Fluidos reales: introducción y ejemplo

Fluidos reales

Un fluido real presenta rozamiento con las paredes de la cañería, y entre las distintas "capitas" de fluido. A este "rozamiento" lo llamamos viscosidad.

Consideremos un caño horizontal por donde circula un fluido real; si pudiéramos medir la velocidad de las distintas partículas dentro del caño, veríamos algo así:

Las flechitas representan las velocidades de las partículas en el interior del caño... las partículas que van por el medio del caño son las más rápidas, y la velocidad es menor para las partículas que fluyen más cerca de las paredes. Esto contrasta con el "perfil de velocidades" para un caño horizontal por donde pasa un fluido ideal, en este caso las velocidades serían así:

Así que, en un fluido real, vemos que no hay una velocidad única. El caudal Q va a seguir expresándose como:

Q = V . S    

pero ahora V es la velocidad media en la sección S. En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad del fluido", nos estaremos refiriendo a dicha velocidad media.

Conservación del caudal

Vamos a trabajar con fluidos reales en estado estacionario, es decir que las variables (velocidad, presión, etc.) medidas en un punto dado, no dependen del tiempo (si podrían depender de la posición, pero si fijamos una posición, al transcurrir el tiempo los valores son los mismos).

En estado estacionario, sigue valiendo la conservación del caudal, así que, sigue valiendo:

Qentrante = Qsaliente

Ley de Poiseuille

Consideremos un fluido real, en estado estacionario, fluyendo por un único caño horizontal de sección constante circular, en régimen laminar (no turbulento). Bajo estas condiciones, se verifica que, a medida que el fluido avanza, la presión disminuye (NO la velocidad, ya que el estado es estacionario y por lo tanto se conserva el caudal).

Estudiamos un caño de radio r y longitud L, que avanza con velocidad v (ver figura). Llamaremos pe a la presión a la entrada del caño, y ps a la presión a la salida de dicho caño. Si el fluido es viscoso se observa que:

pe > ps

Se comprueba que la diferencia entre pe y ps es directamente proporcional al caudal Q, esto se expresa matemáticamente:

pe - ps =  R . Q

donde a R la llamamos resistencia hidrodinámica del caño. La resistencia hidrodinámica del caño depende solamente:

1) de la geometría del caño, es decir, de sus dimensiones (longitud y radio)
2) de cuán viscoso es el líquido

La resistencia hidrodinámica no cambia si no se cambian las dimensiones del caño ni el tipo de líquido que circula... es decir que si solamente aumentamos (o disminuimos) el caudal, R sigue tomando el mismo valor.

En el sistema MKS, las unidades de resistencia son: [R] = Pa . s/m^3

La resistencia hidrodinámica se puede expresar de la siguiente manera (Ley de Poiseuille):

donde L y r son la longitud y el radio del caño, respectivamente, y η es el coeficiente de viscosidad del fluido. Las unidades del coeficiente de viscosidad en el sistema MKS son: [η] = Pa . s.

Muchas veces la viscosidad se da en la unidad poise (P). Por definición: 1 P = 0,1 Pa . s. También se usa el centipoise (submúltiplo de la anterior): 1 cP = 0,01 P = 0,001 Pa . s

A temperatura ambiente, la viscosidad del agua es aproximadamente ηagua = 0,001 Pa . s = 1 cP

(En los problemas, si tenemos la viscosidad en Poise, conviene pasarla a Pa . s, para así trabajar en el sistema MKS).

Presión en función de la posición x
En un fluido viscoso, a medida que el flujo avanza, la presión va variando linealmente en forma gradual. Si graficamos la presión en función de una coordenada x que aumenta en el sentido del flujo (ver figura más arriba), obtendremos:

Otras expresiones equivalentes para la resistencia hidrodinámica
La expresión dada arriba está dada en función de L y el radio r... pero también puede expresarse en términos del diámetro D (D = 2 . r). Reemplazando r = D/2 en la ecuación de arriba, y operando, queda:

A veces es conveniente expresar R en función de la sección del caño S. La sección es circular, por lo tanto se calcula como:

donde r es el radio del caño. Si en la primera expresión de R multiplicamos numerador y denominador por π, en el denominador queda π^2 . r^4, esto es, el cuadrado de la sección. Entonces, la resistencia R puede expresarse:

Notar que en esta última expresión, la sección está elevada al cuadrado... en cambio, si se escribe R en función del radio, queda inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio.

Comparación con fluido ideal
Notar que, si tuviéramos, en un fluido ideal, un flujo estacionario, laminar e irrotacional, en un caño único, también horizontal, y de sección constante, valdría el Teorema de Bernoulli, y entonces tendríamos que:

Pero como el caño es horizontal, he = hs, y como la sección del caño es constante, valdría ve = vs... esto lleva a la siguiente conclusión (fluido ideal, caño horizontal, sección constante):

Es decir que no hay caída en la presión, a diferencia del caso de un fluido viscoso, donde sí la hay.


Aplicación: cómo cambia la resistencia al cambiar un caño por otro

Ejemplo (problema F 60 de los adicionales): "Un caño recto que conduce agua se cambia por otro también para agua, que tiene la mitad de largo y la mitad de área de sección transversal que el anterior. La resistencia hidrodinámica del nuevo caño, con respecto a la del primero: a) es el doble b) es la misma c) es la mitad d) es menos de la mitad e) es más del doble f) no puede decirse sin más datos".

