Tres capacitores se cargan y luego se reconectan en forma diferente

Los tres capacitores de la figura tienen la misma capacidad y están inicialmente descargados. La tensión de la pila es de 9 V. Se conecta el interruptor A y se espera hasta que carguen  los capacitores. Posteriormente, se desconecta dicho interruptor y se conecta el interruptor B, manteniéndolo en esa posición. Una vez llegado al equilibrio electrostático, la tensión en el capacitor C1 es:

a) 1 V
b) 2V
c) 6,75 V
d) 3V
e) 4,5 V
f)  9 V

Nota: Como las capacidades son iguales las tres, de ahora en adelante llamaremos "C" a todas.

Como aquí tenemos llaves, el circuito cambia dependiendo de si dichas llaves están cerradas o abiertas. Nos dicen que inicialmente los tres capacitores están descargados, y que cerramos la llave A, por lo tanto en esta etapa el circuito quedará como en la siguiente figura:

Cuando el sistema llega al equilibrio (figura derecha) la diferencia de potencial del paralelo de capacitores tiene que ser la misma que la de la pila. Por lo tanto, la diferencia de potencial sobre el capacitor 2 será la de la pila y, como los otros dos capacitores (1 y 3) son iguales y están en serie, cada uno tendrá sobre ellos la mitad de la tensión de la pila, o sea: 4,5 V (ver figura).

Podemos expresar entonces las cargas sobre los capacitores. 1 y 3 están en serie, por lo tanto tienen la misma carga, a la que llamamos Q13. El capacitor 2 tiene una carga Q2. Por todo lo dicho arriba, tiene que verificarse:

Q2 = 9 V . C              (1)
Q13 = 4,5 V . C        (2)

(No conocemos el valor de C, así que lo dejamos expresado).

Ahora desconectamos A. Como antes de desconectar no había corriente sino que ya estaba en equilibrio, el sistema "no se entera" de que la pila fue desconectada. Entonces C2, C1 y C3 siguen con las diferencias de potenciales que calculamos, y por lo tanto con las cargas calculadas.

Después conectamos B (ver las figuras que siguen). Ni bien conectamos B, los capacitores todavía tienen la carga que adquirieron antes. Observar que estamos uniendo un capacitor sobre el cual había 4,5V de diferencia de potencial (C1), con otro sobre el cual había 9 V  (C2). Por lo tanto el sistema deja de estar en equilibrio!! y va a haber movimiento de cargas. Una vez que el sistema llegue al equilibrio, los capacitores C1 y C2 van a tener la misma diferencia de potencial, y el capacitor 3 va a quedar descargado ya que hay un cable que conecta sus dos placas entre sí (ver figura derecha).

Como los capacitores 1 y 2 tienen la misma capacidad C, y la misma diferencia de potencial, entonces tienen que tener la misma carga, a la que llamaremos Q' . Necesitamos calcular esta carga Q', para poder calcular la diferencia de potencial en C1 (o en C2, es igual). --> Esta diferencia de potencial es la que pide el problema, y la llamaremos ΔV' . Se verifica que:

ΔV' = Q ' /C       (3)

Hallemos Q' . Pensemos cómo se redistribuyen las cargas, tal como hicimos en otros problemas similares. Sólo pueden desplazarse cargas entre las placas que están unidas por un cable. Es decir, las cargas de la zona amarilla (ver figura derecha) NO pueden salir de la misma: sólo pueden moverse entre las dos placas de esa zona. Por lo tanto, la suma de las cargas en las placas marcadas en amarillo en el estado inicial, debe ser igual a la suma de las cargas en las mismas placas en el estado final. O sea:

Q13 + Q2 = Q' + Q' = 2 Q' 

 Reemplazando las ecuaciones (1) y (2), y usando quequeda:

4,5 V . C + 9 V . C = 2 Q'  

Por lo tanto: 

Q'  = 6,75 V . C

Por último, usando (3) calculamos la diferencia de potencial pedida (se simplifica C):

ΔV' = 6,75 V

Con lo cual la respuesta verdadera es la opción c)