Problema: gas que evoluciona con proceso isotérmico y luego isobárico

Problema: Un gas ideal monoatómico realiza la transformación termodinámica reversible ABC de la figura (La evolución AB es isotérmica).

Hallar:

a) La variación de energía interna en las transformaciones AB , BC y AC.

b) El calor intercambiado entre A y C.

Resolución
(La misma aclaración de siempre: tratá de hacerlo vos primero)



a) Variación de energía interna en las transformaciones AB , BC y AC.
Como el gas es IDEAL podemos usar las expresiones  ΔU = n cv ΔT   o ΔU = (cv / R ) ( pf Vf - pi Vi)

Entre A y B:
La temperatura es CONSTANTE, Ta = Tb, por lo tanto ΔT = 0  --> ΔUAB = 0

Entre B y C.
Tenemos los datos de presión y volumen en ambos puntos, por lo cual podemos usar: ΔU = (cv / R ) ( pf Vf - pi Vi). Además usamos que cv = 3/2 R (gas monoatómico). Queda:



ΔUBC = (cv / R ) ( pC VC - pB VB) = (3/2) (2 atm . 2 lt - 2 atm . 6 lt ) = (3/2) (-8) lt atm = -12 lt atm

Entre A y C
Se puede calcular sumando las anteriores: ΔUAC=  ΔUAB + ΔUBC

Es decir que ΔUAC= -12 lt atm

Entre A y C, de otra forma

Pero también, se podría calcular en forma DIRECTA entre A y C ya que U es función de estado y por lo tando no depende del camino, sino sólo de los estados inicial y final. Para hacerlo de esta forma con la ecuación ΔU = (cv / R ) ( pf Vf - pi Vi), primero necesitamos la presión en A ya que no está en el gráfico. 

Calculamos pA con la ecuación de gases ideales

Estado A: pA VA = n R TA       Estado B: pB VB = n R TB 

Como TA = TB, podemos igualar el miembro izquierdo de ambas ecuaciones, quedando: pA VA = pB VB, de donde se despeja pA = 6 lt . 2 atm /2 lt = 6 atm

Reemplazando pA, nos queda:

ΔUAC = (cv / R ) ( pC VC - pA VA) = (3/2) (2 atm . 2 lt - 6 atm . 2 lt ) = (3/2) (-8) lt atm = -12 lt atm

Es decir que por ambas formas da igual.

b) Calor intercambiado entre A y C.

Nos piden calcular el calor intercambiado cuando el gas pasa de A a C por el camino de la figura. Es decir, nos piden:

 Q (camino ABC) = QAB + QBC

 Tratemos de relacionarlo con el primer principio de la termodinámica. Dicho primer principio vale para cada tramo:

Entre A y B: ΔUAB =QAB - LAB

Entre B y C: ΔUBC =QBC - LBC

Si sumanos miembro a miembro ambas ecuaciones, y juntamos los Q y los Ls, queda:

ΔUAB + ΔUBC=QAB + QBC - LAB - LBC

Por lo tanto, despejando QAB + QBC queda:


Q (camino ABC) = QAB + QBC =ΔUAB + ΔUBC + LAB + LBC

 donde:
 ΔUAB  = 0 (se calculó en a))
 ΔUBC = - 12 lt atm (se calculó en a))

LAB es un proceso reversible e isotérmico en gas ideal, por lo tanto puede calcularse con:
L = piVi  ln (Vf/Vi ) o L = pfVf  ln (Vf/Vi ) o L = n R T  ln (Vf/Vi ). Usando, por ejemplo, la segunda, nos queda:

LAB = pBVB ln(VB/VA), por lo tanto

LAB = 2 atm . 6 lt ln(6 lt/2 lt ) = 12 lt atm ln(3) =  13,1833 lt . atm

LBC es un proceso isobárico reversible en gas ideal, por lo tanto:

LBC = pB (VC - VB) = 2 atm . (2 lt - 6 lt) = - 8 lt atm

Sumando las 4 cantidades en Q(camino ABC) nos queda:

Q (camino ABC) = 0 - 12 lt atm + 13.1833 lt atm - 8 lt atm = -6.816 lt atm

Este es el calor pedido: el gas CEDE 6.816 lt atm al evolucionar entre A y C.