Notemos que en este problema nos están mencionando dos situaciones separadas:
1) primero el fluido circula por un cierto caño
2) Y después se quita el caño anterior, y el mismo fluido circula por otro caño diferente
O sea, no se encuentran los dos caños colocados al mismo tiempo conectados entre sí - sino que son dos situaciones diferentes.

Entonces, lo que haremos es plantear ecuaciones para cada situación por separado. Como lo que tenemos que comparar son resistencias, expresamos R para cada caño, y por conveniencia elegiremos la expresión en función de la longitud y de la sección:

1)  Para el primer caño la longitud es L y la sección es S:

2) Para el segundo caño, la longitud es la mitad de la anterior (L/2) y la nueva sección también es la mitad de la anterior (S/2):

Ahora queremos comparar R2 con R1. Para esto, dividimos miembro a miembro la segunda ecuación por la primera. Luego se simplifican los factores 8, η, y , y, operando algebraicamente, se llega a:

Nota: hay que tener cuidado con los distintos "niveles" de las líneas de fracción. Para mayor claridad, se marcaron en distintos colores en la figura.

Concluimos entonces que R2 / R1 = 2, por lo tanto R2 = 2 . R1, así que la resistencia del nuevo caño es el doble de la del segundo. --> Respuesta correcta a)

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Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares

Teorema de Bernoulli, con ejemplos y casos particulares

Consideremos un fluido en movimiento, bajo las siguientes condiciones: ideal (o sea, sin viscosidad), flujo estacionario (las variables en un punto dado no dependen del tiempo). incompresible (una dada masa no cambia su volumen... por ejemplo: un líquido), e "irrotacional" (si colocáramos una ruedita dentro del fluido, ésta no comenzaría a dar vueltas).

Supongamos que tomamos una partícula dentro del fluido y la "seguimos", filmando todo su recorrido... entonces "veremos" una línea (curva, en general)... a esta línea se le llama "línea de corriente". Dentro del fluido hay entonces infinidad de "líneas de corriente" que indican la trayectoria de las partículas.

Si consideramos dos puntos A y B que pertenecen a la misma línea de corriente, dentro del mismo fluido, se cumple:

donde:  δ es la densidad, pA y pB son las presiones, vA y vB son las velocidades, y hA y hB son las alturas de los puntos A y B respectivamente. Para las alturas: se puede tomar un "cero" por convención, y desde ese "cero" las alturas deben tomarse positivas hacia arriba (ver figura).

Ejemplos:
En los ejemplos de aplicación de movimiento de un fluido ideal, podrán usarse: el Teorema de Bernoulli, y la ec. de conservación del caudal (Qentrante = Qsaliente).


Ejemplo 1) Un único caño que cambia de altura y de sección

Consideremos el caso del ejercicio 18 de pág. 38 de la guía: "Por una tubería con un área de la sección transversal de 4,2 cm^2 circula el agua a una velocidad de 5,18 m/s. El agua desciende gradualmente 9,66 m mientras que el área del tubo aumenta a 7,6 cm^2. a) ¿Cuál es la velocidad del flujo en el nivel inferior? b) La presión en el nivel superior es de 152 kPa; halle la presión en el nivel inferior."

Hagamos un esquema de la situación, ubicando los datos que tenemos. Notar que los 9,66 m mencionados son una diferencia de altura (se toma verticalmente) y no una distancia, ya que nos dicen que el agua desciende 9,66 m.

a) Como tenemos como dato la velocidad en una de las secciones y nos piden la velocidad en la otra, y como también conocemos las dos secciones, entonces podemos resolver este punto planteando la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente
vA . SA = vB . SB

5,18 m/s . 4,2 cm^2 = vB . 7,6 cm^2

Despejamos vB:     vB = 5,18 m/s . 4,2 cm^2 / 7,6 cm^2 -> vB = 2,86 m/s

b) Nos piden la presión en el nivel inferior, o sea en B. Entonces planteamos el teorema de Bernoulli entre los puntos A y B:

Reemplazamos los datos, usando que la densidad es la del agua (1000 kg/m^3). Por comodidad, tomamos como cero la altura en el punto más bajo de los dos (en este problema, el B), así que el otro punto (en este problema, el A) queda con una altura positiva de 9,66 m:

152000 Pa + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (5,18 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 9,66 m =
= pB + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (2,86 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0 m

Despejando pB, y haciendo los cálculos, se llega a:

pB = 257926,4 Pa

Ejemplo 2) Caso de un caño que se ramifica en varios caños iguales

"Un fluido no viscoso se mueve a 10 cm/seg por un tubo horizontal de 1 cm de radio, cuya presión interior es de 10 Pa. Luego el tubo se ramifica en varios tubos horizontales de 0,5 cm de radio cada uno. Sabiendo que la densidad del fluido es de 2 kg/lt y que la velocidad en cada tubo de la ramificación es de 8 cm/seg: a) Determinar en cuántos tubos se ramificó el tubo original. b) Calcular la presión en cada uno de los conductos luego de la ramificación."

