Un problema integrador de mecánica

Te proponemos resolver este problema de mecánica, que une todos los conceptos vistos: cinemática, dinámica, trabajo, energía y potencia.

Aquí podés descargar el enunciado del problema: Problema integrador de mecánica

Y aquí podés descargar la resolución del mismo: Resolución del problema integrador de mecánica

Móvil que sube y baja por un plano inclinado con rozamiento

Un cuerpo se desliza por un plano inclinado, sube y baja por el mismo. Si la aceleración en el descenso es la mitad de la aceleración que tuvo al ascender ¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento (de igual módulo en la subida y en la bajada)? No actúan otras fuerzas no conservativas.

a) Froz=3Px ,  b) Froz=2Px,   c) Froz=Px,  d) Froz=4Px,   e) Froz=Px/3,   f) Froz=Px/2

Sugerencia: primero tratá de hacerlo!!!!! Si te sale y querés revisarlo, o bien, si no te sale después de pensarlo e intentarlo seriamente durante varias horas... entonces seguí leyendo.

Resolución:

En este problema nos piden la fuerza de rozamiento, comparada con la componente x del Peso (entendiendo que la dirección x, es la paralela al plano inclinado).

Como nos piden una fuerza, hagamos el diagrama de cuerpo libre del cuerpo, ubicando a todas las fuerzas que actúan. Como tenemos que analizar la SUBIDA y la BAJADA del cuerpo, haremos dos diagramas, tomando en ambos casos el eje x positivo con sentido hacia abajo:

Debajo de cada figura, se indica el sentido de la velocidad y de la aceleración en cada caso. En ambos casos la aceleración "apunta" hacia abajo, pero la magnitud va a ser diferente, como dice el enunciado. Por eso pusimos distintos nombres: as para la subida y ab para la bajada. Ambas son positivas, de acuerdo al sentido del eje x elegido.

Observar que en la subida, el rozamiento, que se opone al movimiento, apunta hacia la izquierda, por lo tanto, "se ayuda" con Px (justamente en este caso, la aceleración tiene más magnitud). En cambio, en el descenso, Px y Froz son opuestas, así que la aceleración es menor.

El próximo paso es plantear la 2da. ley de Newton en la dirección x para la subida y la bajada separadamente:

Ascenso:

Froz + Px = m as    (1)

Descenso:

- Froz + Px = m ab   (2)

 Hay otro dato que nos dan: la aceleración en el descenso es la mitad que la del ascenso. Es decir:

ab = as/2

Reemplazando esta expresión para ab, la ecuación (2) queda:

- Froz + Px = m as/2   (2')

 Combinando (1) con (2') resolvemos y despejamos Froz. Por ejemplo, podemos despejar as en ambas e igualar. Se llega a:

Froz + Px =  2 (- Froz + Px)

--> 3 Froz = Px

-->  Froz = Px/3 .  Y ésta es la opción e).

Resolución del problema propuesto el 10/9 de plano inclinado

 Copio el enunciado (fue dado en clase) nuevamente:

Un cuerpo de 20 kg desciende por un plano inclinado de 37 grados, de 50 m de longitud, con velocidad constante de 5 m/s. Luego continúa deslizando por un plano horizontal donde existe una fuerza de rozamiento constante de 10 N hasta detenerse por completo.


a) Calcular el trabajo de las fuerzas no conservativas al recorrer el plano inclinado y la distancia que recorre en la parte horizontal hasta detenerse.


b) Graficar la velocidad en función del tiempo para el recorrido completo.

En primer lugar vamos a hacer un esquema, eligiendo "puntos destacados" de la trayectoria del móvil, que nos van a servir para plantear la energía. Llamamos A al extremo superior del plano inclinado, B al vértice entre el plano inclinado y el horizontal, y C al punto donde el cuerpo se detiene.

También ubiquemos las fuerzas, esto nos va a servir para entender mejor la situación (aunque no nos las pidan):


- Mientras el cuerpo baja, como baja a velocidad constante, tiene que haber fuerza de rozamiento (si no, aumentaría la velocidad!!), pero no tiene por qué ser 10 N, sino otra (que no conocemos) --> la llamamos Frp (p --> de plano inclinado). Las otras dos fuerzas son P (Peso), y Np (Normal en el plano inclinado).



- Mientras el cuerpo va en la zona horizontal, hay una fuerza de rozamiento de 10 N --> la llamamos la llamamos Frh (h --> de horizontal). Las otras dos fuerzas son P (Peso), y Nh (Normal en la zona horizontal). Les cambiamos el subíndice porque son diferentes!!


