Cinemática - conceptos básicos

Movimiento rectilíneo
Vamos a estudiar movimientos rectilíneos, es decir, movimientos que tienen lugar en línea recta. Para describirlos, elegiremos un eje en la dirección en que el móvil se desplaza.

x = posición del móvil.
Δx = desplazamiento = x(final) - x(inicial)
Con x indicamos una posición, que es un punto en la recta, en cambio con Δx indicamos un desplazamiento, es decir una diferencia entre dos posiciones.

t = instante de tiempo
Δt = intervalo de tiempo = t(final) - t(inicial)

Con t indicamos un instante de tiempo, que no tiene duración (es lo que marca un cronómetro o un reloj), en cambio con Δt indicamos un intervalo de tiempo entre dos instantes

Velocidad media
Se define la velocidad media de un móvil que se desplaza desde xi hasta xf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

Esta expresión es válida para cualquier clase de movimiento rectilíneo.

• Rapidez media: Además de la velocidad media, hay otra velocidad que puede ser útil, que se llama rapidez media. La rapidez media se define como el cociente entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo empleado en recorrerla: rm = d/Δt. Esta "rapidez media" puede ser diferente a la velocidad media, ya que la distancia recorrida, no tiene por qué ser igual al desplazamiento (¡recordar lo visto en clase!).

Velocidad instantánea
Si queremos saber la "velocidad exacta" que tiene el móvil cuando pasa justo por cierto punto x, entonces: tomamos medimos la velocidad media en un intervalo de tiempo muy pequeño Δt :

En este intervalito, el móvil se va a desplazar una cantidad también muy pequeña, Δx, y cuando más pequeño sea el intervalo que tomamos, la velocidad media se va a parecer cada vez más a la velocidad real. Si tomamos límite para t teniendo a cero, obtendremos un valor de velocidad que llamaremos velocidad instantánea.Matemáticamente esto se expresa:

En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad" a secas (notación: v), nos referiremos siempre a la velocidad instantánea.


Interpretación gráfica de la velocidad en ejes x - t

Notar la línea recta roja que une los puntos de coordenadas (t,x) y (t + Δt , x + Δx). La pendiente de esa recta está asociada al cociente Δx/Δt, que es la velocidad media en el tramo indicado.

Si tomamos Δt cada vez más pequeño, la dirección de la línea roja se va pareciendo cada vez más a la dirección de la recta tangente a la curva en (t,x). Por lo tanto, la velocidad instantánea v(t) (en el caso general, puede depender del tiempo) es la derivada de la posición como función del tiempo x(t):

Interpretación gráfica del desplazamiento en un gráfico v -t
Ahora apliquemos un resultado importante que se ve en análisis matemático: si la velocidad es la derivada de la posición, entonces la posición es la integral de la velocidad, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

Es muy importante entender la aplicación gráfica de la ecuación anterior: en un gráfico de velocidad vs tiempo, el área "con signo" (ojo!) limitada por la curva de velocidad, el eje t, y dos instantes, es igual al desplazamiento entre esos instantes. Esto se muestra en los dos ejemplos gráficos a continuación:

Pasemos ahora a definir otro concepto: el de aceleración, que está relacionado con el cambio de la velocidad.

Aceleración media
Se define la aceleración media de un móvil que cambia su velocidad desde un valor vi hasta un valor vf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

donde Δv = vf - vi (velocidad final menos velocidad inicial) y Δt = tf - ti .

Aceleración instantánea
Análogamente a la velocidad instantánea, se define la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando Δt --> 0:

En adelante, cada vez que hablemos de "aceleración" a secas (notación: a), nos referiremos siempre a la aceleración instantánea.

Interpretación gráfica de la aceleración en ejes v - t

Antes habíamos visto que la velocidad era la derivada de la posición, y que por lo tanto estaba asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico x - t.
Análogamente a lo anterior, ahora la aceleración es la derivada de la velocidad, y por lo tanto, la aceleración está asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico v - t (velocidad vs. tiempo):

Velocidad: integral de la aceleración
Como la aceleración es la derivada de la velocidad, entonces la velocidad es la integral de la aceleración, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

De esto se deduce que: en un gráfico de a - t (aceleración vs. tiempo), el área "con signo" bajo la gráfica, entre dos instantes, es la variación de velocidad entre esos instantes.

En la próxima entrada haremos una síntesis de un caso particular de movimiento rectilíneo: el MRU.