Resolución del parcialito de mecánica

Parcialito de Mecánica

Problema 1.

Un cuerpo parte del reposo, y se mueve con una aceleración en función del tiempo que se muestra en el gráfico adjunto.

a) Para el intervalo de 0 a 9 segundos, confeccionar los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, y poner en ambos los valores correspondientes para los instantes 0, 3, 6 y 9 segundos.

b) Calcular el desplazamiento, la velocidad media, y la distancia recorrida entre 0 y 9 segundos.

Resolución:

a) En este problema hay varias etapas de movimiento: de 0 a 3 segundos, un MRUV con aceleración -2 m/s^2, de 3 a 6 segundos, OTRO MRUV con aceleración de 2 m/s^2, y de 6 a 9 segundos, un MRU, ya que la aceleración es cero en ese intervalo. Así que vamos resolviendo por etapas. Primero veamos cualitativamente qué podemos esperar:

Etapa 1, de 0 a 3 segundos: Como la aceleración es constante y negativa, el gráfico de velocidad vs tiempo TIENE que dar una recta con pendiente negativa --> algo así: 

con una ubicación y pendiente a determinar. Además, como el movimiento es un MRUV, el gráfico de x (posición) vs tiempo, tiene que ser un trozo de parábola convexa, ya que la aceleración es negativa. (Se sugiere dar un vistazo a esta otra entrada de Blog).

Etapa 2: de 3 a 6 segundos: es MRUV y tiene aceleración positiva, por lo tanto la velocidad vs t dará una recta con pendiente positiva. El gráfico de posición vs t tiene que ser un trozo de parábola cóncava, ya que ahora a > 0.

Etapa 3, de 6 a 9 segundos: la aceleración es cero, por lo tanto la velocidad es una recta horizontal, o sea, una CONSTANTE. La posición vs tiempo también tiene que ser una recta.

Calculemos numéricamente los valores en cada etapa:

Etapa 1, de 0 a 3 segundos: nos dicen que la velocidad inicial es cero, tenemos la aceleración y la variación de tiempo, así que calculamos la velocidad final de esta etapa, o sea, la velocidad a los 3 segundos:

V(a los 3 seg) = 0 + (-2m/s^2)  (3s - 0s) = - 6 m/s

También podemos calcular la posición final, o sea, la posición a los 3 segundos, tomando arbitrariamente Xo = 0 como posición inicial.

X (a los 3 seg) = 0 + 0 . (3 - 0) + (1/2) (-2 m/s^2) (3s - 0s)^2 = - 9 m

La "velocidad final" pasa a ser la "velocidad inicial" de la próxima etapa... y la "posición final" de esta etapa pasa a ser la "posición inicial" de la próxima etapa.

Etapa 2, de 3 a 6 segundos: la velocidad inicial ahora es -6 m/s, y la posición inicial es -9 m. La aceleración ahora es 2 m/s^2. Así que, con las ecuaciones del MRUV calculamos la velocidad y la posición al "final" de esta etapa, o sea, en t = 6 segundos. OJO que ahora t(inicial) = 3segundos.

V(a los 6 seg) = -6 m/s + 2m/s^2  (6s - 3s) = 0 m/s

X (a los 6 seg) = -9 m + (-6 m/s) . (6s - 3s) + (1/2) 2m/s^2(6s - 3s)^2 = - 18 m

Etapa 3, de 6 a 9 segundos: la aceleración es cero, así que la velocidad es constante. Y además, como nos dio que la "velocidad final" de la etapa anterior, es 0 m/s --> eso significa que la velocidad va a seguir siendo cero, ya que no cambia!! Y entonces, la posición va a quedar como estaba, esto es: X = -18 m. La posición vs t será entones una recta horizontal en este caso.

Ahora juntamos toda la información anterior en los gráficos que nos piden:

Notar que:

- el primer trozo de parábola tiene el vértice en t = 0, ya que en t= 0, la velocidad es cero, y la velocidad es la PENDIENTE en el gráfico x vs t.

