "irrotacional" (si colocáramos una ruedita dentro del fluido, ésta no comenzaría a dar vueltas).

Supongamos que tomamos una partícula dentro del fluido y la "seguimos", filmando todo su recorrido... entonces "veremos" una línea (curva, en general)... a esta línea se le llama "línea de corriente". Dentro del fluido hay entonces infinidad de "líneas de corriente" que indican la trayectoria de las partículas.

Si consideramos dos puntos A y B que pertenecen a la misma línea de corriente, dentro del mismo fluido, se cumple:

donde:  δ es la densidad, pA y pB son las presiones, vA y vB son las velocidades, y hA y hB son las alturas de los puntos A y B respectivamente. Para las alturas: se puede tomar un "cero" por convención, y desde ese "cero" las alturas deben tomarse positivas hacia arriba (ver figura).

Ejemplos:
En los ejemplos de aplicación de movimiento de un fluido ideal, podrán usarse: el Teorema de Bernoulli, y la ec. de conservación del caudal (Qentrante = Qsaliente).


Ejemplo 1) Un único caño que cambia de altura y de sección

Consideremos el caso del ejercicio 18 de pág. 38 de la guía: "Por una tubería con un área de la sección transversal de 4,2 cm^2 circula el agua a una velocidad de 5,18 m/s. El agua desciende gradualmente 9,66 m mientras que el área del tubo aumenta a 7,6 cm^2. a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? b) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior."

Hagamos un esquema de la situación, ubicando los datos que tenemos. Notar que los 9,66 m mencionados son una diferencia de altura (se toma verticalmente) y no una distancia, ya que nos dicen que el agua desciende 9,66 m.

a) Como tenemos como dato la velocidad en una de las secciones y nos piden la velocidad en la otra, y como también conocemos las dos secciones, entonces podemos resolver este punto planteando la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente
vA . SA = vB . SB

5,18 m/s . 4,2 cm^2 = vB . 7,6 cm^2

Despejamos vB:     vB = 5,18 m/s . 4,2 cm^2 / 7,6 cm^2 -> vB = 2,86 m/s

b) Nos piden la presión en el nivel inferior, o sea en B. Entonces planteamos el teorema de Bernoulli entre los puntos A y B:

Reemplazamos los datos, usando que la densidad es la del agua (1000 kg/m^3). Por comodidad, tomamos como cero la altura en el punto más bajo de los dos (en este problema, el B), así que el otro punto (en este problema, el A) queda con una altura positiva de 9,66 m:

152000 Pa + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (5,18 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 9,66 m =
= pB + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (2,86 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0 m

Despejando pB, y haciendo los cálculos, se llega a:

pB = 257926,4 Pa

Ejemplo 2) Caso de un caño que se ramifica en varios caños iguales

"Un fluido no viscoso se mueve a 10 cm/seg por un tubo horizontal de 1 cm de radio, cuya presión interior es de 10 Pa. Luego el tubo se ramifica en varios tubos horizontales de 0,5 cm de radio cada uno. Sabiendo que la densidad del fluido es de 2 kg/lt y que la velocidad en cada tubo de la ramificación es de 8 cm/seg: a) Determinar en cuántos tubos se ramificó el tubo original. b) Calcular la presión en cada uno de los conductos luego de la ramificación."

 Asumiremos que todos los caños, que son horizontales, se encuentran al mismo nivel. El esquema de los caños es, "visto desde arriba":

  

a) Como tenemos el radio del tubo de entrada, y de cada uno de los de salida, y las velocidades en los caños, podemos relacionar estos datos para plantear la igualdad entre el caudal entrante y el saliente:

Qentrante = Qsaliente

El caudal entrante es el caudal que pasa por el caño donde está el punto A:

Qentrante = vA . SA

El caudal saliente es la suma de todos los caudales en las ramificaciones 1, 2.... hasta X. Como todos los caños de la ramificación son iguales, y la velocidad en todos ellos es la misma (dato), entonces el caudal por cada caño de la ramificación será el mismo... por lo cual el caudal saliente total, va a ser el caudal que pasa por UNO de los caños de la ramificación, multiplicado por la cantidad de caños (que llamaremos X). Entonces:

Qsaliente = X . vB . SB

Igualando el caudal entrante con el saliente, queda:

vA . SA = X . vB . SB
10 cm/s . π . (1 cm)^2 = X . 8 cm/s . π . (0,5 cm)^2

Simplificando y despejando X, queda:
X = 5 . Así que, el tubo original se ramificó en 5 tubos. (Respuesta a))

b) Se pide la presión en uno de los tubos de la ramificación. Para eso, planteamos el teorema de Bernoullli entre A y B:

Como todo el sistema se encuentra a un mismo nivel, entonces HA = HB = 0. Las velocidades vA y vB se conocen, la densidad también, y pA también, siendo pB la incógnita. Reemplazamos todo:

10 Pa + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,1 m/s)^2 = pB + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,08 m/s/s)^2

10 Pa + 10 Pa = pB + 6,4 Pa
pB = 13,6 Pa   Respuesta b)

Notar que, si planteáramos Bernoulli entre el caño principal y otro de los tubos de la ramificación, obtendríamos la misma presión (13,6 Pa), ya que en todos los tubos de la ramificación la velocidad es la misma, y entonces la ecuación de Bernoulli quedaría con los mismos números.