 Asumiremos que todos los caños, que son horizontales, se encuentran al mismo nivel. El esquema de los caños es, "visto desde arriba":

  

a) Como tenemos el radio del tubo de entrada, y de cada uno de los de salida, y las velocidades en los caños, podemos relacionar estos datos para plantear la igualdad entre el caudal entrante y el saliente:

Qentrante = Qsaliente

El caudal entrante es el caudal que pasa por el caño donde está el punto A:

Qentrante = vA . SA

El caudal saliente es la suma de todos los caudales en las ramificaciones 1, 2.... hasta X. Como todos los caños de la ramificación son iguales, y la velocidad en todos ellos es la misma (dato), entonces el caudal por cada caño de la ramificación será el mismo... por lo cual el caudal saliente total, va a ser el caudal que pasa por UNO de los caños de la ramificación, multiplicado por la cantidad de caños (que llamaremos X). Entonces:

Qsaliente = X . vB . SB

Igualando el caudal entrante con el saliente, queda:

vA . SA = X . vB . SB
10 cm/s . π . (1 cm)^2 = X . 8 cm/s . π . (0,5 cm)^2

Simplificando y despejando X, queda:
X = 5 . Así que, el tubo original se ramificó en 5 tubos. (Respuesta a))

b) Se pide la presión en uno de los tubos de la ramificación. Para eso, planteamos el teorema de Bernoullli entre A y B:

Como todo el sistema se encuentra a un mismo nivel, entonces HA = HB = 0. Las velocidades vA y vB se conocen, la densidad también, y pA también, siendo pB la incógnita. Reemplazamos todo:

10 Pa + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,1 m/s)^2 = pB + (1/2) . 2000 kg/m^3 . (0,08 m/s/s)^2

10 Pa + 10 Pa = pB + 6,4 Pa
pB = 13,6 Pa   Respuesta b)

Notar que, si planteáramos Bernoulli entre el caño principal y otro de los tubos de la ramificación, obtendríamos la misma presión (13,6 Pa), ya que en todos los tubos de la ramificación la velocidad es la misma, y entonces la ecuación de Bernoulli quedaría con los mismos números.

Ejemplo 3) Caso de un caño que se ramifica en dos caños de sección diferente

"Dos caños de igual longitud, apoyados en una misma superficie horizontal, están conectados como indica la figura. La sección del tubo [1] es de 6 mm^2, el del [2] es 2 mm^2 y el del tubo [3] es 3 mm^2. Por el conjunto circula un líquido no viscoso y la presión en A es la misma que en B. Si por el tubo [2] circula un caudal de 10 ml/seg, ¿cuánto vale el caudal por [1]? a) 20 ml/s   b) 15 ml/s   c) 10 ml/s   d) 17 ml/s   e) 30 ml/s   f) 25 ml/s"

Podemos plantear la conservación del caudal:

Qentrante = Qsaliente

Es decir:
Q1 = Q2 +Q3
Q1 = 10 ml/seg + Q3

No conocemos ni Q1, ni Q3, ni las velocidades en 1 ni en 3... así que por el momento dejamos a esa ecuación así.

Por otra parte, en A podemos conocer la velocidad, ya que tenemos el caudal en [2] y su sección:
Q2 = vA . S2 --> vA = Q2/S2 --> vA = 10 ml/seg / 2 mm^2 = 5 . 10^(-6) m^3/ [10^(-6) m^2 . seg ]

 --> vA = 5 m/seg
Pero todavía no conocemos la velocidad en B.

Como además tenemos un dato sobre las presiones (pA = pB para los puntos indicados en la figura), vamos a plantear el Teorema de Bernoulli para poder usar ese dato.

El Teorema de Bernoulli debe plantearse para dos puntos sobre una misma línea de corriente. Es obvio que las partículas que pasan por A no pasan por B, por lo tanto AB no es una línea de corriente.  Pero sí podemos tomar un punto C en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por A, y otro punto D en el caño 1, sobre la misma línea de corriente que pasa por B (ver figura).

Entonces, planteamos Bernoulli entre C y A, teniendo en cuenta que HC = HA = 0 ya que todo el sistema se encuentra sobre una misma superficie horizontal:

Análogamente, planteamos Bernoulli entre D y B, usando que HD = HB = 0:

Pero los puntos C y D están en el mismo caño, con la misma sección, así que sus velocidades son iguales, y también lo son sus presiones: vC = VD y pC = pD. Por lo tanto, los miembros izquierdos de las últimas dos ecuaciones son iguales entre sí y, por propiedad transitiva, también tienen que ser iguales entre sí los miembros derechos. Así que llegamos a la conclusión de que:

Y como el enunciado dice que pA = pB --> simplificamos las presiones y queda que:

--> y simplificando, concluimos que las velocidades son iguales:  vA = vB

  
El valor de vA fue calculado antes, y es vA = 5 m/s, entonces tenemos que vB = 5 m/s. Y ahora que conocemos vB, usando la sección 3 podemos calcular Q3:

Q3 = vB . S3 = 5 m/s . 3 mm^2 = 15 . 10^(-6) m^3/seg = 15 ml/seg.

Ahora volvemos a la ecuación de conservación del caudal que teníamos al principio... ya podemos reemplazar Q3:

Q1 = Q2 + Q3 = 10 ml/seg + 15 ml/seg 
Q1 = 25 ml/seg . 

