Problema de un ascensor que desciende en dos etapas

Problema: Un ascensor se encuentra en reposo en el último piso de un edificio, comienza a descender con una aceleración constante los primeros 25 m alcanzando una velocidad de 5 m/s y luego continúa su descenso con velocidad constante durante los siguientes 15 m, desciende en total 40 m.
Indicar cuál es la afirmación correcta:

a) la energía mecánica se conserva durante todo el recorrido

b) la resultante siempre realiza un trabajo positivo

c) la energía mecánica se conserva durante los últimos 15 m

d) la aceleración del primer tramo es mayor en valor absoluto que g

e) durante todo el recorrido las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo

f) la energía mecánica es mayor durante los primeros 25 m

Hagamos un dibujo, ubicando todos los datos que tenemos, y eligiendo un sistema de referencia positivo hacia arriba y con origen en el piso. Usaremos estos datos numéricos más adelante.

En dicha figura hemos indicado los dos tramos, y hemos marcado tres puntos "importantes": el punto de partida, a 40 m de altura (punto 1), el final del primer tramo, justo donde el ascensor alcanza una velocidad de valor absoluto 5 m/s (punto 2), y el final del descenso, cuando llega al piso (punto 3).
 

Analicemos cualitativamente qué es lo que sucede:

Desde el punto de vista energético:

Primera etapa

El cuerpo parte del reposo, y su velocidad va aumentando gradualmente en valor absoluto. Es decir, su energía cinética está aumentando. Al mismo tiempo, como está descendiendo, su energía potencial está disminuyendo.  En cuanto a la energía mecánica: Em = Ec + Ep, como el primer sumando aumenta y el segundo disminuye, a priori no sabemos cuál de los dos términos "gana", así que, tendríamos que hacer cuentas para saber si Em aumenta o disminuye.

Segunda etapa
Durante este tramo, la velocidad del ascensor permanece constante, por lo tanto, su energía cinética Ec permanece constante. La energía potencial disminuye, porque desciende. En cuanto a la energía mecánica, como es la SUMA de la cinética y la potencial: Em = Ec + Ep, tiene que disminuir, ya que el primer sumando es constante y el segundo disminuye.

Desde el punto de vista dinámico

Primera etapa

Si lo pensamos desde el punto de vista dinámico, observemos que durante esta etapa, tiene que haber una fuerza resultante (Fres) hacia abajo, ya que: Fres = m . a (2da. Ley de Newton), y como cada vez baja más rápido, entonces la aceleración "apunta hacia abajo", o sea, a es negativa en nuestro sistema de referencia, por lo tanto Fres también es negativa.

Segunda etapa

La fuerza resultante en esta etapa debe ser CERO. Como la velocidad es constante, esto significa que la nueva aceleración es cero.

En la figura aquí al costado vemos un esquema de las fuerzas que actúan en cada etapa: el Peso y la fuerza del cable que sostiene el ascensor. Observar que la tensión del cable no puede ser la misma en ambos tramos.

  




Ahora pasemos a evaluar cada una de las 6 opciones que nos dan:  

a) la energía mecánica se conserva durante todo el recorrido

Por lo que ya dijimos, es seguro que en la 2da. etapa Em disminuye. O sea, ya encontramos al menos una etapa durante la cual Em no se conserva, eso implica que a) es FALSA.

De todos modos, veamos lo que sucede con la energía mecánica en el primer tramo. Calculemos Em en los puntos 1 y 2:

Em1 = Ec1 + Ep1 = 0 + M . 10 m/s^2 . 40 m = M . 400 m^2/s^2

Em2 = Ec2 + Ep2 = (1/2) . M . 25 m^2/s^2 + M . 10 m/s^2 . 15 m = M . 162,5 m^2/s^2

Notar que no conocemos M, sin embargo, no hace falta conocerlo para comparar Em1 con Em2. Se observa que Em2 < Em1, por lo tanto, en la 1ra. etapa, tampoco se conserva Em.