Ejemplo 3) Caso de un caño que se ramifica en dos caños de sección diferente

"Dos caños de igual longitud, apoyados en una misma superficie horizontal, están conectados como indica la figura. La sección del tubo [1] es de 6 mm^2, el del [2] es 2 mm^2 y el del tubo [3] es 3 mm^2. Por el conjunto circula un líquido no viscoso y la presión en A es la misma que en B. Si por el tubo [2] circula un caudal de 10 ml/seg, ¿cuánto vale el caudal por [1]? a) 20 ml/s   b) 15 ml/s   c) 10 ml/s   d) 17 ml/s   e) 30 ml/s   f) 25 ml/s"

Podemos plantear la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente

Es decir:
Q1 = Q2 +Q3
Q1 = 10 ml/seg + Q3

No conocemos ni Q1, ni Q3, ni las velocidades en 1 ni en 3... así que por el momento dejamos a esa ecuación así.

Por otra parte, en A podemos conocer la velocidad, ya que tenemos el caudal en [2] y su sección:
Q2 = vA . S2 --> vA = Q2/S2 --> vA = 10 ml/seg / 2 mm^2 = 5 . 10^(-6) m^3/ [10^(-6) m^2 . seg ]

 --> vA = 5 m/seg
Pero todavía no conocemos la velocidad en B.

Como además tenemos un dato sobre las presiones (pA = pB para los puntos indicados en la figura), vamos a plantear el Teorema de Bernoulli para poder usar ese dato.

El Teorema de Bernoulli debe plantearse para dos puntos sobre una misma línea de corriente. Es obvio que las partículas que pasan por A no pasan por B, por lo tanto AB no es una línea de corriente.  Pero sí podemos tomar un punto C en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por A, y otro punto D en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por B (ver figura).

Entonces, planteamos Bernoulli entre C y A, teniendo en cuenta que HC = HA = 0 ya que todo el sistema se encuentra sobre una misma superficie horizontal:

Análogamente, planteamos Bernoulli entre D y B, usando que HD = HB = 0:

Pero los puntos C y D están en el mismo caño, con la misma sección, así que sus velocidades son iguales, y también lo son sus presiones: vC = VD y pC = pD. Por lo tanto, los miembros izquierdos de las últimas dos ecuaciones son iguales entre sí y, por propiedad transitiva, también tienen que ser iguales entre sí los miembros derechos. Así que llegamos a la conclusión de que:

Y como el enunciado dice que pA = pB --> simplificamos las presiones y queda que:

--> y simplificando, concluimos que las velocidades son iguales:  vA = vB

  
El valor de vA fue calculado antes, y es vA = 5 m/s, entonces tenemos que vB = 5 m/s. Y ahora que conocemos vB, usando la sección 3 podemos calcular Q3:

Q3 = vB . S3 = 5 m/s . 3 mm^2 = 15 . 10^(-6) m^3/seg = 15 ml/seg.

Ahora volvemos a la ecuación de conservación del caudal que teníamos al principio... ya podemos reemplazar Q3:

Q1 = Q2 + Q3 = 10 ml/seg + 15 ml/seg 
Q1 = 25 ml/seg . 

Respuesta: f) 25 ml/seg

Antes del próximo ejemplo, veamos un par de aproximaciones que muchas veces se usan al aplicar Bernoulli:

A) Cuando un chorro de agua sale al aire (ejemplo: a la salida de una manguera, o en un orificio practicado en la pared de un tanque para desagotarlo): si el chorrito del agua es bien delgado, podremos suponer que en el interior del chorrito, justo a la salida de la manguera / canilla / tanque / etc., la presión es aproximadamente la misma del aire que lo rodea.

B) Cuando la velocidad de uno de los puntos (A o B) es mucho más chica que la velocidad en el otro punto ... entonces la velocidad más chica puede despreciarse frente a la más grande. Esto pasa cuando se tiene, por ejemplo, un tanque que desagota (ver figura)... sobre la superficie del tanque se ubica el punto A; esa superficie es mucho más grande que la sección del chorrito de salida, por lo tanto, la velocidad con que desciende el fluido (vA) va a ser mucho más chica que la velocidad del chorro de salida (vB). Entonces, en estos casos, en el Teorema de Bernouilli se desprecia el término (1/2) . δ . vA^2.