Respuesta: f) 25 ml/seg

Antes del próximo ejemplo, veamos un par de aproximaciones que muchas veces se usan al aplicar Bernoulli:

A) Cuando un chorro de agua sale al aire (ejemplo: a la salida de una manguera, o en un orificio practicado en la pared de un tanque para desagotarlo): si el chorrito del agua es bien delgado, podremos suponer que en el interior del chorrito, justo a la salida de la manguera / canilla / tanque / etc., la presión es aproximadamente la misma del aire que lo rodea.

B) Cuando la velocidad de uno de los puntos (A o B) es mucho más chica que la velocidad en el otro punto ... entonces la velocidad más chica puede despreciarse frente a la más grande. Esto pasa cuando se tiene, por ejemplo, un tanque que desagota (ver figura)... sobre la superficie del tanque se ubica el punto A; esa superficie es mucho más grande que la sección del chorrito de salida, por lo tanto, la velocidad con que desciende el fluido (vA) va a ser mucho más chica que la velocidad del chorro de salida (vB). Entonces, en estos casos, en el Teorema de Bernouilli se desprecia el término (1/2) . δ . vA^2.

Ahora continuemos con otro ejemplo:

Ejemplo 4) Caso de un tanque cerrado que desagota...

Consideremos el caso de este ejercicio de final: "Un tanque cerrado contiene un líquido de densidad 0,8 g/cm^3. Descarga mediante una manguera cuyo extremo se encuentra a 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque. Para que el líquido se descargue a una velocidad de 10 m/s, la presión manométrica del aire en el interior del tanque deberá ser (en kPa):
a) 32   b) 48  c)  148   d)  132  e) 100  f) 12 "

¡Primero tenemos que pensar cómo interpretar esto para hacer el dibujo!... nos dicen que un extremo de la manguera está 1 m por encima del nivel del líquido contenido en el tanque (o sea, 1 m más arriba del nivel del tanque). Ese extremo de la manguera, debería ser el extremo por donde sale el líquido.... ya que el otro extremo (del que no dicen nada) debería estar dentro del líquido (claro, si no, ¿cómo va a desagotarse el tanque?)

¿Cómo puede ser que el líquido salga más arriba del tanque? Bueno, en un tanque abierto esto no podría pasar... pero nos dicen que el tanque está cerrado... así que, si el aire encerrado sobre la superficie del tanque está a alta presión, el líquido sí va a poder salir.

Así que, el dibujo debería ser algo así:

La incógnita es la presión del aire encerrado, que es la misma presión en el punto A (pA), que está ubicado justo sobre la superficie líquido-aire encerrado. El punto B está ubicado a la salida de la manguera. Planteamos Bernoulli entre A y B:

Tenemos que  la densidad del líquido, pasada al sistema MKS, es δ = 800 kg/m^3.

En el punto A:
- Despreciamos el término de velocidad en A ya que consideramos que la superficie del tanque es mucho más grande que la sección de la manguera.
- Como A es el punto más bajo, ahí tomamos HA = 0
- La presión en A es incógnita. Trabajamos con presiones absolutas, por ahora.

En el punto B:
- La velocidad es dato, vB = 10 m/s.
- Como la altura de B se toma con referencia al cero que está a nivel de A, entonces HB = 1 m
- La presión en B absoluta es patm = 101325 Pa ya que el chorro de salida sale a la atmósfera.

Reemplazando todo lo anterior, queda:

pA + 0 + 0 = patm + (1/2) . 800 kg/m^3 . (10 m/s)^2 + 800 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 1 m
pA = patm + 40000 Pa + 8000 Pa
pA = patm + 48000 Pa

Podríamos reemplazar la presión atmosférica y calcular la presión absoluta en A... pero como se pide la presión manométrica en A: pmanom A = pA - patm , entonces directamente pasamos restando la presión atmosférica, y automáticamente se forma la presión manométrica en el miembro izquierdo:

pmanom A = pA - patm = 4800 Pa
pmanomA = 48 kPa . Así que la respuesta correcta es b) 48 kPa

Antes de ver el próximo ejemplo, veremos un caso particular del teorema de Bernoulli, el...


Teorema de Torricelli. Este teorema puede aplicarse cuando se cumplen las siguientes condiciones:
1) Las presiones de "entrada" y de "salida" (o sea, en A y en B) son iguales: pA = pB; el punto de salida (B) se encuentra por debajo de la entrada (A).
2) La sección "de entrada" (en A) es mucho mayor que la sección en B. Por lo tanto, la velocidad vA es despreciable frente a vB.
3) Y todas las otras hipótesis que se piden para que valga el Teorema de Bernoulli (todas se mencionaron al comienzo del artículo).
Bajo estas condiciones, vale, aproximadamente, que:

donde H es la diferencia de altura entre la superficie de entrada (punto A) y la sección de salida (punto B).







Ahora pasemos al...

Ejemplo 5)  Caso de un recipiente abierto que se desagota a través de una manguera:  

 "En un recipiente que contiene agua en reposo en contacto con la atmósfera, se coloca una manguera llena de agua tapada en sus dos extremos, como indica la figura. El área de la sección transversal de la manguera es uniforme y mucho menor que el área de la superficie libre del agua en el recipiente. Calcular, para un instante inmediatamente después de que se destapan los extremos de la manguera: a) la velocidad inicial del agua en B, b) la diferencia de presión entre A y C."

a) La "velocidad inicial" se refiere a la velocidad del agua, justito apenas se destapan los extremos de la manguera... sin dejar pasar más tiempo. Si se deja pasar más tiempo... el nivel de agua en el tanque va a ir descendiendo, y entonces los 80 cm marcados en la figura (ver), ya no van a ser 80 cm, sino menos... pero si calculamos la velocidad en la manguera apenas comienza a salir, entonces la profundidad del agua todavía no varió apreciablemente, y podremos usar todos los datos de la figura.

La velocidad que se pide, es en el punto B (arriba). Pero como la manguera es de sección constante, entonces, en un instante dado, la velocidad es la misma para todo punto de la manguera, es decir:

vA . SA = vB . SB = vC . SC
Como SA = SB = SC ->  vA = vB = vC

Entonces, calculemos la velocidad de la manguera en el punto que más fácil resulte.. o sea, donde más datos tengamos.... en A y en B no conocemos la presión, en cambio en C sí la conocemos: es la presión atmosférica, al igual que en la superficie libre del tanque. Observemos también que la velocidad en C se podría calcular mediante el teorema de Torricelli ya que se dan las condiciones para usar este teorema:

- la sección del tanque (en el punto D) es mucho mayor que la sección de la salida C, por lo tanto la velocidad en D es despreciable frente a la velocidad en C
- la presión en la superficie libre del tanque (en D) es la misma que en la salida C (presión atmosférica en ambas): pD = pC.
(Ver en la figura la línea de corriente entre D y C que se tomó)

Por lo tanto, se cumple:

donde vsalida = vC, y H = 80 cm, ya que es la diferencia de altura entre la superficie del tanque (D) y el extremo de salida de la manguera (C) . Entonces:

Y como en B la velocidad es la misma, entonces la respuesta a lo pedido es: vB = 4 m/s a)

 b) Se pide la diferencia de presión entre los puntos indicados en la figura como A y C. En C conocemos la presión (la atmosférica), no así en A. Entonces, plantearemos el teorema de Bernoulli entre A y C:

Como ya se mencionó, en el punto A, la velocidad es la misma que en C, ya que la manguera es toda de la misma sección, así que vA = vC, con lo cual los términos de velocidades en la expresión de arriba se simplifican. Como el punto C es el más bajo, tomamos HC = 0, con lo cual HA = 20 cm. Reemplazando todo esto, y usando que pC = patm, y la densidad del agua, queda:

pA + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m = patm
pA + 2000 Pa = patm
->  pA - patm = -2000 Pa

Es decir, que la diferencia de presión entre A y C (esta última es pC = patm) es de (-2000 Pa)... es una valor negativo, es decir que la presión en A es menor que la atmosférica.

Notar que en este problema, sería totalmente incorrecto calcular la presión en A relacionando el punto A y el punto D con el teorema de la hidrostática, ya que ahora el fluido está en movimiento, y por lo tanto no se puede aplicar dicho teorema. Además, notar que la presión en A, en este problema es menor que la atmosférica... si el fluido estuviera quieto, la presión en A sería mayor que la atmosférica.

Otra forma de calcular pA - patm: también se puede calcular la presión en A, relacionándola con el punto D, a través del teorema de Bernoulli aplicado entre D y A:

donde pD = patm, vD es despreciable frente a vA, HD= 80 cm y HA = 20 cm (ver figura), y vA = 4 m/s (se calculó en a)). Entonces, reemplazando todo:

patm + 0 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,8 m = pA + (1/2) . 1000 kg/m^3 . (4 m/s)^2 + 1000 kg/m^3 . 10 m/s^2 . 0,2 m

patm + 8000 Pa = pA + 8000 Pa + 2000 Pa
Y despejando se llega a que pA = patm -2000 Pa, o sea: pA - patm = -2000 Pa, igual que de la otra forma.

Otros ejemplos de aplicación del Teorema de Bernoulli (resueltos): 

- Fluido circulando en una cañería horizontal que tiene un cambio de sección
http://cbcbiofisica.blogspot.com/2011/05/problema-de-un-fluido-circulando-en-una.html

- Sifón con el cual se llena un vaso; es el problema nro. 2 resuelto en este enlace (es el que se vio en clase el Martes 9/9/14 a las 14 hs):
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2011/09/resolucion-del-parcialito-de-fluidos.html

- Terraza inundada que tiene un desagüe
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2013/09/terraza-inundada-con-desague.html

- Tanque con dos líquidos inmiscibles, con dos orificios:
http://cbcbiofisica.blogspot.com.ar/2010/09/resolucion-del-problema-del-tanque-con.html

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Presentaciones en Power Point sobre Dinámica

Aquí publico algunas presentaciones en Power Point sobre Dinámica, y también un video . Te sugerimos que las veas en orden, para entenderlas mejor.