Entonces, ya sea por lo que sucede en la 1ra. etapa, o en la 2da. etapa, a) es FALSA.

b) la resultante siempre realiza un trabajo positivo

Usemos el teorema:  LFres = ΔEc . Apliquemos este teorema a la 1ra. etapa

LFres(1ra. etapa) = Ec2 - Ec1 

Sin hacer cuentas, vemos que esto da positivo, ya que Ec1 = 0 (el ascensor parte del reposo), y Ec2 es positivo. Entonces, el trabajo LFres(1ra. etapa) da positivo.

Pero ahora apliquemos este teorema a la 2da. etapa:

LFres(2da. etapa) = Ec3 - Ec2 = 0

ya que entre 2 y 3 no varía la energía cinética, sino que es la misma.

Este mismo resultado sale, observando que en la 2da. etapa, la fuerza resultante ES cero (ya que el ascensor tiene v constante), por lo tanto su trabajo también es cero.

Por lo que sucede en la segunda etapa, la opción b) es FALSA.

c) la energía mecánica se conserva durante los últimos 15 m
Los últimos 15 m son la 2da. etapa, durante la misma ya sabemos que Ep disminuye y Ec es constante, por lo tanto Em disminuye y esta opción es FALSA.

d) la aceleración del primer tramo es mayor en valor absoluto que g

Hagamos el cálculo para saber esto. Podemos usar la ecuación complementaria ya que es un MRUV; la aplicamos entre los puntos 1 (inicial) y 2 (final):

V2^2 -  V1^2 = 2 . a.  Δx

V2^2 -  V1^2 = 2 . a.  (X2 - X1)

(5 m/s )^2 - 0 = 2 . a . (15 m - 40 m)

Por lo tanto, a = - 0,5 m/s^2, es decir que a tiene menor valor absoluto que g. Por lo tanto, la opción d) es FALSA:


e) durante todo el recorrido las fuerzas conservativas realizan un trabajo negativo
La única fuerza conservativa en este problema es el Peso (P). La fuerza P apunta hacia abajo, es decir, forma un ángulo de 0° con la dirección de desplazamiento, por lo tanto su trabajo es siempre positivo (ya que al calcular el trabajo quedaría un cos(0°) = 1). 

Otra forma de verlo: podemos calcular LP para cada tramo, usando el teorema: LPeso = -ΔEp :

LPeso (de 1 a 2) = -  (Ep2 - Ep1) = - (M . 10 m/s^2. 15 m - M . 10 m/s^2. 40 m) = + M . 250 m^2/s^2 --> da positivo

LPeso (de 2 a 3) = -  (Ep3 - Ep2) = - (M . 10 m/s^2. 0 m - M . 10 m/s^2. 15 m) = + M . 150 m^2/s^2 --> da positivo



De cualquiera de las formas, se concluye que la opción e) es FALSA.

f) la energía mecánica es mayor durante los primeros 25 m

Apliquemos el teorema:  LFNC = ΔEm a dos puntos arbitratarios pertenecientes al primer tramo. La fuerza no conservativa es la tensión del cable del ascensor. El trabajo que hace es negativo, ya que dicha fuerza apunta hacia arriba, y forma 180 con la dirección de desplazamiento del ascensor. Por lo tanto, ΔEm es negativo, eso significa que Em disminuye continuamente durante el primer tramo.

Por consideraciones previas, ya sabemos que la energía mecánica disminuye también durante el segundo tramo. Esto también se puede ver aplicando el mismo teorema con el mismo razonamiento (la tensión toma otro valor numérico, pero igual vale todo lo dicho arriba).

Por lo tanto, como Em está disminuyendo siempre, eso quiere decir que Em es mayor en el primer tramo que en el segundo, entonces concluimos que la opción f) es VERDADERA.

Fin. :)

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Sugerencia: rehacer el problema, cambiando "5 m/s" por "30 m/s". ¿Qué cosas cambian?