Problema resuelto - Cálculo del trabajo usando el gráfico de F vs x

Un coche de 1200 kg se encuentra inicialmente en reposo en una carretera horizontal y es sometido a una fuerza resultante F, horizontal y siempre en la misma dirección y sentido. Los primeros dos metros de su recorrido la fuerza vale 200 N y de allí en más vale 400 N.
a) Representar gráficamente la fuerza F en función de la posición del coche (x).
b) Calcular en qué instante la fuerza cambia de 200 N a 400 N.
c) ¿Cuál es la velocidad del coche después de haber recorrido los primeros 14,5 metros? 

Te damos la misma sugerencia que para cualquier otro problema resuelto que encuentres: primero tomá nota del enunciado y tratá de hacerlo vos!!!!! Si te sale y querés revisarlo, o bien, si no te sale después de pensarlo e intentarlo seriamente durante varias horas... entonces seguí leyendo.

Primero hagamos un dibujo, para entender la situación, y ubiquemos los datos que sabemos:

Las fuerzas aplicadas sobre el auto son: el Peso, la Normal, y una fuerza F, la cual podría ser una fuerza de rozamiento aplicada por el piso, o bien una fuerza aplicada por una grúa que arrastra al auto, por ejemplo (en este caso, no lo sabemos).


Como el auto está inicialmente en reposo, entonces comenzará a moverse en el mismo sentido de la fuerza. Es decir, que si la fuerza F apunta hacia la derecha, entonces el auto comenzará a moverse hacia la derecha también, y viceversa. Es decir, que el trabajo será POSITIVO. (En el dibujo, elegimos dibujar F hacia la derecha).

Como el auto se mueve horizontalmente, N = P, esto significa que sólo queda la fuerza F que se le aplica al auto. Por lo tanto, la fuerza que llamamos F en el dibujo, ES la misma resultante de la que nos habla el enunciado.

a) Tenemos que graficar F (eje vertical) en función de la posición x (eje horizontal).  Dice el enunciado que en los dos primeros metros la intensidad de la fuerza es 200 N, entonces tenemos que dibujar un segmento de recta horizontal desde x = 0 m hasta x1 = 2m, marcando un valor F1 = 200 N en el eje vertical. Análogamente, desde x = 2m en adelante, el valor de F cambia a 400 N abruptamente, es decir, que después tendremos una semirrecta horizontal con un valor más alto en el eje vertical, que llamamos F2 = 400N. Queda:

(El gráfico pedido está marcado en línea llena; las líneas punteadas son auxiliares).

b)  El gráfico nos da el valor de x donde la fuerza cambia de 200 N a 400 N, esto es, x = x1 = 2 m. ¡Pero no nos dice nada del tiempo! Entonces tendremos que usar algo de cinemática y dinámica, ya que las expresiones de energía NO tienen dependencia con el tiempo.

Suponiendo que el auto inicia su movimiento en t0 = 0, tenemos que saber para qué instante, llamémoslo t1, llega a x1 = 2 m. Como en ese primer tramo (de 0 a 2 m), F no cambia, entonces la aceleración es constante --> tenemos un MRUV.

x(t) = x0 + v0 t + (1/2) a (t - t0)^2

Aquí podemos reemplazar: t0 = 0, v0 =0, t = t1, x(t) = x1 = 2 m, quedando:

2 m = (1/2) a t1^2

Necesitamos t1, pero nos falta la aceleración. Pero sí tenemos la fuerza resultante en ese tramo (es el PRIMER tramo), y la masa del auto, entonces:

a = F1/m = 200 N / 1200 kg = (1/6) m/s^2

Reemplazando este valor de a en la ecuación anterior, podemos despejar t1 = 4.89 s --> aproximadamente  t1 = 4,9 s

c) Necesitamos la velocidad del auto en determinada posición que nos dan, esto es, cuando recorrió 14,5 m. Como acá estamos relacionando posiciones (inicial y final, las conocemos) con velocidades (la inicial es cero, la final, no la conocemos), podemos usar el teorema de las fuerzas vivas, y tratar de relacionarlo con el gráfico:

Lresultante = Δ Ec = 1/2 m vf^2 - 1/2m v0^2 = 1/2 m vf^2

Del miembro derecho de esta ecuación, sólo no conocemos vf, que es lo que queremos calcular.

El miembro izquierdo es el trabajo de la fuerza resultante, eso vamos a poder saberlo analizando el gráfico. Sabemos que la posición final es x = 14,5 m, ese valor está a la derecha del valor x = 2m donde la fuerza cambia. Si ubicamos xf = 14,5 m en el gráfico queda:

Entonces, el trabajo de la fuerza resultante desde x = 0 hasta x = 14,5 m, es el área marcada en el gráfico en amarillo. En este caso, el área sale sumando las áreas de dos rectángulos, por lo tanto:

Lresultante = 2 m . 200 N + 12,5 m . 400 N = 5400 Joule.

Reemplazando este valor del trabajo en la ecuación del teorema de las fuerzas vivas, puede despejarse:

vf = 3 m/s

Podés dejar tus dudas e inquietudes a continuación.