Ahora continuemos con otro ejemplo:

Ejemplo 4) Caso de un tanque cerrado que desagota...

Consideremos el caso de este ejercicio de final: "Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad 0,8 g/cm^3. Descarga mediante una manguera cuyo extremo se encuentra a 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque. Para que el líquido se descargue a una velocidad de 10 m/s, la presión manométrica del aire en el interior del tanque deberá ser (en kPa):
a) 32   b) 48  c)  148   d)  132  e) 100  f) 12 "

¡Primero tenemos que pensar cómo interpretar esto para hacer el dibujo!... nos dicen que un extremo de la manguera está 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque (o sea, 1 m más arriba del nivel del tanque). Ese extremo de la manguera, debería ser el extremo por donde sale el líquido.... ya que el otro extremo (del que no dicen nada) debería estar dentro del líquido (claro, si no, ¿cómo va a desagotarse el tanque?)

¿Cómo puede ser que el líquido salga más arriba del tanque? Bueno, en un tanque abierto esto no podría pasar... pero nos dicen que el tanque está cerrado... así que, si el aire encerrado sobre la superficie del tanque está a alta presión, el líquido sí va a poder salir.

Así que, el dibujo debería ser algo así:

La incógnita es la presión del aire encerrado, que es la misma presión en el punto A (pA), que está ubicado justo sobre la superficie líquido-aire encerrado. El punto B está ubicado a la salida de la manguera. Planteamos Bernoulli entre A y B:

Tenemos que  la densidad del líquido, pasada al sistema MKS, es δ = 800 kg/m^3.

En el punto A:
- Despreciamos el término de velocidad en A ya que consideramos que la superficie del tanque es mucho más grande que la sección de la manguera.
- Como A es el punto más bajo, ahí tomamos HA = 0
- La presión en A es incógnita. Trabajamos con presiones absolutas, por ahora.

En el punto B:
- La velocidad es dato, vB = 10 m/s.
- Como la altura de B se toma con referencia al cero que está a nivel de A, entonces HB = 1 m
- La presión en B absoluta es patm = 101325 Pa ya que el chorro de salida sale a la atmósfera.

Reemplazando todo lo anterior, queda:

pA + 0 + 0 = patm + (1/2) . 800 kg/m^3 . (10 m/s)^2 + 800 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 1 m
pA = patm + 40000 Pa + 8000 Pa
pA = patm + 48000 Pa

Podríamos reemplazar la presión atmosférica y calcular la presión absoluta en A... pero como se pide la presión manométrica en A: pmanom A = pA - patm , entonces directamente pasamos restando la presión atmosférica, y automáticamente se forma la presión manométrica en el miembro izquierdo:

pmanom A = pA - patm = 4800 Pa
pmanomA = 48 kPa . Así que la respuesta correcta es b) 48 kPa

Antes de ver el próximo ejemplo, veremos un caso particular del teorema de Bernoulli, el...


Teorema de Torricelli. Este teorema puede aplicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones:
1) Las presiones de "entrada" y de "salida" (o sea, en A y en B) son iguales: pA = pB; el punto de salida (B) se encuentra por debajo de la entrada (A).
2) La sección "de entrada" (en A) es mucho mayor que la sección en B. Por lo tanto, la velocidad vA es despreciable frente a vB.
3) Y todas las otras hipótesis que se piden para que valga el Teorema de Bernoulli (todas se mencionaron al comienzo del artículo).
Bajo estas condiciones, vale, aproximadamente, que:

donde H es la diferencia de altura entre la superficie de entrada (punto A) y la sección de salida (punto B).







Ahora pasemos al...

Ejemplo 5)  Caso de un recipiente abierto que se desagota a través de una manguera:  

 "En un recipiente que contiene agua en reposo en contacto con la atmósfera, se coloca una manguera llena de agua tapada en sus dos extremos, como indica la figura. El área de la sección transversal de la manguera es uniforme y mucho menor que el área de la superficie libre del agua en el recipiente. Calcular, para un instante inmediatamente después de que se destapan los extremos de la manguera: a) la velocidad inicial del agua en B, b) la diferencia de presión entre A y C."

a) La "velocidad inicial" se refiere a la velocidad del agua, justito apenas se destapan los extremos de la manguera... sin dejar pasar más tiempo. Si se deja pasar más tiempo... el nivel de agua en el tanque va a ir descendiendo, y entonces los 80 cm marcados en la figura (ver), ya no van a ser 80 cm, sino menos... pero si calculamos la velocidad en la manguera apenas comienza a salir, entonces la profundidad del agua todavía no varió apreciablemente, y podremos usar todos los datos de la figura.

La velocidad que se pide, es en el punto B (arriba). Pero como la manguera es de sección constante, entonces, en un instante dado, la velocidad es la misma para todo punto de la manguera, es decir:

vA . SA = vB . SB = vC . SC
Como SA = SB = SC ->  vA = vB = vC

Entonces, calculemos la velocidad de la manguera en el punto que más fácil resulte.. o sea, donde más datos tengamos.... en A y en B no conocemos la presión, en cambio en C sí la conocemos: es la presión atmosférica, al igual que en la superficie libre del tanque. Observemos también que la velocidad en C se podría calcular mediante el teorema de Torricelli ya que se dan las condiciones para usar este teorema:

- la sección del tanque (en el punto D) es mucho mayor que la sección de la salida C, por lo tanto la velocidad en D es despreciable frente a la velocidad en C
- la presión en la superficie libre del tanque (en D) es la misma que en la salida C (presión atmosférica en ambas): pD = pC.
(Ver en la figura la línea de corriente entre D y C que se tomó)

Por lo tanto, se cumple:

donde vsalida = vC, y H = 80 cm, ya que es la diferencia de altura entre la superficie del tanque (D) y el extremo de salida de la manguera (C) . Entonces:

Y como en B la velocidad es la misma, entonces la respuesta a lo pedido es: vB = 4 m/s a)

 b) Se pide la diferencia de presión entre los puntos indicados en la figura como A y C. En C conocemos la presión (la atmosférica), no así en A. Entonces, plantearemos el teorema de Bernoulli entre A y C:

Como ya se mencionó, en el punto A, la velocidad es la misma que en C, ya que la manguera es toda de la misma sección, así que vA = vC, con lo cual los términos de velocidades en la expresión de arriba se simplifican. Como el punto C es el más bajo, tomamos HC = 0, con lo cual HA = 20 cm. Reemplazando todo esto, y usando que pC = patm, y la densidad del agua, queda:

pA + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m = patm
pA + 2000 Pa = patm
->  pA - patm = -2000 Pa

Es decir, que la diferencia de presión entre A y C (esta última es pC = patm) es de (-2000 Pa)... es una valor negativo, es decir que la presión en A es menor que la atmosférica.

Notar que en este problema, sería totalmente incorrecto calcular la presión en A relacionando el punto A y el punto D con el teorema de la hidrostática, ya que ahora el fluido está en movimiento, y por lo tanto no se puede aplicar dicho teorema. Además, notar que la presión en A, en este problema es menor que la atmosférica... si el fluido estuviera quieto, la presión en A sería mayor que la atmosférica.

Otra forma de calcular pA - patm: también se puede calcular la presión en A, relacionándola con el punto D, a través del teorema de Bernoulli aplicado entre D y A:

donde pD = patm, vD es despreciable frente a vA, HD= 80 cm y HA = 20 cm (ver figura), y vA = 4 m/s (se calculó en a)). Entonces, reemplazando todo:

patm + 0 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,8 m = pA + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (4 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m

patm + 8000 Pa = pA + 8000 Pa + 2000 Pa
Y despejando se llega a que pA = patm -2000 Pa, o sea: pA - patm = -2000 Pa, igual que de la otra forma.

Otros ejemplos de aplicación del Teorema de Bernoulli (resueltos): 

- Fluido circulando en una cañería horizontal que tiene un cambio de sección
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2011/05/problema-de-un-fluido-circulando-en-una.html

- Sifón con el cual se llena un vaso; es el problema nro. 2 resuelto en este enlace (es el que se vio en clase el Martes 9/9/14 a las 14 hs):
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2011/09/resolucion-del-parcialito-de-fluidos.html

- Terraza inundada que tiene un desagüe
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2013/09/terraza-inundada-con-desague.html

- Tanque con dos líquidos inmiscibles, con dos orificios:
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2010/09/resolucion-del-problema-del-tanque-con.html

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Terraza inundada con desagüe

Problema: Una casa tiene una terraza de 5 m X 5 m, a una altura de 3,8 m, con un desagüe para la lluvia que consiste en una rejilla con una cañería vertical que llega hasta el piso, donde el radio de la camería es de 4 cm.
Durante una lluevia fuerte la terraza se inunda con 20 cm de agua, y este nivel se mantiene constante. En la aproximación de fluido ideal:

a) ¿Cuál es la velocidad del agua a la salida de la cañería y cuántos litros por segundo salen por el desagüe?
b) ¿Cuál es la presión, descontada la atmosférica, sobre el piso de la terraza.

