Un problema integrador de mecánica

Te proponemos resolver este problema de mecánica, que une todos los conceptos vistos: cinemática, dinámica, trabajo, energía y potencia.

Aquí podés descargar el enunciado del problema: Problema integrador de mecánica

Y aquí podés descargar la resolución del mismo: Resolución del problema integrador de mecánica

Problema donde se conoce un gráfico de Fuerza vs tiempo (pasajero en ascensor)

Problema: Un pasajero de 70 kg se desplaza en ascensor. El módulo de la fuerza que el piso ejerce sobre sus pies está representado en el siguiente gráfico:
 

Sabiendo que el ascensor parte del reposo y despreciando sus rozamientos:
a) Calcular la distancia total recorrida entre 0 y 20 seg.
b) Determinar el trabajo de las fuerzas no conservativas entre 0 y 5 seg.


Resolución:
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Problema del montacargas que sube y al que se le corta el cable

Problema: Un montacargas de 1500 kg que se encuentra inicialmente en reposo en planta baja, parte hacia arriba con una aceleración de 0,50 m/s^2 y a los 12 seg del ascenso, se corta el cable de acero que lo eleva. Se pide:

a) Hallar el tiempo que tarda en llegar al piso.
b) Hallar la Energía Cinética justo antes de impactar en el piso.

Resolución:
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Resolución del parcialito de mecánica

Parcialito de Mecánica

Problema 1.

Un cuerpo parte del reposo, y se mueve con una aceleración en función del tiempo que se muestra en el gráfico adjunto.

a) Para el intervalo de 0 a 9 segundos, confeccionar los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, y poner en ambos los valores correspondientes para los instantes 0, 3, 6 y 9 segundos.

b) Calcular el desplazamiento, la velocidad media, y la distancia recorrida entre 0 y 9 segundos.

Resolución:

a) En este problema hay varias etapas de movimiento: de 0 a 3 segundos, un MRUV con aceleración -2 m/s^2, de 3 a 6 segundos, OTRO MRUV con aceleración de 2 m/s^2, y de 6 a 9 segundos, un MRU, ya que la aceleración es cero en ese intervalo. Así que vamos resolviendo por etapas. Primero veamos cualitativamente qué podemos esperar:

Etapa 1, de 0 a 3 segundos: Como la aceleración es constante y negativa, el gráfico de velocidad vs tiempo TIENE que dar una recta con pendiente negativa --> algo así: 

con una ubicación y pendiente a determinar. Además, como el movimiento es un MRUV, el gráfico de x (posición) vs tiempo, tiene que ser un trozo de parábola convexa, ya que la aceleración es negativa. (Se sugiere dar un vistazo a esta otra entrada de Blog).

Etapa 2: de 3 a 6 segundos: es MRUV y tiene aceleración positiva, por lo tanto la velocidad vs t dará una recta con pendiente positiva. El gráfico de posición vs t tiene que ser un trozo de parábola cóncava, ya que ahora a > 0.

Etapa 3, de 6 a 9 segundos: la aceleración es cero, por lo tanto la velocidad es una recta horizontal, o sea, una CONSTANTE. La posición vs tiempo también tiene que ser una recta.

Calculemos numéricamente los valores en cada etapa:

Etapa 1, de 0 a 3 segundos: nos dicen que la velocidad inicial es cero, tenemos la aceleración y la variación de tiempo, así que calculamos la velocidad final de esta etapa, o sea, la velocidad a los 3 segundos:

V(a los 3 seg) = 0 + (-2m/s^2)  (3s - 0s) = - 6 m/s

También podemos calcular la posición final, o sea, la posición a los 3 segundos, tomando arbitrariamente Xo = 0 como posición inicial.

X (a los 3 seg) = 0 + 0 . (3 - 0) + (1/2) (-2 m/s^2) (3s - 0s)^2 = - 9 m

La "velocidad final" pasa a ser la "velocidad inicial" de la próxima etapa... y la "posición final" de esta etapa pasa a ser la "posición inicial" de la próxima etapa.

Etapa 2, de 3 a 6 segundos: la velocidad inicial ahora es -6 m/s, y la posición inicial es -9 m. La aceleración ahora es 2 m/s^2. Así que, con las ecuaciones del MRUV calculamos la velocidad y la posición al "final" de esta etapa, o sea, en t = 6 segundos. OJO que ahora t(inicial) = 3segundos.

V(a los 6 seg) = -6 m/s + 2m/s^2  (6s - 3s) = 0 m/s

X (a los 6 seg) = -9 m + (-6 m/s) . (6s - 3s) + (1/2) 2m/s^2(6s - 3s)^2 = - 18 m

Etapa 3, de 6 a 9 segundos: la aceleración es cero, así que la velocidad es constante. Y además, como nos dio que la "velocidad final" de la etapa anterior, es 0 m/s --> eso significa que la velocidad va a seguir siendo cero, ya que no cambia!! Y entonces, la posición va a quedar como estaba, esto es: X = -18 m. La posición vs t será entones una recta horizontal en este caso.

Ahora juntamos toda la información anterior en los gráficos que nos piden:

Notar que:

- el primer trozo de parábola tiene el vértice en t = 0, ya que en t= 0, la velocidad es cero, y la velocidad es la PENDIENTE en el gráfico x vs t.

- el segundo trozo de parábola tiene el vértice en t = 6 s, por la misma razón: la velocidad en t = 6, es cero.

b) El desplazamiento total entre 0 y 9 segundos es ΔX = Xfinal - X inicial = -18 m - 0 m = -18 m.

La distancia recorrida, en este caso es igual en valor absoluto, ya que el móvil se movió siempre hacia el mismo lado (no "pegó la vuelta" en ningún momento). O sea: distancia recorrida = 18 m (es positivo).