1) Presentación sobre el tema: Fuerzas - Tipos de fuerzas - Descomposición de fuerzas

2) Presentación sobre el tema: Leyes de Newton

Esta presentación se realizó seleccionando diapositivas de:http://www.slideshare.net/fpinela/fsica-conceptual-leyes-de-newtonespol

3) Video sobre la 3ra. Ley de Newton (muy recomendable - complementa el Power Point nro. 2)

(El enlace es:  http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=Az7wMS0wpoE, por si querés verlo en YouTube)

4) Presentación sobre el tema: Diagrama de Cuerpo Libre y aplicación de las Leyes de Newton

Esta presentación fue confeccionada por María Inés Braga Menéndez, docente del CBC.

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Tema complementario (opcinal):

 Ingravidez aparente

Ingravidez aparente (artículo de Wikipedia)

Después de leer el anterior artículo, podés disfrutar del siguiente video, sobre el mismo tema:

(El enlace al video en YouTube es éste: http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=00d9Eb2RWbY)

Al pie de página podés dejar tus comentarios. Por favor, te pido que en ESTA entrada publoques solamente comentarios referentes a las presentaciones/videos anteriores. Si tu pregunta es sobre otro tema, por favor, usá la entrada de Blog que corresponda, o bien el espacio general para Consultas del 2do. Cuatrimestre, cuyo enlace vas a encontrar en la página principal del Blog.

Cinemática - Movimiento rectilíneo uniformemente variado

MRUV:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO: el móvil se mueve en línea recta y con aceleración constante. En este movimiento, la aceleración instantánea es siempre la misma, y por supuesto la aceleración media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:

Recordando que Δv = vf - v0 ("velocidad final menos velocidad inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando vf, nos queda:

vf = v0 + a (tf - t0)                 (1)

Cálculo de la posición final: puede demostrarse la siguiente expresión:

xf = x0 + v0 (tf - t0) + (1/2) a (tf - t0)²                   (2)

donde xf es la posición final y x0 es la posición inicial.

Ecuación complementaria
Despejando (tf - to) de la ecuación (2), reemplazando en (1), y operando algebraicamente, se llega a una ecuación llamada "complementaria" que relaciona posiciones con velocidades:

vf² - v0² = 2 a (xf - xo)

 
Esta ecuación es útil para problemas de MRUV donde no nos dan como dato, ni nos piden, los tiempos..


Ecuaciones horarias:
En problemas donde se conocen la aceleración, la velocidad inicial, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, y la velocidad en función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Estas expresiones se llaman "ecuaciones horarias" y nos permiten hacer tablas de valores para calcular la posición y la velocidad en todos los instantes que queramos. En este caso, las ecuaciones horarias quedan:

v(t) = v0 + a (t - t0)                                            (3)

donde v(t) se lee: "velocidad del móvil en el instante t", y

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2) a (t - t0)²                  (4)

donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

Remarcamos que tanto estas ecuaciones horarias, como las tres expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRUV.


Gráficos x - t, v - t y a - t para un MRUV

 Para un problema particular, v0, t0, y a son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (3) es la ecuación de una RECTA (velocidad en función del tiempo), y que (4) es la ecuación de una parábola (posición en función del tiempo).

Nota: muchas veces se toman to, xo, vo, como el instante, la posición y la velocidad iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en la posición x0, con velocidad vo para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, los gráficos de v vs t y x  vs t para un MRUV tienen la forma indicada a continuación:

En cada caso respectivo, la aceleración es constante en el tiempo:

Notar que:
- la pendiente en los gráficos de velocidad vs t está asociada a la aceleración.

- Cuando la aceleración es positiva, la parábola de los gráficos x vs t es cóncava. Si la aceleración es negativa, la parábola es convexa.

- El valor t = to - Vo/a es el instante para la cual la velocidad es CERO, y la posición es mínima (si a > 0) o máxima (si a < 0). Es cuando el móvil "pega la vuelta". Gráficamente, dicho valor es la abscisa del "vértice" de la parábola en los gráficos de x vs t.

Importante
Hay un error común que consiste en decir: "si la aceleración es negativa, está frenando". Esto no es siempre cierto, ya que en los gráficos de arriba puede notarse lo siguiente:

Si a > 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Si a > 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está frenando.
Si a < 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está frenando.

Si a < 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Conclusión: el móvil "está frenando" cuando el sentido de la aceleración es opuesto al de la velocidad.

 Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Consideremos los gráficos de VELOCIDAD vs tiempo. En estos gráficos, el AREA "con signo" entre el gráfico y el eje t representa el desplazamiento (como vimos en entradas anteriores del Blog, eso vale en general y no sólo para MRUV). Esto se ilustra en el siguiente gráfico:

Caso particular: tiro vertical y caída libre

Si se arroja o si se deja caer un cuerpo, y se desprecia el rozamiento con el aire, entonces el cuerpo se moverá  con MRUV, exclusivamente bajo la aceleración de la gravedad, que es de g = 9,8 m/s^2 (en los problemas suele aproximarse g = 10 m0s^2).  Los problemas de tiro vertical se resuelven exactamente igual que cualquier otro problema de MRUV, tomando como dato conocido el valor de la aceleración de la gravedad.