- el segundo trozo de parábola tiene el vértice en t = 6 s, por la misma razón: la velocidad en t = 6, es cero.

b) El desplazamiento total entre 0 y 9 segundos es ΔX = Xfinal - X inicial = -18 m - 0 m = -18 m.

La distancia recorrida, en este caso es igual en valor absoluto, ya que el móvil se movió siempre hacia el mismo lado (no "pegó la vuelta" en ningún momento). O sea: distancia recorrida = 18 m (es positivo).

Velocidad media (de 0 a 9 seg) = ΔX / Δt = -18 m/9 s = -2 m/s.

Problema 2:

Un cuerpo de 20 kg inicialmente quieto a 2m de altura, desciende por un plano inclinado 30° con respecto a la horizontal, sin rozamiento. Sobre el cuerpo se aplica, todo el tiempo, una fuerza paralela al movimiento y dirigida hacia abajo, igual a la quinta parte del peso del cuerpo. Encontrar:

a) La aceleración del cuerpo      

b) La energía mecánica del cuerpo y el trabajo de la fuerza resultante cuando recorrió la mitad del plano.

Primero hagamos un esquema de lo que nos describe el problema. Ubicamos las fuerzas que actúan, y un sistema de referencias conveniente x-y:

Como conocemos las fuerzas, para hallar la aceleración podemos plantear la 2da. Ley de Newton, en x y en y. Sabemos que como el cuerpo se desplaza en forma rectilínea en la dirección x, entonces la componente y de la aceleración es cero (ay = 0), por lo tanto, la aceleración va toda en x (ax = a). Además, recordemos que tenemos que descomponer el Peso en Px y Py. La Normal no se descompone porque va sólo en y. La otra fuerza F, en este caso no se descompone, porque es paralela al eje x (eso nos lo dice el enunciado). Entonces nos queda:

Px + F = m a

Además tenemos que:

P = m . g = 20 kg . 10 m/s^2 = 200 N

Px = P . sen(30) = 200 N . (1/2) = 100 N

F es la quinta parte del peso, o sea F = P/5 = 40 N

Reemplazando Px, F y m en la ecuación anterior, sale a = 7 m/s^2.

b) Necesitamos calcular la energía mecánica del cuerpo cuando recorrió la mitad del plano. Hallemos qué distancia es ésa:

La longitud del plano inclinado cumple: sen(30) = 2m/L --> L = 2m/sen(30) = 4m

Por lo tanto, nos piden la energía mecánica y el trabajo de la resultante cuando recorrió 2 m.

Para calcular la energía mecánica en ese punto, vamos a necesitar la velocidad. Podemos usar la ecuación complementaria:

V (a los 2 m)^2 - Vo^2 = 2 . a . ΔX = 2 . 7 m/s^2 . 2m = 28 m^2/s^2

Como Vo = 0 (está inicialmente quieto), entonces nos queda: 

V (a los 2 m) ^2 = 28 m^2/s^2

Esta velocidad al cuadrado, la vamos a reemplazar en la energía mecánica. Pero también nos falta saber la altura final: de acuerdo al dibujito de arriba, es fácil ver que Hf = 1 m.

Entonces: Emf = (1/2) . 20 kg . 28 m^2/s^2 + 20 kg . 10 m/s^2 . 1m = 480 J

Falta el trabajo de la resultante. Podemos hacerlo de dos formas:

Por el teorema de las fuerzas vivas: Lres = ΔEcin

Y como ya tenemos las velocidades, entonces:

Lres = (1/2) 20 kg . 28 m^2/s^2 - (1/2) . 20 kg . 0m/s = 280 J

La otra forma: es usar la definición de trabajo, haciendo f"uerza por distancia por coseno del ángulo" . Tenemos que usar la Fuerza resultante. Veamos cuál es: Py se compensa con N, así que no se cuentan. Quedan Px y F, en la misma dirección, que se suman. Así que :

Fres = F + Px = 40 N + 100 N = 140 N.