Resolución:
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Tanque cerrado que descarga hacia la atmósfera

Problema:Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad 0,8 g/cm^3. Descarga mediante una manguera cuyo extremo se encuentra a 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque. Para que el líquido se descargue a una velocidad de 10 m/s, la presión manométrica en el interior del tanque deberá ser (en kPa):

a) 32
b) 48
c) 148
d) 132
e) 100
f) 12

Resolución:
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Resolución del parcialito de fluidos

Parcialito de Fluidos
Problema 1: Un tanque de almacenamiento cilíndrico abierto a la atmósfera (usar Patm = 100 kPa), de 15 m de radio y 10 m de altura, está lleno de agua (densidad 1,0 g/cm^3) y petróleo liviano (densidad 0,8 g/cm^3) en equilibrio. Sabiendo que los líquidos son inmiscibles y que el tanque contiene -en volumen- cuatro veces más petróleo que agua:
a. Calcule la presión manométrica en el fondo del recipiente, en kPa.
b. Grafique la presión absoluta dentro del tanque (en kPa) en función de la profundidad (en m) entre la superficie libre del líquido y el fondo del recipiente (en kPa). Indicar claramente los valores, unidades y referencia elegidos.

a) Primero hagamos un esquema del tanque, ubicando en él algunos puntos "auxiliares" que nos pueden servir.


Tomamos un punto A sobre el fondo, un punto B sobre la interfase agua-petróleo, y un punto C en la interfase petróleo-aire.  

Cálculo auxiliar: espesor de cada capa de líquido
Hay una diferencia de altura entre A y B, y otra diferencia de altura entre B y C, que aún no conocemos.  Pero, sabemos que el volumen de petróleo es cuatro veces el volumen de agua, por lo tanto:

V(petróleo) = 4 Vagua  --> 
Sup . ΔhBC= 4 Sup . ΔhAB

Como la superficie (es la superficie de la base del tanque, o sea, pi . r^2, donde r = 15m) es la misma en ambos miembros, entonces:se simplifica y queda:

ΔhBC= 4 . ΔhAB

Y como la altura total es de 10 m ( ΔhAB + ΔhBC  = 10 m ), entonces sale que:


ΔhAB = 2 m, ΔhBC = 8 m.

Cálculo de la presión manométrica en A

Para calcular la presión en un punto, podemos usar el teorema de la hidrostática ya que el líquido está en reposo.

Para el agua, podemos plantear dicho teorema, entre los puntos auxiliares A y B:

PA - PB = δa . g . ΔhAB    (1)



donde δa es la densidad del agua.

Para el petróleo, entre B y C, tenemos::

PB - PC = δp . g . ΔhBC    (2)

donde δp es la densidad del petróleo. En esta última ecuación, podemos reemplazar PC = Patm.


Nota: al punto B se lo puede considerar como que está en agua y en petróleo al mismo tiempo, ya que la presión es continua (no pega "saltos"). Por eso lo usamos las dos veces.

Despejando PB de la ecuación (2) y reemplazándolo en (1), llegamos a:


PA = Patm + δp . g . ΔhBC  + δa . g . ΔhAB 


Nos piden la presión manométrica en A. Como  Pmanom(en A) = PA - Patm , entonces:


Pmanom (en A) = δp . g . ΔhBC  + δa . g . ΔhAB 

Ahora queda hacer la cuenta: reemplazando todo, nos queda:

Pmanom (en A) = 64000 Pa + 20000 Pa = 84 kPa

b)  Nos piden graficar la presión absoluta en términos de la profundidad. Observemos que nos lo piden en función de la profundidad, no de la altura. Aunque son casi iguales, numéricamente son "al revés": la profundidad vale 0 m en la interfase superior, 8m en la interfase  hasta 10 m en el fondo. En cambio, la altura h va de 0 m en el fondo hasta 10 m en la interfase superior, pasando por 2m en la interfase petróleo agua; ver el dibujo).  En el dibujo se indica cuál es el eje x, que representa la profundidad.


 Nos piden graficar la presión absoluta, así que primero escribamos algunas presiones que sabemos:


PC = Patm = 100 kPa
PB = PC + δp . g . ΔhBC = Patm + 64 kPa = 164 kPa
PA = Patm + δp . g . ΔhBC  + δa . g . ΔhAB 
PA = Patm + 64 kPa + 20 kPa = 184 kPa


Pero estos son sólo los valores de la presión en A, en B, y en C. ¿Qué sucede en todos los otros infinitos puntos? Por un lado, sabemos que, en un mismo líquido, la presión cambia linealmente con la profundidad, entonces en cada líquido el gráfico es una recta. Además, sabemos que la presión es continua. Por lo cual, podemos unir los puntos con segmentos de recta. Este es el resultado:

En el gráfico, la línea marrón tiene distinta pendiente que la línea roja, aunque la diferencia mucho no se nota. El eje x, se indica en el gráfico más arriba (en este caso es "positivo hacia abajo" porque esa es la consigna del enunciado).

Problema 2: Un sifón se diseña para que pueda llenar un vaso de 200 cm^3 en 4s, cuando el desnivel entre el pico de salida, cuya sección es de 0,5 cm^2, y la superficie libre del líquido dentro del sifón, es de 15 cm.
a. ¿Cuál es la presión que debe tener el gas que se encuentra en la cara superior del sifón?
b. Suponiendo que esta presión se mantuviera constante, ¿cuánto tardaría en llenarse el vaso si el nivel de agua bajara 1 cm?

Nota: En este problema supondremos que el fluido (agua) se considera ideal, y supondremos también que el flujo NO es turbulento (si lo fuera, nada de lo que sigue valdría).

 a. Nos piden la presión en el punto indicado en la figura. Como el fluido es ideal, y el flujo no es turbulento, podemos usar el Teorema de Bernouilli. Tomamos: un punto sobre la interfase agua-aire (A) y otro punto a la salida del sifón (B), como se muestra en el dibujo.







La expresión de Bernouilli queda:

PA + (1/2) δ VA^2 + δ g HA = PB + (1/2) δ VB^2 + δ g HB      (1)

En la expresión de arriba:
- Podemos elegir: HA = 0, y en ese caso: HB = 0,15 m.
- Como la superficie aire-agua es muy grande comparada con la sección del pico, entonces aproximamos Va a CERO.
- No conocemos todavía la velocidad de salida Vb, pero podemos calcularla aparte, con el dato que nos dan sobre el caudal.
- Pb es la presión a la salida; como el chorrito que sale del pico es bastante angosto, supondremos que la presión Pb dentro del chorrito es aproximadamente la presión atmosférica que rodea al chorro.
- La densidad  del agua, es δ= 1000 kg/m^3 y g = 10 m/s^2
- Pa es la incógnita que nos interesa

Reemplazando todo lo anterior, nos queda:

PA = Patm + (1/2) δ VB^2 + 1000  . 10 . 0,15 Pa      (2)


Si conociéramos VB, hallaríamos PA --> hagamos el siguiente...


Cálculo auxiliar
Calculemos el caudal a la salida del pico. Nos dicen que se llena un vaso de 200 cm^3 en 4 segundos, por lo tanto:
Q = Volumen / Δt --> Q = 200 cm^3/4s = 5 . 10^(-5) m^3/s
Teniendo el caudal, ahora sí podemos calcular la velocidad de salida:

VB . SB = Q donde Sb es la sección del pico; Sb = 0,5 cm^2


VB = Q / SB = (cuentas) = 1 m/s

Volvamos al teorema de Bernouilli

Reemplazando VB = 1 m/s en (2), hallamos Pa:


PA= 101300 Pa + (1/2) 1000  . 1  Pa + 1000  . 10 . 0,15 Pa   
PA = 101300 Pa + 500 Pa + 1500 Pa
PA = 103300 Pa.


b. Supongamos ahora PA = constante = 103300 Pa, como dice la consgina del enunciado. Si el nivel baja 1 cm, ahora habrá 16 cm de diferencia entre el pico, y la interfase agua-aire. Pero ahora, pudo haber cambiado la velocidad de salida, por lo tanto, ya no vale más el dato que teníamos de caudal.


Volvemos a plantear el teorema de Bernouilli


PA + (1/2) δ VA^2 + δ g HA = PB + (1/2) δ VB^2 + δ g HB


Ahora la superficie agua-aire bajó, por lo tanto, el punto A " se movió" (seguimos tomando un punto A sobre dicha superficie). Mediremos las alturas, desde el nuevo punto A, es decir: HA = 0 y HB = 0,16 m.
Al igual que antes, despreciamos VA ya que la superficie agua-aire es mucho mayor que la sección del pico. También sabemos que PB = Patm = 101300 Pa, y conocemos PA. La única incógnita es VB. Reemplazamos todo esto:

103300 Pa = 101300 Pa + (1/2). 1000 kg/m^3. VB^2 + 1000 . 10 . 0,16 Pa

Por lo tanto:
2000 Pa - 1600 Pa = 500 kg/m^3 . VB^2

De donde sale:

VB = 0,8944 m/s

Esta es la nueva velocidad de salida. Falta calcular cuánto tarda en llenarse el vaso. Para eso, necesitamos el nuevo caudal:
Q = VB . SB = 0,8944 m/s . 0,5 cm^2 = 0,447 . 10^(-4) m^3/s

Y como Q = Volumen/Δt, y el vaso es el mismo (Volumen = 200 cm^3 = 2 . 10^(-4) m^3)

Δt = Volumen/Q = 4,47 s

Problema 3. Cuando se aplica una diferencia de presión de 80 kPa entre los extremos de un tubo horizontal, fluye por él un caudal de 4 litros por minuto. Se conectan, horizontalmente, dos de estos caños en paralelo, y ese conjunto se conecta en serie con otro caño idéntico a los anteriores. 
a. ¿Qué diferencia de presión hay que aplicar entre la entrada y la salida de ese sistema para que el caudal saliente siga siendo de 4 litros por minuto?
b. Bajo las condiciones del ítem (a), ¿qué potencia, en Watts, debe desarrollar el mecanismo propulsor?

Nota: Asumiremos que los tubos son de sección constante.

a. Primero tenemos un caño (único), para el cual conocemos el caudal que pasa por él y la diferencia de presión entre sus extremos. Como el tubo está horizontal, es de sección constante, y la presión a lo largo de él varía, eso significa que NO se desprecian los efectos de la viscosidad. Entonces, podemos expresar la Ley de Poiseuille.

Δp = R . Q
(aquí podríamos calcular numéricamente R, ya que sabemos Q y  Δp)

El problema nos dice que, luego, combinamos varios de estos caños. Es decir, que vamos a combinar varios caños de la misma resistencia R (Supondremos que el líquido que pasa por estos caños, es el mismo que pasaba en el caño original, ya que si no, cambiaría la resistencia).

Llamamos R a la resistencia de cada caño individual. Se conectan dos caños en paralelo, y el resultado de esto, en serie con otro:

Hallemos la resistencia equivalente: sabemos que cuando conectamos en paralelo N caños iguales (en este caso, N = 2), su resistencia equivalente es Rparalelo = R/N. Así que, tenemos que el paralelo tiene resistencia R/2, sumando eso con la resistencia R del caño en serie, nos da Rtotal = R/2 + R = (3/2) R

Nos piden la diferencia de presión total, desde el inicio hasta el final del sistema, es decir:
Δptotal = PA - PB (ver figura). Aplicamos entonces la Ley de Poiseuille al sistema, usando que el caudal total no cambió, es el mismo de antes: Q = (2/3) . 10^(-4) m^3/s

Δptotal = Rtotal . Q = (3/2) R . Q 

Pero recordemos que el producto "R . Q" es igual al Δp anterior, que era de 80000 Pa. Entonces nos queda:

Δptotal = (3/2) . Δp = (3/2) . 80000 Pa = 120000 Pa.

b. Necesitamos calcular la potencia entregada por una bomba, para mantener en circulación un líquido a través de todo el sistema. Sabemos que:

Pot(entregada) = Δptotal . Q = 120000 Pa . (2/3) . 10^(-4) m^3/s = 8 Watt

Auxiliar: Q = 4 l/min = 4 . 10^(-3) /60 (m^3/s) = (2/3) . 10^(-4) m^3/s

Problema de un fluido circulando en una cañería de distintas secciones

Un fluido incompresible y sin viscosidad escurre a régimen permanente, en una cañería dispuesta horizontalmente que consta de tres tramos, cuyas secciones son 400 cm^2, 100 cm^2 y 400 cm^2, respectivamente. La densidad del fluido es de 1200 kg/m^3 y el caudal es de 200 lt/s.

Visto en perspectiva:

Se pide hallar:
a) La diferencia de presión entre el tramo 1 y el tramo 2.
b) Δh entre las ramas del manómetro de mercurio (δHg = 13600 kg/m^3)

Resolución:

Nota: ¡Primero tratá de hacerlo vos sin leer esto!


Tenemos que calcular una diferencia de presiones entre los tramos 1 y 2. Nota: Se está asumiendo que hay una única presión en cada tramo, es decir, estamos despreciando la variación de la presión con la altura que puede haber dentro de una misma sección.

Tomamos un punto A en el tramo 1, y un punto B en el tramo 2, ambos sobre una misma línea de corriente. Entre A y B podemos plantear el Teorema de Bernouilli ya que el fluido se considera ideal. Podemos tomar el origen del eje vertical sobre la línea AB, con lo cual H_A = H_B = 0.

Entonces queda:

p_A + (1/2) δ_L V_A²   = p_B + (1/2) δ_L V_B²

donde VA y VB son las velocidades en los tramos 1 y 2 respectivamente, y δ_L es la densidad del líquido que circula (NO confundir con la del mercurio que sólo está en el manómetro).