Velocidad media (de 0 a 9 seg) = ΔX / Δt = -18 m/9 s = -2 m/s.

Problema 2:

Un cuerpo de 20 kg inicialmente quieto a 2m de altura, desciende por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, sin rozamiento. Sobre el cuerpo se aplica, todo el tiempo, una fuerza paralela al movimiento y dirigida hacia abajo, igual a la quinta parte del peso del cuerpo. Encontrar:

a) La aceleración del cuerpo      

b) La energía mecánica del cuerpo y el trabajo de la fuerza resultante cuando recorrió la mitad del plano.

Primero hagamos un esquema de lo que nos describe el problema. Ubicamos las fuerzas que actúan, y un sistema de referencias conveniente x-y:

Como conocemos las fuerzas, para hallar la aceleración podemos plantear la 2da. Ley de Newton, en x y en y. Sabemos que como el cuerpo se desplaza en forma rectilínea en la dirección x, entonces la componente y de la aceleración es cero (ay = 0), por lo tanto, la aceleración va toda en x (ax = a). Además, recordemos que tenemos que descomponer el Peso en Px y Py. La Normal no se descompone porque va sólo en y. La otra fuerza F, en este caso no se descompone, porque es paralela al eje x (eso nos lo dice el enunciado). Entonces nos queda:

Px + F = m a

Además tenemos que:

P = m . g = 20 kg . 10 m/s^2 = 200 N

Px = P . sen(30) = 200 N . (1/2) = 100 N

F es la quinta parte del peso, o sea F = P/5 = 40 N

Reemplazando Px, F y m en la ecuación anterior, sale a = 7 m/s^2.

b) Necesitamos calcular la energía mecánica del cuerpo cuando recorrió la mitad del plano. Hallemos qué distancia es ésa:

La longitud del plano inclinado cumple: sen(30) = 2m/L --> L = 2m/sen(30) = 4m

Por lo tanto, nos piden la energía mecánica y el trabajo de la resultante cuando recorrió 2 m.

Para calcular la energía mecánica en ese punto, vamos a necesitar la velocidad. Podemos usar la ecuación complementaria:

V (a los 2 m)^2 - Vo^2 = 2 . a . ΔX = 2 . 7 m/s^2 . 2m = 28 m^2/s^2

Como Vo = 0 (está inicialmente quieto), entonces nos queda: 

V (a los 2 m) ^2 = 28 m^2/s^2

Esta velocidad al cuadrado, la vamos a reemplazar en la energía mecánica. Pero también nos falta saber la altura final: de acuerdo al dibujito de arriba, es fácil ver que Hf = 1 m.

Entonces: Emf = (1/2) . 20 kg . 28 m^2/s^2 + 20 kg . 10 m/s^2 . 1m = 480 J

Falta el trabajo de la resultante. Podemos hacerlo de dos formas:

Por el teorema de las fuerzas vivas: Lres = ΔEcin

Y como ya tenemos las velocidades, entonces:

Lres = (1/2) 20 kg . 28 m^2/s^2 - (1/2) . 20 kg . 0m/s = 280 J

La otra forma: es usar la definición de trabajo, haciendo f"uerza por distancia por coseno del ángulo" . Tenemos que usar la Fuerza resultante. Veamos cuál es: Py se compensa con N, así que no se cuentan. Quedan Px y F, en la misma dirección, que se suman. Así que :

Fres = F + Px = 40 N + 100 N = 140 N.

La distancia recorrida es la mitad de la longitud del plano (NO la altura): 2m .El ángulo que tenemos que tomar es CERO!! porque es el ángulo ENTRE la fuerza y la dirección y sentido de movimiento. Entonces queda:

Lres = 140 N . 2 m. cos(0) = 280 J.

O sea que por los dos métodos nos da igual.


También podemos verificar que calculamos bien la energía mecánica, verificándola con el teorema:


LFNC = ΔEmec

Las fuerzas no conservativas, en este problema son: N y F. Como el piso no se mueve, N es perpendicular a la trayectoria y por lo tanto no hace trabajo. F sí lo hace, entonces:

LF = Emf - Emi


Despejamos:  Emf = Emi + LF

La energía mecánica inicial es sólo potencial ya que tiene velocidad inicial cero, entonces:  
Emi = m . g. Hi = 20 kg . 10 m/s^2 . 2m = 400 J
El trabajo de F, es LF = 40 N . 2m . cos(0) = 80 J

Por lo tanto, nuevamente obtenemos: Emf = 480 J

Problema 3:

El gráfico representa la energía potencial (en kJ) en función del tiempo, para un cuerpo de 40 kg que se mueve verticalmente.

a) Graficar la posición y la velocidad del cuerpo en función del tiempo.

b) Graficar la fuerza total sobre el cuerpo y la energía mecánica en función del tiempo.

 a) En este gráfico nos dan la energía potencial del cuerpo en función del tiempo. Recordemos lo que es la energía potencial:

Ep = m . g .h

Como m y g son valores fijos, como Ep varía, eso significa que lo que varía es h --> la altura,. Como el cuerpo se mueve verticalmente, entonces la altura es la posición!!!! Podríamos escribir:

Ep(t) = m . g . x(t) 

si elegimos un eje x vertical, con sentido positivo hacia arriba. El tiempo entre paréntesis indica que tanto x como Ep, son funciones del tiempo.

Entonces para calcular x, lo despejamos:

x(t) = Ep(t) / mg

Esto vale para cada instante, es decir: el x inicial va a tener la Epinicial, y el xfinal va a tener la Epfinal:


Xo =  16000 / 400 m = 40 m
Xf =  0 /(mg) = 0 m

Estos dos puntos tienen que estar unidos por una línea recta porque: Ep es una línea recta, y la estamos dividiendo por un número fijo, eso también tiene que ser una línea recta (es como cambiar la escala del gráfico).

¿Y cómo es la velocidad= Si X vs t es una línea recta, entonces seguro que la velocidad es constante --> o sea, tiene que ser un MRU (darse cuenta de esto es lo más importante del problema).  Para hallar la velocidad, usamos:los valores en t = 0 y en t = 20 segundos.

V = (Xf - Xo)/(Tf - To) = (0 - 40 m)/(20 seg - 0 seg) = - 2 m/s

Entonces los gráficos de posición y velocidad nos quedan:

b) Como ya dijimos, el móvil hace un MRU. Como se mueve en MRU, por las leyes de Newton, la fuerza resultante es cero todo el tiempo. Así que el gráfico queda:

Por último, analicemos la energía mecánica:  Em = Ec + Ep

Ya vimos que la velocidad es constante --> por lo tanto, la energía cinética lo es:

Ec = (1/2) . 40 kg. . (-2 m/s)^2 = 80 J --> esto es válido en cualquier instante.

La energía potencial Ep, es la que nos dan en el gráfico del enunciado. Si a esa energía potencial le sumamos  un número fijo, en este caso 80 J , el gráfico va a ser igual que el de Ep pero "subido" en 80 J. O sea:

Nota: el último gráfico no está en escala, para que "se noten" los 80 J.

Comentario: el móvil del problema NO puede ir en caída libre ya que en un MRU, la resultante de las fuerzas es cero -> esta situación podría ser, por ejemplo, la de un bloque que desciende unido a una cuerda (Tensión y Peso), pero nunca una caída libre.

PD: si notás algún error, avisá aquí debajo!!! Escribí esto muy rápido!!

Cinemática - Movimiento rectilíneo uniformemente variado

MRUV:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO: el móvil se mueve en línea recta y con aceleración constante. En este movimiento, la aceleración instantánea es siempre la misma, y por supuesto la aceleración media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:

Recordando que Δv = vf - v0 ("velocidad final menos velocidad inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando vf, nos queda:

vf = v0 + a (tf - t0)                 (1)

Cálculo de la posición final: puede demostrarse la siguiente expresión:

xf = x0 + v0 (tf - t0) + (1/2) a (tf - t0)²                   (2)

donde xf es la posición final y x0 es la posición inicial.

Ecuación complementaria
Despejando (tf - to) de la ecuación (2), reemplazando en (1), y operando algebraicamente, se llega a una ecuación llamada "complementaria" que relaciona posiciones con velocidades:

vf² - v0² = 2 a (xf - xo)

 
Esta ecuación es útil para problemas de MRUV donde no nos dan como dato, ni nos piden, los tiempos..


Ecuaciones horarias:
En problemas donde se conocen la aceleración, la velocidad inicial, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, y la velocidad en función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Estas expresiones se llaman "ecuaciones horarias" y nos permiten hacer tablas de valores para calcular la posición y la velocidad en todos los instantes que queramos. En este caso, las ecuaciones horarias quedan:

v(t) = v0 + a (t - t0)                                            (3)

donde v(t) se lee: "velocidad del móvil en el instante t", y

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2) a (t - t0)²                  (4)

donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

Remarcamos que tanto estas ecuaciones horarias, como las tres expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRUV.


Gráficos x - t, v - t y a - t para un MRUV

 Para un problema particular, v0, t0, y a son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (3) es la ecuación de una RECTA (velocidad en función del tiempo), y que (4) es la ecuación de una parábola (posición en función del tiempo).

Nota: muchas veces se toman to, xo, vo, como el instante, la posición y la velocidad iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en la posición x0, con velocidad vo para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, los gráficos de v vs t y x  vs t para un MRUV tienen la forma indicada a continuación:

En cada caso respectivo, la aceleración es constante en el tiempo:

Notar que:
- la pendiente en los gráficos de velocidad vs t está asociada a la aceleración.

- Cuando la aceleración es positiva, la parábola de los gráficos x vs t es cóncava. Si la aceleración es negativa, la parábola es convexa.

- El valor t = to - Vo/a es el instante para la cual la velocidad es CERO, y la posición es mínima (si a > 0) o máxima (si a < 0). Es cuando el móvil "pega la vuelta". Gráficamente, dicho valor es la abscisa del "vértice" de la parábola en los gráficos de x vs t.

Importante
Hay un error común que consiste en decir: "si la aceleración es negativa, está frenando". Esto no es siempre cierto, ya que en los gráficos de arriba puede notarse lo siguiente:

Si a > 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Si a > 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está frenando.
Si a < 0, y v > 0 simultáneamente, el móvil está frenando.

Si a < 0, y v < 0 simultáneamente, el móvil está yendo cada vez más rápido.

Conclusión: el móvil "está frenando" cuando el sentido de la aceleración es opuesto al de la velocidad.

 Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Consideremos los gráficos de VELOCIDAD vs tiempo. En estos gráficos, el AREA "con signo" entre el gráfico y el eje t representa el desplazamiento (como vimos en entradas anteriores del Blog, eso vale en general y no sólo para MRUV). Esto se ilustra en el siguiente gráfico:

Caso particular: tiro vertical y caída libre

Si se arroja o si se deja caer un cuerpo, y se desprecia el rozamiento con el aire, entonces el cuerpo se moverá  con MRUV, exclusivamente bajo la aceleración de la gravedad, que es de g = 9,8 m/s^2 (en los problemas suele aproximarse g = 10 m0s^2).  Los problemas de tiro vertical se resuelven exactamente igual que cualquier otro problema de MRUV, tomando como dato conocido el valor de la aceleración de la gravedad.