La distancia recorrida es la mitad de la longitud del plano (NO la altura): 2m .El ángulo que tenemos que tomar es CERO!! porque es el ángulo ENTRE la fuerza y la dirección y sentido de movimiento. Entonces queda:

Lres = 140 N . 2 m. cos(0) = 280 J.

O sea que por los dos métodos nos da igual.


También podemos verificar que calculamos bien la energía mecánica, verificándola con el teorema:


LFNC = ΔEmec

Las fuerzas no conservativas, en este problema son: N y F. Como el piso no se mueve, N es perpendicular a la trayectoria y por lo tanto no hace trabajo. F sí lo hace, entonces:

LF = Emf - Emi


Despejamos:  Emf = Emi + LF

La energía mecánica inicial es sólo potencial ya que tiene velocidad inicial cero, entonces:  
Emi = m . g. Hi = 20 kg . 10 m/s^2 . 2m = 400 J
El trabajo de F, es LF = 40 N . 2m . cos(0) = 80 J

Por lo tanto, nuevamente obtenemos: Emf = 480 J

Problema 3:

El gráfico representa la energía potencial (en kJ) en función del tiempo, para un cuerpo de 40 kg que se mueve verticalmente.

a) Graficar la posición y la velocidad del cuerpo en función del tiempo.

b) Graficar la fuerza total sobre el cuerpo y la energía mecánica en función del tiempo.

 a) En este gráfico nos dan la energía potencial del cuerpo en función del tiempo. Recordemos lo que es la energía potencial:

Ep = m . g .h

Como m y g son valores fijos, como Ep varía, eso significa que lo que varía es h --> la altura,. Como el cuerpo se mueve verticalmente, entonces la altura es la posición!!!! Podríamos escribir:

Ep(t) = m . g . x(t) 

si elegimos un eje x vertical, con sentido positivo hacia arriba. El tiempo entre paréntesis indica que tanto x como Ep, son funciones del tiempo.

Entonces para calcular x, lo despejamos:

x(t) = Ep(t) / mg

Esto vale para cada instante, es decir: el x inicial va a tener la Epinicial, y el xfinal va a tener la Epfinal:


Xo =  16000 / 400 m = 40 m
Xf =  0 /(mg) = 0 m

Estos dos puntos tienen que estar unidos por una línea recta porque: Ep es una línea recta, y la estamos dividiendo por un número fijo, eso también tiene que ser una línea recta (es como cambiar la escala del gráfico).

¿Y cómo es la velocidad= Si X vs t es una línea recta, entonces seguro que la velocidad es constante --> o sea, tiene que ser un MRU (darse cuenta de esto es lo más importante del problema).  Para hallar la velocidad, usamos:los valores en t = 0 y en t = 20 segundos.

V = (Xf - Xo)/(Tf - To) = (0 - 40 m)/(20 seg - 0 seg) = - 2 m/s

Entonces los gráficos de posición y velocidad nos quedan:

b) Como ya dijimos, el móvil hace un MRU. Como se mueve en MRU, por las leyes de Newton, la fuerza resultante es cero todo el tiempo. Así que el gráfico queda:

Por último, analicemos la energía mecánica:  Em = Ec + Ep

Ya vimos que la velocidad es constante --> por lo tanto, la energía cinética lo es:

Ec = (1/2) . 40 kg. . (-2 m/s)^2 = 80 J --> esto es válido en cualquier instante.

La energía potencial Ep, es la que nos dan en el gráfico del enunciado. Si a esa energía potencial le sumamos  un número fijo, en este caso 80 J , el gráfico va a ser igual que el de Ep pero "subido" en 80 J. O sea:

Nota: el último gráfico no está en escala, para que "se noten" los 80 J.

Comentario: el móvil del problema NO puede ir en caída libre ya que en un MRU, la resultante de las fuerzas es cero -> esta situación podría ser, por ejemplo, la de un bloque que desciende unido a una cuerda (Tensión y Peso), pero nunca una caída libre.

PD: si notás algún error, avisá aquí debajo!!! Escribí esto muy rápido!!