Como nos piden p_A - p_B entonces despejamos:

p_A - p_B =  (1/2) δ_L V_B² - (1/2) δ_L V_A²       (1)

En el miembro derecho de la ecuación anterior, conocemos la densidad del líquido, aunque todavía no tenemos las velocidades. Pero hay otro teorema que sabemos, es el de la conservación del caudal:

Q = V_A A_A = V_B A_B

Como nos dan el caudal Q=1200 kg/m^3 y las dos secciones A_A=400 cm^2 y A_B= 100 cm^2, entonces podemos despejar las velocidades:

Q = V_A A_A ---> V_A = Q/A_A
Q = V_B A_B ---> V_B = Q/A_B

Reemplazando estas expresiones para las velocidades en (1), nos queda:

p_A - p_B =  (1/2) δ_L Q²/A_B² - (1/2)δ_L Q² /A_A²  

---->   p_A - p_B = (1/2) δ_L Q² (1/A_B² - 1/A_A²)

Y sólo faltaría reemplazar los valores a la derecha: Q=200 litros/s, δ_L= 1200 kg/m^3, A_A=400 cm^2 y A_B= 100 cm^2, y hacer la cuenta. Así termina el punto a).

b) Observar que el manómetro está marcando la diferencia entre las presiones de los tramos 2 y 3. Tomamos puntos auxiliares A, B, C, D, E (ver figura), que relacionaremos mediante los teoremas que conocemos.

 Vamos a suponer despreciable la variación de presión en los sectores arriba del mercurio, desde el punto D al B y desde el E al C.  (¿Cómo cambiaría la resolución sin despreciar eso? Pensálo). Es decir: vamos a suponer que la presión en D es muy parecida a la de B y que la de E es muy parecida a la de C. Entonces, por el teorema de la hidrostática (ya que el mercurio en el manómetro está en reposo):

p_C - p_B  = p_E - p_{D =} δ_Hg g Δh       (2)

Esto nos permitiría calcular Δ h ... si tuviéramos la diferencia pC - pB. Si bien no la tenemos, podemos calcularla por Bernouilli + Conservación del caudal como hicimos antes con pA - pB. Ahora bien, para ahorrar cuentas, si nos fijamos bien: como el tercer tramo tiene la misma sección que el primero, entonces ambos (el tercero y el primero) tienen la misma velocidad, y como están a la misma altura y además el fluido es ideal--> entonces tienen la misma presión, es decir p_C = p_A.  Por lo tanto:

p_C - p_B  = p_A - p_B = mismo valor calculado en a).

 Entonces, reemplazando en (2): 

Δh  = (p_A - p_B)/(δ_Hg g)

Fin del punto b).  :)

Problemas adicionales de hidrodinámica (fluidos ideales o reales)

Hola,

A continuación les dejo algunos ejercicios adicionales de fluidos ideales y de fluidos reales.

Problema 1
Por una tubería con sección transversal de 3 cm^2 circula un líquido no viscoso cuya densidad es de 0,8 kg/dm^3 a una velocidad de 30 cm/s. El líquido desciende gradualmente 12 m mientras que el área del tubo aumenta, siendo de 6 cm^2 en el punto más bajo.

a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior?
b) Sabiendo que la presión en el nivel superior es de 152 kPa, hallar la presión en el nivel inferior.

Problema 2
Un fluido viscoso escurre, en régimen laminar, por un caño horizontal de 1m de longitud y de diámetro d. El caudal es Q y la diferencia de presión entre los extremos del caño es Δp. Por otra parte, el mismo fluido escurre en idéntico réginen, por un conjunto de n caños de 1 m de longitud cada uno dispuestos horizontalmente en paralelo. El diámetro de cada caño es d/2. Para esta nueva disposición, el caudal total es Q y la diferencia de presión entre sus extremos es 2 Δp. El valor de n es:
a) 2   b)  4   c)  8  d)   16  e) 32  f)  64

Problema 3
Un tanque de agua de 10 m^2 de seccion y 20000 litros de capacidad está abierto a la atmósfera por arriba y tiene, en su parte inferior, un caño horizontal para descargarlo, cerrado mediante un tapón.

El gráfico muestra los caudales de agua en ese caño, en un ensayo para distintas diferencias de presión entre sus extremos:

a) ¿Cuál es la diferencia de presión entre ambas caras del tapón cuando el tanque está lleno?
b) Si se saca el tapón, suponiendo que la velocidad del agua en el tanque es insignificante, ¿Qué caudal de agua comenzará a salir por el caño al principio si el flujo es laminar?


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Además pueden resolver:

Todos los problemas de las siguientes dos entradas:

- Fluidos ideales:
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2010/09/problemas-adicionales-de-fluidos.html

- Fluidos reales
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2010/09/problemas-adicionales-de-fluidos-reales.html

Los problemas 8, 10 y 11 de esta entrada:
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2010/12/problemas-adicionales-de-temas-variados.html