La aceleración de la gravedad "apunta" hacia el centro de la tierra.  Por lo tanto:

- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia arriba, entonces a = -10 m/s² = - g

- Si tomamos un eje x vertical, con sentido positivo hacia abajo, entonces a = +10 m/s² = g

En este blog, salvo indicación en contrario, usaremos, en los casos de tiro vertical, un sistema de referencia con el eje x apuntando hacia arriba. En este caso, las ecuaciones (3) y (4) quedan:

v(t) = v0  - g (t - t0)

x(t) = x0 + v0 (t - t0) - (1/2) g (t - t0)²   

siendo g = 10 m/s² (NO le agregues otro signo negativo aparte del que ya está en las ecuaciones!!)

Si se arroja un cuerpo hacia arriba, entonces el mismo alcanzará su altura máxima cuando su velocidad sea cero. Entonces, el instante para el cual la altura es máxima es:

t (altura máxima) = to + Vo/g = to + Vo / 10m/s²

Reemplazando este valor de t, puede hallarse la posición para la cual la velocidad es cero:

xf = xo + vo²/(2 g)

Si se toma vo como la velocidad con que se arrojó el cuerpo (ojo!), entonces la altura máxima, medida desde el punto en que se lo arrojó, es:   hmax = vo²/(2g)


Caída libre: un caso particular de lo anterior, es el de un cuerpo que se "deja caer". Por lo tanto, valen las ecuaciones dadas arriba, con Vo = 0.

En esta entrada de Blog hay un ejemplo resuelto de tiro vertical, con dos sistemas de referencia diferente, para poder comparar qué datos cambian al cambiar de sstema:

Tiro vertical con dos sistemas de referencia (clickear aquí)

Movimiento rectilíneo uniforme

MRU:
Significa MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME: el móvil se mueve en línea recta y con velocidad constante. En este movimiento, la velocidad instantánea es siempre la misma, y por supuesto la velocidad media tomada en cualquier intervalo también. Por lo tanto:

Recordando que Δx = xf - x0 ("x final menos x inicial") y Δt = tf - t0 ("instante final menos instante inicial"), y despejando xf, nos queda:

xf = x0 + v (tf - t0)

En cuanto a la aceleración, es siempre CERO en un MRU, ya que Δv = 0 siempre.


Ecuación horaria:
En problemas donde se conocen la velocidad, el instante inicial y la posición inicial (usualmente estos dos últimos valores se fijan convenientemente) miuchas veces conviene expresar la posición como función del tiempo, para un instante arbitrario t. Es decir, SIN reemplazar el tf por un número, sino dejándolo escrito en forma genérica. Esta expresión genérica se llama "ecuación horaria" y nos permite hacer una tabla de valores para calcular la posición en todos los instantes que queramos. En este caso, la ecuación horaria queda:

x(t) = x0 + v (t - t0)                   (1)

donde x(t) se lee: "posición del móvil en el instante t".

¡Ojo! Tanto esta ecuación horaria, como las dos expresiones anteriores, son válidas solamente para el MRU.

Gráficos x - t y v - t para un MRU

Para un problema particular, x0, t0, y v son valores FIJOS, en cambio el tiempo t es una variable. Eso significa que (1) es la ecuación de una RECTA si la graficamos en los ejes x-t :

Nota: se acostumbra tomar (t0, x0), como el instante y la posición iniciales de la etapa de movimiento que estamos estudiando, respectivamente. No es necesario que sean los valores "iniciales", pero sí es fundamental que en t = t0 en móvil esté en x0 para esa etapa (esto queda más claro en el ejemplo numérico de más abajo).

Por todo lo dicho, Los gráficos de x vs t y v vs t para un MRU tienen la forma indicada a continuación:

En el gráfico de x vs t, la pendiente está asociada a la velocidad:  

- si la pendiente es positiva, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal, mayor es la velocidad. 

- si la pendiente es negativa, cuanto más inclinada esté con respecto a la horizontal,  más negativa es la velocidad.

Esto se ilustra en la figurade la derecha, donde se muestra la posición en función del tiempo para cinco móviles con diferente velocidad. En el recuadro se indica cómo se ordenan las velocidades de menor a mayor.

Cálculo del desplazamiento en forma gráfica

Como hemos mencionado en la entrada del Blog sobre conceptos generales de cinemática, para un gráfico de velocidad vs tiempo, el área entre el gráfico y el eje t está asociado al desplazamiento del móvil:

                                                          

Ejemplo

Un auto se desplaza a una velocidad constante de 10 m/s, durante 20 s. Luego, da marcha atrás a una velocidad de 5 m/s, hasta retroceder 20 m, donde se detiene.

a) Escribir la ecuación horaria para cada etapa y graficar x vs t para ambas (en el mismo gráfico).

b) ¿En dónde está el auto a los 22 segundos después de partir?
Nota: ¡primero tratá de hacerlo antes de seguir leyendo!

a) Hagamos un esquema de la situación. En el esquema (no está en escala) ubiquemos las datos que tenemos.  Llamamos t = 0 al instante de partida, y x = 0 al punto de donde el auto parte. 

Cada etapa es un MRU.

1ra. etapa:

x(t) = x0 + v1 (t - t0) --> aquí tomamos t0 = 0 y x0 = 0 que es el punto de partida. v1 = 10 m/s. Queda:

x(t) = 10 m/s . t    (1)

Esta ecuación es válida para 0 ≤ t ≤ 20 s

2da. etapa:

x(t) = x'0 + v2 (t - t'0) 

* Tomamos t'0 = 20s que es cuando se inicia la 2da. etapa. 

* PERO no tenemos el correspondiente valor x'0 --> en el esquema, podemos apreciar que la posición inicial de la 2da. etapa, es igual a la posición FINAL de la  1ra. etapa. Regresemos entonces a la ecuación (1) y reemplacemos t = 20 s --> por lo tanto, x(a los 20 s) = 200 m. 

--> x'0  = 200 m.

* v2 = - 5 m/s (es negativa, OJO!)

Entonces:

x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s)     (2)

Nos faltaría saber hasta qué t es válida esta segunda ecuación. Nos dicen que el auto retrocede 20 m y ahí se detiene --> esos 20 m están contados desde x = 200 m, por lo tanto, la posición final es x = 180 m. Hallemos entonces cuánto vale t:

180 m = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) --> 

5 m/s (t - 20 s) = 20 m --> t - 20 s = 4 s

--> t = 24 s

Es decir que al final de la 2da. etapa, nuestro cronómetro marca t = 24 s (recordemos que t se medía desde el principio) por lo tanto para la 2da. etapa: 20 s ≤ t ≤ 24 s.

Nota: observar que estaría MAL si en la ecuación (2) tomamos t0 = 0 y x0 = 0, porque la "combinación" t0 =0, x0= 0 pertenece a la primera etapa y no a la segunda.

Volquemos todo esto en el gráfico x vs t:

b) A los 22 segundos después de partir, el auto está en la segunda etapa. Entonces, para saber dónde está, reemplazamos este instante particular en la ecuación (2):

x(t) = 200 m - 5 m/s (t - 20 s) 

x(22 s) =  200 m - 5 m/s (22s - 20 s)    -->

 x(22 s) = 190 m

Fin. :) 

Cinemática - conceptos básicos

Movimiento rectilíneo
Vamos a estudiar movimientos rectilíneos, es decir, movimientos que tienen lugar en línea recta. Para describirlos, elegiremos un eje en la dirección en que el móvil se desplaza.

x = posición del móvil.
Δx = desplazamiento = x(final) - x(inicial)
Con x indicamos una posición, que es un punto en la recta, en cambio con Δx indicamos un desplazamiento, es decir una diferencia entre dos posiciones.

t = instante de tiempo
Δt = intervalo de tiempo = t(final) - t(inicial)

Con t indicamos un instante de tiempo, que no tiene duración (es lo que marca un cronómetro o un reloj), en cambio con Δt indicamos un intervalo de tiempo entre dos instantes

Velocidad media
Se define la velocidad media de un móvil que se desplaza desde xi hasta xf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

Esta expresión es válida para cualquier clase de movimiento rectilíneo.

• Rapidez media: Además de la velocidad media, hay otra velocidad que puede ser útil, que se llama rapidez media. La rapidez media se define como el cociente entre la distancia recorrida y el intervalo de tiempo empleado en recorrerla: rm = d/Δt. Esta "rapidez media" puede ser diferente a la velocidad media, ya que la distancia recorrida, no tiene por qué ser igual al desplazamiento (¡recordar lo visto en clase!).

Velocidad instantánea
Si queremos saber la "velocidad exacta" que tiene el móvil cuando pasa justo por cierto punto x, entonces: tomamos medimos la velocidad media en un intervalo de tiempo muy pequeño Δt :

En este intervalito, el móvil se va a desplazar una cantidad también muy pequeña, Δx, y cuando más pequeño sea el intervalo que tomamos, la velocidad media se va a parecer cada vez más a la velocidad real. Si tomamos límite para t teniendo a cero, obtendremos un valor de velocidad que llamaremos velocidad instantánea.Matemáticamente esto se expresa:

En adelante, cada vez que hablemos de "velocidad" a secas (notación: v), nos referiremos siempre a la velocidad instantánea.


Interpretación gráfica de la velocidad en ejes x - t

Notar la línea recta roja que une los puntos de coordenadas (t,x) y (t + Δt , x + Δx). La pendiente de esa recta está asociada al cociente Δx/Δt, que es la velocidad media en el tramo indicado.

Si tomamos Δt cada vez más pequeño, la dirección de la línea roja se va pareciendo cada vez más a la dirección de la recta tangente a la curva en (t,x). Por lo tanto, la velocidad instantánea v(t) (en el caso general, puede depender del tiempo) es la derivada de la posición como función del tiempo x(t):

Interpretación gráfica del desplazamiento en un gráfico v -t
Ahora apliquemos un resultado importante que se ve en análisis matemático: si la velocidad es la derivada de la posición, entonces la posición es la integral de la velocidad, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

Es muy importante entender la aplicación gráfica de la ecuación anterior: en un gráfico de velocidad vs tiempo, el área "con signo" (ojo!) limitada por la curva de velocidad, el eje t, y dos instantes, es igual al desplazamiento entre esos instantes. Esto se muestra en los dos ejemplos gráficos a continuación:

Pasemos ahora a definir otro concepto: el de aceleración, que está relacionado con el cambio de la velocidad.

Aceleración media
Se define la aceleración media de un móvil que cambia su velocidad desde un valor vi hasta un valor vf, en un intervalo de tiempo Δt, como:

donde Δv = vf - vi (velocidad final menos velocidad inicial) y Δt = tf - ti .

Aceleración instantánea
Análogamente a la velocidad instantánea, se define la aceleración instantánea como el límite de la aceleración media cuando Δt --> 0:

En adelante, cada vez que hablemos de "aceleración" a secas (notación: a), nos referiremos siempre a la aceleración instantánea.

Interpretación gráfica de la aceleración en ejes v - t

Antes habíamos visto que la velocidad era la derivada de la posición, y que por lo tanto estaba asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico x - t.
Análogamente a lo anterior, ahora la aceleración es la derivada de la velocidad, y por lo tanto, la aceleración está asociada a la pendiente de la recta tangente a la curva, en un gráfico v - t (velocidad vs. tiempo):

Velocidad: integral de la aceleración
Como la aceleración es la derivada de la velocidad, entonces la velocidad es la integral de la aceleración, o sea que si integramos miembro a miembro la ecuación anterior, queda:

De esto se deduce que: en un gráfico de a - t (aceleración vs. tiempo), el área "con signo" bajo la gráfica, entre dos instantes, es la variación de velocidad entre esos instantes.