En ambos casos (zona del plano inclinado - zona horizontal) la Normal no hace trabajo porque es perpendicular a la trayectoria en este caso (la superficie no se está moviendo!). El Peso sí hace trabajo pero es conservativa. Entonces: en este problema, la única fuerza que hace trabajo, y es no conservativa, es el rozamiento.



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Planteemos el teorema de la variación de la energía mecánica entre A y B. El miembro derecho es el trabajo de las fuerzas no conservativas *entre A y B*:

Con esta ecuación ya podemos resolver el punto a), porque justamente lo que nos piden es el trabajo de las fuerzas no conservativas entre A y B. Expresemos entonces las energías mecánicas, teniendo en cuenta que Hb = 0 y que la velocidad en A y B es LA MISMA, por lo cual le ponemos sólo "v":

En las ecuaciones de arriba tenemos v = 5 m/s,  m = 20 kg, g = 10 m/s^2, sólo nos falta HA que sale con un cálculo geométrico:

Reemplazando todo esto, podemos calcular LfncAB (trabajo de las fuerzas no conservativas entre A y B) en la ecuación de arriba. (Faltan las cuentas solamente)

Ahora vamos a calcular la distancia que recorre el cuerpo antes de detenerse, en la zona horizontal. Acá también planteamos el mismo teorema, pero entre B y C. El miembro derecho es el trabajo de las fuerzas no conservativas *entre B y C*:

- Veamos el miembro izquierdo: En ambos puntos, B y C, la altura es CERO, por lo tanto la energía potencial es cero. La energía cinética en B la podemos calcular (la calculamos más arriba!) ya que v = 5 m/s. Y como el cuerpo se detiene en C, la energía cinética en C es CERO.

 - Veamos ahora el miembro derecho: el trabajo de las fuerzas no conservativas, acá es solamente el trabajo de la fuerza de 10 N que nos dan. Como se opone al movimiento, forma un ángulo de 180 grados con la dirección y sentido del movimiento, entonces expresamos ese trabajo así:  Lfncbc = - 10 N . DistanciaBC

Reemplazando todo lo anterior, queda:

Aquí se puede despejar dbc sin problemas (los signos menos se van y queda positiva!!).

Ya terminamos el punto a! Ahora pasamos a b)

b) Nos piden graficar la velocidad. Primero elijamos un sistema de referencia; como el cuerpo se mueve en dos direcciones distintas vamos a tomar: en el plano inclinado, un eje en la dirección de la rampa con sentido positivo hacia abajo, y en la zona horizontal, un eje horizontal con sentido positivo hacia la derecha.

Antes de graficar analicemos cómo es el movimiento y hagamos algunos cálculos auxiliares de cinemática. Como nos piden calcular la velocidad vs TIEMPO, necesitamos saber CUANTO tarda el cuerpo en llegar a la base, y CUANTO tarde en detenerse sobre el plano horizontal.

Vemos que hay dos etapas de movimiento:

- Primero un MRU por el plano, con v = 5 m/s. ¿Hasta cuándo dura eso? Dura hasta que el cuerpo llega al pie del plano... Como el plano mide 50 m y es un MRU, nos da que tarda 10 segundos en recorrer la rampa (tarea: hacer la cuenta del MRU!!) Es decir, suponiendo que en t = 0 s se inicia el movimiento, en t = 10s llega al punto B.

- Después el cuerpo hace un movimiento acelerado por el plano horizontal... ya que en esta segunda etapa el cuerpo se frena! Todavía no conocemos la aceleración, pero para eso tenemos la 2da Ley de Newton...

... Como la fuerza que frena al móvil es de 10 N, CONSTANTE, entonces la aceleración también va a ser constante. Dado que elegimos positivo hacia la derecha, entonces tenemos que la fuerza es NEGATIVA (va hacia la izquierda), por lo tanto la aceleración también será negativa. Es decir, tenemos que, en la dirección horizontal:

de donde sale que a = - 0,5 m/s^2

También necesitamos saber cuándo se frena el cuerpo.... sabemos que este MRUV se inicia con una velocidad de 5 m/s, y que la velocidad final es cero, por lo tanto usamos que a = Delta v / Delta t,. haciendo la cuenta (tarea: hacerla!!) da Delta t = 10 s.  Pero OJO, este Delta t es el tiempo que el cuerpo tarda en ir de B a C.

Juntando todo, tenemos que:

- En t = 0s, el cuerpo está en A con velocidad v = 5 m/s

- En t = 10s, el cuerpo está en B con velocidad v = 5 m/s. 

Acá termina el MRU y comienza el MRUV!

- En t = 20 s (10 s después de llegar a la base), el cuerpo se DETIENE en C (Vc = 0).

Entonces el gráfico es: