Un capacitor se carga y luego se conecta a otro descargado

Vamos a resolver un tipo de problema que suele causar muchas dificultades. Son los problemas donde se conectan entre sí capacitores, donde al menos uno de ellos fue previamente cargado. Analicemos el siguiente ejemplo:

Se tiene la configuración de la figura, donde C1 = 1 mF y C2 = 2 mF, y E = 2 V. Inicialmente la llave está abierta y ambos capacitores están descargados. 

 Se cierra la llave colocándola en la posición 1, y se espera hasta llegar al equilibrio. Posteriormente, la llave se cambia a la posición 2 y nuevamente se espera a llegar al equilibrio. Hallar la carga final de los dos capacitores y la diferencia de potencial final entre sus placas.

Resolución:


Cierre de la llave en la posición 1

Cuando se cierra la llave en la posición 1, el circuito queda como se indica en las dos figuras debajo. Cuando se cierra la llave 1, C2 está desconectado, por lo tanto no se lo considera en esta etapa. Ni bien se cierra la llave (figura izquierda), C1 está aún descargado, pero comienzan a circular cargas. En el equilibrio (figura derecha), C1 está completamente cargado, teniendo sus placas cargas Q1 y -Q1:

Podemos calcular la carga Q1 usando que en el equilibrio, la diferencia de potencial entre las placas del capacitor 1 es la misma diferencia de potencial que hay entre los bornes de la pila:

C1 = Q1 / ΔV1       →  Q1  = C1 . ΔV1  = 1 mF . 2V = 2 mC  

Cambio de la llave a la posición 2

Cuando se cambia la llave de 1 a 2, el circuito queda como se indica en las dos figuras debajo. Cuando se cierra la llave en la posición 2, la pila queda  desconectada (zona gris). Ni bien se cierra la llave (figura izquierda), C2 todavía está descargado, C1 tiene todavía la misma carga Q1 que adquirió antes, y ahora comienzan a circular cargas. En el equilibrio (figura derecha), C1 tiene otra carga: sus placas tendrán cargas Q'1 y -Q'1, y C2 también estará cargado, teniendo sus placas cargas Q'2 y -Q'2:

Tenemos que hallar Q '1 y Q '2. Para eso pensemos cómo se mueven las cargas: sólo pueden desplazarse cargas entre las placas que están unidas por un cable. Es decir, las cargas de la zona celeste (ver figura derecha) NO pueden salir de la misma: sólo pueden moverse entre las dos placas superiores. De la misma manera, las cargas de la zona indicada en amarillo NO pueden salir de la misma: sólo pueden moverse entre las dos placas inferiores. Por lo tanto, la suma de las cargas en las placas superiores en el estado inicial debe ser igual a la suma de las cargas en las mismas placas en el estado final. O sea:

Q1 + 0 = Q '1 + Q '2  → Q '1 + Q '2  = 2mC     (1)

Por otra parte, en el equilibrio, la diferencia de potencial entre ambas placas debe ser la misma. Como ΔV = Q/C, entonces queda:


Q '1/C1 = Q '2/C2 

 →  Q '2 = C2 Q '1  /C1 = 2 mF . Q '1 /1mF = 2 Q '1

 Reemplazando Q '2 = 2 Q '1 en (1), queda:

  Q '1 + 2 Q '1 = 2mC  

→ 3 Q '1 = 2mC 
→ Q '1 = (2/3) mC

→ Q '2 = (4/3) mC

Nos falta la diferencia de potencial entre las placas (es la misma para ambos):

 ΔVfinal = Q '1/ C1 = 2/3 mC/1 mF = 2/3 Volt
 o bien:
 ΔVfinal = Q '2/ C2 = 4/3 mC/2 mF = 2/3 Volt

Aquí termina el problema. Te recomiendo intentar hacer el problema que se resolvió en esta entrada:

Capacitores que se cargan y luego se conectan las placas de carga de distinto signo

(Como siempre: primero tratá de resolverlo antes de leer la resolución).