En la próxima entrada haremos una síntesis de un caso particular de movimiento rectilíneo: el MRU.

Problema resuelto - Cálculo del trabajo usando el gráfico de F vs x

Un coche de 1200 kg se encuentra inicialmente en reposo en una carretera horizontal y es sometido a una fuerza resultante F, horizontal y siempre en la misma dirección y sentido. Los primeros dos metros de su recorrido la fuerza vale 200 N y de allí en más vale 400 N.
a) Representar gráficamente la fuerza F en función de la posición del coche (x).
b) Calcular en qué instante la fuerza cambia de 200 N a 400 N.
c) ¿Cuál es la velocidad del coche después de haber recorrido los primeros 14,5 metros? 

Te damos la misma sugerencia que para cualquier otro problema resuelto que encuentres: primero tomá nota del enunciado y tratá de hacerlo vos!!!!! Si te sale y querés revisarlo, o bien, si no te sale después de pensarlo e intentarlo seriamente durante varias horas... entonces seguí leyendo.

Primero hagamos un dibujo, para entender la situación, y ubiquemos los datos que sabemos:

Las fuerzas aplicadas sobre el auto son: el Peso, la Normal, y una fuerza F, la cual podría ser una fuerza de rozamiento aplicada por el piso, o bien una fuerza aplicada por una grúa que arrastra al auto, por ejemplo (en este caso, no lo sabemos).


Como el auto está inicialmente en reposo, entonces comenzará a moverse en el mismo sentido de la fuerza. Es decir, que si la fuerza F apunta hacia la derecha, entonces el auto comenzará a moverse hacia la derecha también, y viceversa. Es decir, que el trabajo será POSITIVO. (En el dibujo, elegimos dibujar F hacia la derecha).

Como el auto se mueve horizontalmente, N = P, esto significa que sólo queda la fuerza F que se le aplica al auto. Por lo tanto, la fuerza que llamamos F en el dibujo, ES la misma resultante de la que nos habla el enunciado.

a) Tenemos que graficar F (eje vertical) en función de la posición x (eje horizontal).  Dice el enunciado que en los dos primeros metros la intensidad de la fuerza es 200 N, entonces tenemos que dibujar un segmento de recta horizontal desde x = 0 m hasta x1 = 2m, marcando un valor F1 = 200 N en el eje vertical. Análogamente, desde x = 2m en adelante, el valor de F cambia a 400 N abruptamente, es decir, que después tendremos una semirrecta horizontal con un valor más alto en el eje vertical, que llamamos F2 = 400N. Queda:

(El gráfico pedido está marcado en línea llena; las líneas punteadas son auxiliares).

b)  El gráfico nos da el valor de x donde la fuerza cambia de 200 N a 400 N, esto es, x = x1 = 2 m. ¡Pero no nos dice nada del tiempo! Entonces tendremos que usar algo de cinemática y dinámica, ya que las expresiones de energía NO tienen dependencia con el tiempo.

Suponiendo que el auto inicia su movimiento en t0 = 0, tenemos que saber para qué instante, llamémoslo t1, llega a x1 = 2 m. Como en ese primer tramo (de 0 a 2 m), F no cambia, entonces la aceleración es constante --> tenemos un MRUV.

x(t) = x0 + v0 t + (1/2) a (t - t0)^2

Aquí podemos reemplazar: t0 = 0, v0 =0, t = t1, x(t) = x1 = 2 m, quedando:

2 m = (1/2) a t1^2

Necesitamos t1, pero nos falta la aceleración. Pero sí tenemos la fuerza resultante en ese tramo (es el PRIMER tramo), y la masa del auto, entonces:

a = F1/m = 200 N / 1200 kg = (1/6) m/s^2

Reemplazando este valor de a en la ecuación anterior, podemos despejar t1 = 4.89 s --> aproximadamente  t1 = 4,9 s

c) Necesitamos la velocidad del auto en determinada posición que nos dan, esto es, cuando recorrió 14,5 m. Como acá estamos relacionando posiciones (inicial y final, las conocemos) con velocidades (la inicial es cero, la final, no la conocemos), podemos usar el teorema de las fuerzas vivas, y tratar de relacionarlo con el gráfico:

Lresultante = Δ Ec = 1/2 m vf^2 - 1/2m v0^2 = 1/2 m vf^2

Del miembro derecho de esta ecuación, sólo no conocemos vf, que es lo que queremos calcular.

El miembro izquierdo es el trabajo de la fuerza resultante, eso vamos a poder saberlo analizando el gráfico. Sabemos que la posición final es x = 14,5 m, ese valor está a la derecha del valor x = 2m donde la fuerza cambia. Si ubicamos xf = 14,5 m en el gráfico queda:

Entonces, el trabajo de la fuerza resultante desde x = 0 hasta x = 14,5 m, es el área marcada en el gráfico en amarillo. En este caso, el área sale sumando las áreas de dos rectángulos, por lo tanto:

Lresultante = 2 m . 200 N + 12,5 m . 400 N = 5400 Joule.

Reemplazando este valor del trabajo en la ecuación del teorema de las fuerzas vivas, puede despejarse:

vf = 3 m/s

Podés dejar tus dudas e inquietudes a continuación.

Más ejercicios adicionales (de todo un poco)

Hola, aquí les dejo ejercicios variados de opciones múltiples que (espero!) no son repeticiones de los ejercicios de las entradas anteriores. Pueden dejar sus comentarios al pie.

1)  Tres recipientes abiertos contienen agua  en reposo hasta el nivel indicado en la figura (ver más abajo).  En esas condiciones los valores de la presión en los puntos A, B y C verifican:

a) Pa = Pb = Pc
b) Pa < Pb = Pc
c) Pa = Pb < Pc
d) Pa = Pc < Pb
e) Pa = Pc > Pb
f)  Pa < Pb < Pc

2)  El gráfico (ver más abajo) muestra la fuerza aplicada a un móvil que parte del reposo como función de su posición (x). Se cumple que:

a) Desde 0 hasta B, la velocidad aumenta.
b) En A, la aceleración es máxima.
c) La velocidad es máxima en la posición A.
d) Entre A y B la velocidad disminuye.
e) En B, la velocidad es igual que en A.
f) En A, el móvil cambia el sentido del movimiento.

3) Un carrito se mueve por una montaña rusa sin rozamiento desde D hacia A, como muestra la figura (ver abajo). Diga cuál de las afirmaciones es la correcta:

a) La velocidad en B es cero porque a partir de allí comienza a bajar.
b) El trabajo de todas las fuerzas entre D y A es menor que cero.
c) El trabajo de todaslas fuerzas entre C y A es mayor que entre D y A.
d) El trabajo del peso entre C y A es el mismo que entre B y A.
e) El trabajo del peso entre C y A es mayor que entre D y A.
f) La energía cinética es la misma en A y en B.

Figuras de los problemas 1 a 3:

4) Dos tubos de 1 m de longitud y 2 cm de diámetro están concetados en paralelo y presentan una resistencia hidrodinámica R. Si se cambia uno de ellos por otro tubo de igual longitud pero de 1 cm de diámetro, la resistencia hidrodinámica del sistema, comparada con la anterior, es aproximadamente:

a) 22% menor
b) 22% mayor
c) 50% menor
d) 50% mayor
e) 88% menor
f) 88% mayor

5) Una fuente alimenta dos capacitores, de 2mF y 3mF, conectados en paralelo. La carga total suministrada en esta situación es Q. ¿Qué valor debería tener un capacitor extra conectado en paralelo a los anteriores para que la carga acumulada por el nuevo conjunto sea un 60% superior?

a) 1,2mF
b) 1,6mF
c) 1,8mF
d) 3mF
e) 3,2mF
f) 4,8mF



6) Una placa de cierto material separa dos recipientes con líquidos que se mantienen a temperaturas constantes pero distintas. Las temperaturas de las caras de la placa en contacto con los líquidos son 30ºC y 10ºC. En esas condiciones el flujo de calor a través de la placa es de 48 cal/seg. Si esta placa se reemplaza por otra del mismo material pero del doble de espesor y de la mitad del área, el flujo de calor es entonces:

a) 12 cal/seg
b) 20 cal/seg
c) 60 cal/seg
d) 80 cal/seg
e) 15 cal/seg
f) 160 cal/seg

Continuará...

Cosas sobre MRUV, gráficos, sistemas de referencia...

Hola!

Dado que recibí por email algunas preguntas, consultando dudas sobre el uso de las expresiones de MRUV para tiro vertical, de acuerdo al sistema de referencia, y sobre cómo son los gráficos, a continuación paso a comentar dichos puntos con un ejemplo:

Consideremos el siguiente problema: desde una altura de 0,5 m por encima del piso, se arroja un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s. Se desprecia el rozamiento con el aire.

Se pide:
1) Elegir un sistema de referencias y expresar las ecuaciones horarias
2) Hallar cuánto tarda el objeto en llegar a la altura máxima.
3) Hallar cuánto tarda el objeto en llegar al piso.
4) Hallar a qué altura está el objeto 0,5 segundos después de ser arrojado.¿Está subiendo o bajando?
5) Graficar posición, velocidad y aceleración, en función del tiempo.

Un cálculo rápido, hecho "a dedo" (¡hacélo! sale con la ecuación complementaria) nos da que, si la velocidad inicial es de 6 m/s, el objeto llega a una altura de 1,8 m medida desde el punto de partida. Usaremos este dato para hacer mejor nuestro esquema.

Vamos a resolver este problema con dos sistemas de referencia distintos, veremos que da exactamente igual, aunque numéricamente los resultados se expresen diferente. Consideremos:

A) Un sistema de referencia con eje x positivo hacia arriba, y origen en el piso.
B) Un sistema de referencia con el eje x positivo hacia abajo, con origen en el techo. Supondremos que el techo está a 3 m del piso (esto es un dato inventado que no debería influir... ).

Primero hagamos un esquema para cada sistema de referencia:

Sistema A                                                Sistema B

Las ecuaciones horarias para un MRUV, en general, se escriben:

x(t) = x0 + v0 (t - t0) + (1/2) a (t- t0)²   (1)

v(t) = v0 + a(t -t0)    (2)

Tomemos t0 = 0 para el instante en que se arroja el objeto. Es decir: en t = 0 "encendemos un cronómetro", y esto lo hacemos justo cuando arrojamos el objeto, a partir de ese "cero" contamos el tiempo.

Ahora resolvamos separadamente para cada sistema de coordenadas.

Sistema A.

En este sistema (ver figura IZQUIERDA, arriba!) tenemos que:

x0 = 0,5 m
v0 = + 6 m/s
a = - g = - 10 m/s^2

Reemplacemos todo esto en las ecuaciones (1) y (2). Queda:

x(t) = 0,5 m + 6 m/s t + (1/2) (-10) m/s² t²     (3)

v(t) = 6 m/s - 10 m/s² t     (4)

Las ecuaciones (3) y (4) son las ecuaciones horarias, las dejamos así, sin reemplazar t!! Reemplazamos las constantes iniciales, pero quedan con un t genérico (variable independiente) y con x(t), v(t) --> variables dependientes. A t le vamos a dar distintos valores después, por eso todavía no lo reemplazamos. Si queremos GRAFICAR la posición y la velocidad, necesitamos tener estas FUNCIONES del tiempo, y no valores particulares!