La aceleración de la gravedad "apunta" hacia el centro de la tierra.  Por lo tanto:

- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia arriba, entonces a = -10 m/s² = - g

- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia abajo, entonces a = +10 m/s² = g

En este blog, salvo indicación en contrario, usaremos, en los casos de tiro vertical, un sistema de referencia con el eje x apuntando hacia arriba. En este caso, las ecuaciones (3) y (4) quedan:

v(t) = v0  - g (t - t0)

x(t) = x0 + v0 (t - t0) - (1/2) g (t - t0)²   

siendo g = 10 m/s² (NO le agregues otro signo negativo aparte del que ya está en las ecuaciones!!)

Si se arroja un cuerpo hacia arriba, entonces el mismo alcanzará su altura máxima cuando su velocidad sea cero. Entonces, el instante para el cual la altura es máxima es:

t (altura máxima) = to + Vo/g = to + Vo / 10m/s²

Reemplazando este valor de t, puede hallarse la posición para la cual la velocidad es cero:

xf = xo + vo²/(2 g)

Si se toma vo como la velocidad con que se arrojó el cuerpo (ojo!), entonces la altura máxima, medida desde el punto en que se lo arrojó, es:   hmax = vo²/(2g)


Caída libre: un caso particular de lo anterior, es el de un cuerpo que se "deja caer". Por lo tanto, valen las ecuaciones dadas arriba, con Vo = 0.

En esta entrada de Blog hay un ejemplo resuelto de tiro vertical, con dos sistemas de referencia diferente, para poder comparar qué datos cambian al cambiar de sstema:

Tiro vertical con dos sistemas de referencia (clickear aquí)

Movimiento rectilíneo uniforme

MRU:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: el móvil se mueve en línea recta y con velocidad constante. En este movimiento, la velocidad instantánea es siempre la misma, y por supuesto la velocidad media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:

Recordando que Δx = xf - x0 ("x final menos x inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando xf, nos queda:

xf = x0 + v (tf - t0)

En cuanto a la aceleración, es siempre CERO en un MRU, ya que Δv = 0 siempre.


Ecuación horaria:
En problemas donde se conocen la velocidad, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Esta expresión genérica se llama "ecuación horaria" y nos permite hacer una tabla de valores para calcular la posición en todos los instantes que queramos. En este caso, la ecuación horaria queda:

x(t) = x0 + v (t - t0)                   (1)

donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

¡Ojo! Tanto esta ecuación horaria, como las dos expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRU.

Gráficos x - t y v - t para un MRU

Para un problema particular, x0, t0, y v son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (1) es la ecuación de una RECTA si la graficamos en los ejes x-t :

Nota: se acostumbra tomar (t0, x0), como el instante y la posición iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en x0 para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, Los gráficos de x vs t y v vs t para un MRU tienen la forma indicada a continuación:

En el gráfico de x vs t, la pendiente está asociada a la velocidad:  

- si la pendiente es positiva, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal, mayor es la velocidad. 

- si la pendiente es negativa, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal,  más negativa es la velocidad.

Esto se ilustra en la figurade la derecha, donde se muestra la posición en función del tiempo para cinco móviles con diferente velocidad. En el recuadro se indica cómo se ordenan las velocidades de menor a mayor.

Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Como hemos mencionado en la entrada del Blog sobre conceptos generales de cinemática, para un gráfico de velocidad vs tiempo, el área entre el gráfico y el eje t está asociado al desplazamiento del móvil:

                                                          

Ejemplo

Un auto se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s, durante 20 s. Luego, da marcha atrás a una velocidad de 5 m/s, hasta retroceder 20 m, donde se detiene.

a) Escribir la ecuación horaria para cada etapa y graficar x vs t para ambas (en el mismo gráfico).

b) ¿En dónde está el auto a los 22 segundos después de partir?
Nota: ¡primero tratá de hacerlo antes de seguir leyendo!

a) Hagamos un esquema de la situación. En el esquema (no está en escala) ubiquemos las datos que tenemos.  Llamamos t = 0 al instante de partida, y x = 0 al punto de donde el auto parte. 

Cada etapa es un MRU.

1ra. etapa:

x(t) = x0 + v1 (t - t0) --> aquí tomamos t0 = 0 y x0 = 0 que es el punto de partida. v1 = 10 m/s. Queda:

x(t) = 10 m/s . t    (1)

Esta ecuación es válida para 0 ≤ t ≤ 20 s

2da. etapa:

x(t) = x'0 + v2 (t - t'0) 

* Tomamos t'0 = 20s que es cuando se inicia la 2da. etapa. 

* PERO no tenemos el correspondiente valor x'0 --> en el esquema, podemos apreciar que la posición inicial de la 2da. etapa, es igual a la posición FINAL de la  1ra. etapa. Regresemos entonces a la ecuación (1) y reemplacemos t = 20 s --> por lo tanto, x(a los 20 s) = 200 m. 

--> x'0  = 200 m.

* v2 = - 5 m/s (es negativa, OJO!)

Entonces:

x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s)     (2)

Nos faltaría saber hasta qué t es válida esta segunda ecuación. Nos dicen que el auto retrocede 20 m y ahí se detiene --> esos 20 m están contados desde x = 200 m, por lo tanto, la posición final es x = 180 m. Hallemos entonces cuánto vale t:

180 m = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) --> 

5 m/s (t - 20 s) = 20 m --> t - 20 s = 4 s

--> t = 24 s

Es decir que al final de la 2da. etapa, nuestro cronómetro marca t = 24 s (recordemos que t se medía desde el principio) por lo tanto para la 2da. etapa: 20 s ≤ t ≤ 24 s.