Usaremos las ecuaciones (3) y (4) para los gráficos.

2) El objeto llega a la altura máxima en un instante que llamaremos tM, para el cual la velocidad es cero. Entonces reemplazamos tM en la ecuación (4):

0 = v(tM) = 6 m/s - 10 m/s2 tM

De aquí despejamos tM = 0,6 s. De paso podemos verificar que la altura máxima es la que habíamos calculado "a dedo". Reemplacemos tM = 0,6 s en la ecuación (3):

x(tM) = 0,5 m + 6 m/s tM + (1/2) (-10) m/s2 tM² = 0,5 m + 6 m/s 0,6 s - 5 m/s2 (0,6 s)² = 2,3 m

Esto es correcto, porque nos había dado 1,8m, sumando 0,5m con respecto al suelo, es 1,8 m + 0,5 m= 2,3 m.

3) Llamemos tp al instante en que el objeto llega al piso. En ese instante, es x(tp) = 0 (ver figura). Entonces, volviendo a la ecuación (3) y reemplazando tp:

0 = x(tp) = 0,5 m + 6 m/s tp + (1/2) (-10) m/s2 tp²

Esto es una ecuación cuadrática con tp incógnita. Da dos soluciones: una de ellas negativa, la descartamos porque el movimiento comenzó en t = 0. La otra solución es tp = 1,28 s; esto es el tiempo que tardó en llegar al piso desde su partida.

4) Hallemos dónde se encuentra el objeto 0,5 s después de ser arrojado. Para eso reemplazamos t = 0,5 s en (3):

x(0,5 s) = 0,5 m + 6 m/s 0,5 s + (1/2) (-10) m/s2 (0,5 s)² = 2,25 m

Es decir, se encuentra bastante cerca de la altura máxima. ¿Pero está subiendo o bajando? Debería estar subiendo porque 0,5 s es menor que 0,6, que es lo que tarda el cuerpo en llegar a la altura máxima. Otra forma de verificarlo es reemplazando t = 0,5 s en la ecuación (4):

v(1 s) = 6 m/s - 10 m/s2 0,5 s = + 1 m/s

La velocidad es positiva con este sistema de referencia, eso significa que efectivamente está subiendo.

5) Gráficos: volvamos a las ecuaciones (3) y (4), ya que ahí el t está sin reemplazar y podemos darle los valores que queremos. Haciendo una tabla de valores (hacérla!) queda:



Ahora pasamos al...


Sistema B

Ahora (ver figura DERECHA, arriba de todo!) tenemos que:

x0 = 2,5 m
v0 = - 6 m/s
a = + g = + 10 m/s^2

Reemplacemos todo esto nuevamente en las ecuaciones (1) y (2). Queda:

x(t) = 2,5 m - 6 m/s t + (1/2) 10 m/s² t²      (5)

v(t) = - 6 m/s + 10 m/s² t         (6)

Las ecuaciones (5) y (6) son las nuevas ecuaciones horarias, en el nuevo sistema de referencia. De ahora en más, usaremos éstas.

2) El objeto llega a la altura máxima en un instante que llamaremos tM, para el cual la velocidad es cero. Entonces reemplazamos tM en la ecuación (6):

0 = v(tM) = - 6 m/s + 10 m/s2 tM

De aquí despejamos tM = 0,6 s, igual que antes (esto es correcto!). De paso podemos verificar que la altura máxima también es la misma de antes. Reemplacemos tM = 0,6 s en la ecuación (5):

x(tM) = 2,5 m - 6 m/s tM + (1/2) 10 m/s2 tM² = 2,5 m - 6 m/s 0,6 s + 5 m/s2 (0,6 s)² = 0,7 m

Esto es correcto, porque está tomado desde el techo: antesnos había dado 2,3 m desde el piso, pero como el techo tiene 3 m, entonces son 0,7 m desde el punto de altura máxima hasta el techo.

3) Llamemos tp al instante en que el objeto llega al piso. En ese instante, es x(tp) = 3 m (ver figura). Entonces, volviendo a la ecuación (5) y reemplazando tp:

3 m= x(tp) = 2,5 m - 6 m/s tp + (1/2) 10 m/s2 tp²

Pasando los 3m hacia la derecharestando, nos queda:

0 = - 0,5 m - 6 m/s tp + (1/2) 10 m/s2 tp²

Esta ecuación es la misma que la cuadrática que quedaba con el anterior sistema, sólo que multiplicada por (-1). Las soluciones para tp son entonces las mismas que antes, descartamos la solución negativa y nos quedamos con tp = 1,28 s.

4) Hallemos dónde se encuentra el objeto 0,5 s después de ser arrojado. Para eso reemplazamos t = 0,5 s en (5):

x(0,5 s) = 2,5 m - 6 m/s 0,5 s + (1/2) 10 m/s2 (0,5 s)² = 0,75 m

Este valor da numéricamente diferente que antes debido a que cambiamos el sistema de referencia, pero el punto es el mismo, observar que estos 0,75 m están medidos desde el techo, y antes nos daba 2,25 m desde el piso.

Debería estar subiendo porque 0,5 s es menor que 0,6. Reemplazando t = 0,5 s en la ecuación (6):

v(0,5 s) = - 6 m/s + 10 m/s2 0,5 s = - 1 m/s

La velocidad es negativa con este sistema de referencia, eso significa que efectivamente está subiendo.

5) Gráficos:volvamos a las ecuaciones (5) y (6), ya que ahí el t está sin reemplazar y podemos darle los valores que queremos. De la misma manera que antes, haciendo una tabla de valores queda:

Podés dejar tus dudas y comentarios a continuación.