Nota: observar que estaría MAL si en la ecuación (2) tomamos t0 = 0 y x0 = 0, porque la "combinación" t0 =0, x0= 0 pertenece a la primera etapa y no a la segunda.

Volquemos todo esto en el gráfico x vs t:

b) A los 22 segundos después de partir, el auto está en la segunda etapa. Entonces, para saber dónde está, reemplazamos este instante particular en la ecuación (2):

x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) 

x(22 s) =  200 m - 5 m/s (22s - 20 s)    -->

 x(22 s) = 190 m

Fin. :) 

Cinemática - conceptos básicos

Movimiento rectilíneo
Vamos a estudiar movimientos rectilíneos, es decir, movimientos que tienen lugar en línea recta. Para describirlos, elegiremos un eje en la dirección en que el móvil se desplaza.

x = posición del móvil.
Δx = desplazamiento = x(final) - x(inicial)
Con x indicamos una posición, que es un punto en la recta, en cambio con Δx indicamos un desplazamiento, es decir una diferencia entre dos posiciones.

t = instante de tiempo
Δt = intervalo de tiempo = t(final) - t(inicial)

Con t indicamos un instante de tiempo, que no tiene duración (es lo que marca un cronómetro o un reloj), en cambio con Δt indicamos un intervalo de tiempo entre dos instantes

Velocidad media
Se define la velocidad media de un móvil que se desplaza desde xi hasta xf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

Esta expresión es válida para cualquier clase de movimiento rectilíneo.

• Rapidez media: Además de la velocidad media, hay otra velocidad que puede ser útil, que se llama rapidez media. La rapidez media se define como el cociente entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo empleado en recorrerla: rm = d/Δt. Esta "rapidez media" puede ser diferente a la velocidad media, ya que la distancia recorrida, no tiene por qué ser igual al desplazamiento (¡recordar lo visto en clase!).

Velocidad instantánea
Si queremos saber la "velocidad exacta" que tiene el móvil cuando pasa justo por cierto punto x, entonces: tomamos medimos la velocidad media en un intervalo de tiempo muy pequeño Δt :

En este intervalito, el móvil se va a desplazar una cantidad también muy pequeña, Δx, y cuando más pequeño sea el intervalo que tomamos, la velocidad media se va a parecer cada vez más a la velocidad real. Si tomamos límite para t teniendo a cero, obtendremos un valor de velocidad que llamaremos velocidad instantánea.Matemáticamente esto se expresa:

En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad" a secas (notación: v), nos referiremos siempre a la velocidad instantánea.


Interpretación gráfica de la velocidad en ejes x - t

Notar la línea recta roja que une los puntos de coordenadas (t,x) y (t + Δt , x + Δx). La pendiente de esa recta está asociada al cociente Δx/Δt, que es la velocidad media en el tramo indicado.

Si tomamos Δt cada vez más pequeño, la dirección de la línea roja se va pareciendo cada vez más a la dirección de la recta tangente a la curva en (t,x). Por lo tanto, la velocidad instantánea v(t) (en el caso general, puede depender del tiempo) es la derivada de la posición como función del tiempo x(t):

Interpretación gráfica del desplazamiento en un gráfico v -t
Ahora apliquemos un resultado importante que se ve en análisis matemático: si la velocidad es la derivada de la posición, entonces la posición es la integral de la velocidad, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

Es muy importante entender la aplicación gráfica de la ecuación anterior: en un gráfico de velocidad vs tiempo, el área "con signo" (ojo!) limitada por la curva de velocidad, el eje t, y dos instantes, es igual al desplazamiento entre esos instantes. Esto se muestra en los dos ejemplos gráficos a continuación:

Pasemos ahora a definir otro concepto: el de aceleración, que está relacionado con el cambio de la velocidad.

Aceleración media
Se define la aceleración media de un móvil que cambia su velocidad desde un valor vi hasta un valor vf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

donde Δv = vf - vi (velocidad final menos velocidad inicial) y Δt = tf - ti .

Aceleración instantánea
Análogamente a la velocidad instantánea, se define la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando Δt --> 0:

En adelante, cada vez que hablemos de "aceleración" a secas (notación: a), nos referiremos siempre a la aceleración instantánea.

Interpretación gráfica de la aceleración en ejes v - t

Antes habíamos visto que la velocidad era la derivada de la posición, y que por lo tanto estaba asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico x - t.
Análogamente a lo anterior, ahora la aceleración es la derivada de la velocidad, y por lo tanto, la aceleración está asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico v - t (velocidad vs. tiempo):

Velocidad: integral de la aceleración
Como la aceleración es la derivada de la velocidad, entonces la velocidad es la integral de la aceleración, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

De esto se deduce que: en un gráfico de a - t (aceleración vs. tiempo), el área "con signo" bajo la gráfica, entre dos instantes, es la variación de velocidad entre esos instantes.

En la próxima entrada haremos una síntesis de un caso particular de movimiento rectilíneo: el MRU.